2020版新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.4.2均值不等式的应用课件新人教B版必修1.pptx

1、第2课时 均值不等式的应用,类型一“常数代换法” 求最值 【典例】若点A(1，1)在直线mx+ny-1=0(mn0)上，则 的最小值为_.世纪金榜导学号,【思维引】由已知条件得到m，n的关系，构造均值不等式求最值.,【解析】因为A(1，1)在直线mx+ny-1=0(mn0)上， 所以m+n=1，而 2+2=4， 当且仅当m=n= 时取“=”，所以 的最小值为4. 答案：4,【内化悟】 “常数代换法”适合什么样的问题求解？ 提示：有条件的求最值问题.,【类题通】 常数代换法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(

2、常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1.,(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式. (4)利用均值不等式求最值.,【习练破】 已知x ，y均为正数，且 =1，求x +y的最小值.,【解析】x+y=(x+y) =10+ 10+2 =16， 当且仅当 = 且 =1， 即x=4， y=12时取等号，所以x+y的最小值为16.,【加练固】 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 () A. B. C.5D.6,【解析】选C.由x+3y=5xy， 可得 =1， 所以3x+4y=(3x+4y) = =5，当且仅当x=1，y= 时取等 号，故3x+4

3、y的最小值是5.,类型二利用均值不等式证明不等式 【典例】已知a，b，c均大于0，且a+b+c=1， 世纪金榜导学号 求证： 9.,【思维引】将“1”换为a+b+c，转化成积为常数的特点，利用均值不等式证明.,【证明】因为a，b，c均大于0且a+b+c=1，所以 3+2 +2+2=9.当且仅当a=b=c= 时，等号成立.,【内化悟】 结合均值不等式判断： 和 的大小关系. 提示： .,【类题通】 利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知

4、”.,(2)注意事项： 多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立； 累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； 对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用.,【习练破】 已知a，b，c都是正数，求证：(a+b)(b+c)(c+a) 8abc.,【证明】因为a，b，c都是正数， 所以a+b2 0，b+c2 0，c+a2 0，所 以(a+b)(b+c)(c+a)2 2 2 =8abc，即 (a+b)(b+c)(c+a)8abc，当且仅当a=b=c时等号成立.,【加练固】 已知a，b，c为正数， 求证： 3.,【证明】左边= = . 因为a，b，c为正数，

5、所以 2(当且仅当a=b时取“=”)； 2(当且仅当a=c时取“=”)； 2(当且仅当b=c时取“=”).,从而 6(当且仅当a=b=c时取等号). 所以 -33， 即 3.,类型三均值不等式的实际应用 【典例】玩具所需成本费用为P元，且P与生产套数x的 关系为P=1 000+5x+ x2，而每套售出的价格为Q元， 其中Q(x)=a+ (a，bR)，世纪金榜导学号 (1) 问：该玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本 费用最少？,(2)若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a，b的值.(利润=销售收入-成本),【思维引】列出每套玩具的成本费用 以及利润

6、xQ(x)-P的式子，可进行求解.,【解析】(1)每套玩具所需成本费用为 +5=25，当 ，即x=100时 等号成立，故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少.,(2)利润为xQ(x)-P = = x2+(a-5)x-1 000，,由题意得 解得a=25，b=30.,【内化悟】 均值不等式的实际问题中的应用的关键是什么？ 提示：结合实际问题建立对应的函数关系，把实际问题中的最值问题抽象成函数的最大、最小值问题.,【类题通】 应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数.,(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值

7、问题. (3)在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.,【习练破】 近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万 元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自 动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位： 万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成 正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后,采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式.假 设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的 水费 C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面 积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)= (x0，k为常数).记y(单位：万元)为该企业安装这种 净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和.,(1) 试解释C(0)的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简. (2) 当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？,【解析】(1) C(0)表示不安装净水设备时每年缴纳的 水费为4万元.