几何与代数课件：lec13-n维向量空间

1、,线性代数的主要内容,一、主要任务：解线性方程组,线性方程组,向量组 的性质,矩阵的性质和运算,核心工具：初等变换,教学内容和学时分配,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,3. 什么是Rn的子空间？请以R3为例说明其子空间.,2. 向量组的等价与矩阵的等价有什么区别与联系？,4. 如何通过矩阵构造Rn的子空间？,1. 向量组的等价与线性表示和矩阵方程的解之间有什么关系？,向 量,解析几何与线性代数中向量的联系与区别,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,空间,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,解析几何与线性代数中向量的联系与区别,例：确定飞机的状态，需以下6个参数：,飞机重心在空间

2、的位置参数P(x,y,z),机身的水平转角,机身的仰角,机翼的转角,所以，确定飞机的状态，需用6维向量,维向量的实际意义,n3时， n维向量没有直观的几何形象，却有广泛的实际意义,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,定义,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,一. n维向量的概念,行向量,列向量,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,1. n维实(列)向量的全体,关于向量的加法和数乘运算满足8条基本性质:,加法: (1) + = +; (2) ( +)+ = +( +); (3) Rn, Rn, + =; (4) Rn, +()=;,数乘: (5) 1 =; (

3、6) k(l) = (kl); (7) (k+l) = k +l; (8) k( +) = k +k.,二. n维向量的线性运算,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,设,试将向量 用向量 与 线性表示.,解：,即,例1,设,即,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,设,试将向量 用向量 与 线性表示.,解：,即,例1,设,此时方程组无解。,0,0,0, 不能用 与 线性表示,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,0,ARmn, Ax=b 有解, 向量b 能由向量组 A1, A2, , An 线性表示.,有解, x1A1+x2A2+xnAn =b 有解, 存在一组实数x1, x2, xn

4、, 使得b= x1A1+x2A2+xnAn,三.线性方程组与线性表示,Ax=b 有解,唯一解,无穷多解,b能由A1,An唯一线性表示,b能由A1,An线性表示 但表示方式不唯一,Ax=b无解,b不能由A1,An 线性表示,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间, r(A) =r(A, b),例2,解：显然,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,零向量可被任意一组向量线性表示,例3, Ax = , 即x1A1+x2A2+xnAn = 必有零解,？,线性表示不要求 系数不全为0.,例4. 验证向量组I可由II线性表示：,解：,若I能由II线性表示，则,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,BY

5、=A有解.,注：若向量组I: 1,2, ,r与II: 1,2, ,s等价，则I (或II) 也与I, II=1,2, ,r, 1,2, ,s等价.,B1能由A1,A2,An 线性表示,AX1=B1有解,AX2=B2有解,B2能由A1,A2,An 线性表示, ,AXs=Bs有解,Bs能由A1,A2,An 线性表示,AX1=B1,AXs=Bs有解, B1,Bs能由A1,An线性表示,矩阵方程 AX = B 有解 ,矩阵方程 BY = A 有解, A1,An 能由B1,Bs线性表示,称这两个向量组等价,矩阵方程AX = B, BY = A有解,B1,Bs能由A1,An线性表示,r(A) = r(A,

6、B) = r(B),第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,例4. 验证下面两个向量组等价：,故向量组I可由II线性表示.,解：,若I能由II线性表示，则BY=A有解.,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,解(续)：,例4. 验证下面两个向量组等价：,故II可由I线性表示.,所以I与II等价.,选取了最简单的一种线性表示关系,若II能由I线性表示，则AX=B有解.,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,故I 可由 III 线性表示.,证明：设三个向量组分别组成矩阵A, B, C.,说明线性表示关系具有传递性,例5：若向量组 I: 1,2, ,r可由 II: 1,2, ,s线性表示， II

7、 可由 III: 1, 2, ,t 线性表示， 则 I 可由 III 线性表示., BY = A 有解,1,2, ,r能由1,2, ,s线性表示,1,2, ,s能由1, 2, ,t 线性表示, CZ = B 有解, CZY = A 有解,则 CX = A 有解.,令 X =ZY,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,注: 向量组之间的等价关系具有以下三条性质:,反身性: 每个向量组都与它自身等价.,对称性: 若向量组I与II等价, 则II与I等价.,传递性: 若向量组I与II等价, II与III等价, 则I与III等价.,向量组之间的等价关系是可以相互线性表示。,第四章 n维向量,4.1 n

8、维向量空间,矩阵方程AX = B, BY = A有解,r(A) = r(A,B) = r(B),矩阵的等价(相抵),初等变换,向量组的等价与矩阵的等价,向量组之间的等价关系是可以相互线性表示。,注：初等变换包括初等行变换和初等列变换.,记为AB.,问题：向量组的等价与矩阵的等价之间的关系？,定理2.3. mn矩阵A, B相抵 A,B同型, r(A) = r(B).,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,矩阵方程AX = B, BY = A有解,r(A) = r(A,B) = r(B),向量组的等价与矩阵的等价,命题：若n维向量组I: 1,2, ,m与II: 1,2, ,m等价，则m个n维向量

9、构成nm矩阵A=(1,2, ,m) 与B =(1,2, ,m)等价., mn矩阵A, B等价(相抵),这两个向量组等价,r(A) = r(A,B) = r(B),证明：, A,B同型, r(A) = r(B),逆命题不成立：相抵的两个矩阵的列向量组不一定等价。,矩阵A,B相抵, 但列向量组不能相互线性表示，即不等价。,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间, B的列向量组能由 A的列向量组 线性表示, A的列向量组能由 B的列向量组 线性表示,列向量组的等价与矩阵的列等价,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间, B的行向量组能由 A的行向量组 线性表示, A的行向量组能由 B的行向量组 线性

10、表示,行向量组的等价与矩阵的行等价,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,注1:,矩阵A与B的行向量组等价, 但列向量组不等价.,矩阵C与B的列向量组等价, 但行向量组不等价.,注2:,矩阵的行向量组与列向量组,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,4阶Drer魔方： 行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和= 四个角之和.,铜币铸造时间：1514年,多么奇妙的魔方！,你想构造Drer魔方吗？ Drer魔方有多少个？ 如何构造所有的Drer魔方？,和为43.,Drer魔方,24,从杜勒魔方到向量空间,4阶Drer魔方： 行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和= 四

11、个角之和.,你想构造Drer魔方吗？ Drer魔方有多少个？ 如何构造所有的Drer魔方？,A=,B=,设A,B是任意两个Drer 魔方，,对任意实数k，kA 是Drer魔方吗？,A+B 是Drer魔方吗？,Drer魔方,25,从杜勒魔方到向量空间,你想构造Drer魔方吗？ Drer魔方有多少个？ 如何构造所有的Drer魔方？,设A,B是任意两个Drer 魔方，,对任意实数k，kA 是Drer魔方吗？,A+B 是Drer魔方吗？,允许构成魔方的数取任意实数,任意两个Drer魔方的任意的线性组合仍是Drer魔方。,记 D=A=(aij)R44|A为Drer魔方,则D构成一个向量空间，称为Drer

12、魔方空间.,无穷多个,求出魔方空间的一组基,基的任意线性组合都构成一个Drer魔方.,Drer魔方空间,26,从杜勒魔方到向量空间,任意两个Drer魔方的任意的线性组合仍是Drer魔方。,记 D=四阶Drer魔方的全体,则D构成一个向量空间，称为Drer魔方空间.,Drer魔方空间,从杜勒魔方 到 向量空间,记 R2=2维向量的全体,任意两个2维向量的任意的线性组合仍是2维向量。,则R2构成一个2维向量空间.,R33维向量的全体，构成一个3维向量空间.,n维实(列)向量的全体,构成一个n维向量空间.,Drer魔方空间,R2的子空间,记 R2=2维向量的全体,任意一组2维向量的任意的线性组合仍是

13、2维向量。,则R2构成一个2维向量空间.,R2=2维向量的全体 ；,任意通过原点的直线；,R2的子空间,原点本身0,称为零空间.,R2的平凡子空间.,R3的子空间？,R3；任意通过原点的平面、直线；0,如何从一个矩阵构造向量空间？,四. Rn的子空间,2. 设S是Rn的非空子集, 且对向量的加法及数乘封闭, 即, S, kR, 有+S, kS, 则称S是一个(实)向量空间.,注：向量空间必包含0向量 .,反之, 若一向量集不含0, 则它必不构成向量空间.,也称S是Rn的子空间.,3. 设S是一个向量空间, US, 若U也构成一个 向量空间, 则称U为S是一个子空间.,S中任意一组向量的任意线性

14、组合仍在S中,向量空间V：Rn的非空子集, 且对线性运算封闭,注1：向量空间必包含0向量 .,反之, 若一向量集不含0, 则它必不构成向量空间.,例6. W=(x,y,z)TR3 | x+2yz = 1,是向量空间吗？,W不含0向量,W不构成向量空间.,在R3中不经过原点的直线与平面都不是向量空间.,在R3中经过原点的直线与平面都构成向量空间.,例7. W=(x,y,z)TR3 | x+2yz = 0,构成向量空间.,(x1+x2) +2(y1+y2) (z1+z2) = 0, kR, kx+2ky kz = 0,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,向量空间V：Rn的非空子集, 且对线性运

15、算封闭,在R3中不经过原点的直线与平面都不是向量空间.,在R3中经过原点的直线与平面都构成向量空间.,例8. 设ARmn, bRm, b0, r(A, b) = r(A) = r,SB = x Rn | Ax = b,中不含0, 不是向量空间.,KA = x Rn | Ax = 0,x1, x2KA, A(x1+x2) = Ax1+Ax2=0, kR, A(kx1) = kAx1= 0,是向量空间.,注1：向量空间必包含0向量 .,反之, 若一向量集不含0, 则它必不构成向量空间.,称为A的核空间或零空间.,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,向量空间V：Rn的非空子集, 且对线性运算封闭

16、,4. 设1, 2, , sRn, 用L(1, 2, , s)表示 1, 2, , s的一切线性组合所成的集合,L(1,2,s) = k11+k22+kss| k1,k2,ksR,则L(1, 2, , s)构成一个向量空间, 称为由1, 2, , s生成的子空间. 而1,2,s为生成元.,注1：生成的子空间是包含1, 2, , s的所有向量空间中最小的.,注2：1, 2, , s与1, 2,t 等价 L(1, 2, , s) = L(1, 2,t).,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,向量空间V：Rn的非空子集, 且对线性运算封闭,L(1,2,s) = k11+k22+kss| k1,k2,ksR,4. 由1,2, , s生成的子空间:,注2：1, 2, , s与1, 2,t 等价 L(1, 2, , s) = L(1, 2,t).,注3:设矩阵ARns, 称L(A1,A2,As)为A的列空间.,L(A1,A2,As) =x1A1+x2A2+xsAs| x1,x2,xsR,= Ax | xRs ,= Rn | xRs, Ax=,=R(A)(值域),注4: 线性方程组 Ax = b有解 bR(A).,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,4.1 n维向量空间,2. 向量