复变函数教学资料21

1、第2章 一维随机变量及其分布,概率论与数理统计,第一节 随机变量,2.1.1 随机变量的定义,在上一章中，我们研究了随机事件与概率,的一些基本概念和理论。为了更深入地研究随,机试验的结果，揭示其相应的随机现象的统计,规律性，从本章起，我们将引进随机变量的概,念。其基本想法是把随机试验的结果数量化，,即用一个变量来描述试验的结果。先看下面,的例子。,其中 表示“出现正面”， 表示“出现反面”,这个结果与数似乎没有关系，但按照上述的,基本想法。我们可以用下面的方法使其与数,联系起来：,这就相当于引入一个定义在样本空间 上的,函数 。由它的取值依赖样本点，而,哪一个样本点（基本结果）在试验中出现是,

2、随机的，因此常称 为随机变量。,例2 观察某电话交换台在给定的时间,段 内接到的呼唤次数,这个随机事件的样本空间为,记时间 内接到的呼唤次数，就引入一,变量 ，它仍然可以看作定义在 上的函数：,它依样本点的不同而取不同值 0，1，2.,这里的试验结果本身就是数值。我们若以,例3 等可能的向区间 上投掷一,其中， 表示“在时间 内接到 次呼唤”,这个随机试验的样本空间为,每个样本点都对应着区间 上的某一实数,其中， 表示“落点的坐标”。显然，这里的,，我们以 记落点的位置，这就引入了一,个变量 ，它仍可以看做定义在 的函数：,质点,观察落点的位置。,满了区间 。,从上面三例看到，不论样本空间的样

3、本,点是否与数值有关，我们都可以建立起它,们与某些数值之间的对应关系，从而将其,数量化。由上面各例分析，可归纳出如下,随机变量的定义。,它也是一个随机变量，它所有可能取的值充,定义1 设随机试验为 ，其样本空间为,，如果对于每个 ，都有一个实数,和它对应，于是就得到一个定义在 上的实,单值函数 ，称 为随机变量。习惯上,以大写字母 ， ， ，等表示随机变量。,上述定义并不是随机变量的严格定义，还要,求:对任意的 ， 为事件， 即是,第1章所说事件域中的元素，这样才能研究,其概率。还该注意，随机变量作为定义在,上的函数，其值域是某个实数集，但其定义,域却未必是一个实数集，因为组成样本空间,的元素

4、不一定是数。,由上述定义可见，随机变量 的取值由,随机试验的结果而确定，从而它具有如下特,征:一是它的取值带有随机性；二是 取各个,值有一定的概率，今后对随机变量的讨论总,是从两方面进行的，即不但要知道它取哪些,值而且要知道它以多大的概率取这些值。,以后，随机事件即可用随机变量满足某关系,对所考察的随机现象，当引入随机变量,如：,系式，它将表达随机现象中的某个事件，比,式来描述，反之，给出随机变量 满足某关,例1中， 表示该试验中“正面向上”,事件，反之，事件“反面向上”则可用,来表示 。,到呼唤次数不少于5次”的事件， 可用随机变,例2中，电话交换台“在 时间段内接,量 满足的关系式 表示。,注 为 的简写， 为,的简写。事件都是 的子集。,2.1.2 分布函数的定义,的概率为：,定义 2 设 为一随机变量，对任意,实数 ，随机变量 取值落入区间 内,称 为随机变量 的分布函数。,显然，对任意 ， 。且对任意,， 取值在 中的概率为 取值在,分布函数具有以下性质：,也