物理奥赛8（静电场）

1、1,奥赛典型例题,分析(静电场),2,1.一根电荷线密度为的无限长均匀带电细线弯成图1所示形状，左边是一半径为R的半圆形，右边是两根相距为2R的平行半无限长直线，试求圆心处的电场强度.,3,这两微元段在圆心O处产生场强方向相反，合场强大小为为,因为一对对这样的微元段在圆心O处产生的合场强都为零，所以整条带电细线在圆心O处产生的场强为零.,4,2.半径为R的细圆环所带电量为Q,若这圆环的其中一直径AB上的场强处处为0，如图2所示，试求圆环上电荷线密度的分布规律.,5,若电量Q均匀分布在半径为R的球面上，则球内电场处处为零，其任一直径AB上的场强也处处为零.,6,均匀球面在S点产生的电场,球面上无

2、限多环状小带在S点产生的电场,无限多P1、P2线元对在S点产生的电场,7,图1中线元P1所带电量为,因此圆环上电荷线密度分布为,8,3.质量为M=2m的均匀带电球的半径为R，带电量为Q，开始时静止在光滑水平面上，现沿直径开一条很小的绝缘光滑通道，如图3所示，并在球的最左端A处由静止开始释放一质量为m、带电量为Q的带电粒子N，若只考虑静电力，不考虑万有引力，当带电粒子N到达球心处时，球M和粒子N的速度各是多少？,9,解：方法一：利用电势分布公式,因为绝缘光滑通道很小，故仍可把M看作是均匀带电球体. 而均匀带电球体内的电势分布为,由于M、m组成的系统在运动过程中，没有外力作用，所以系统动量守恒、能

3、量守恒. 设带电粒子N到达球心处时，球M和粒子N的速度大小分别为vM和vN,则,即,由以上两式可解得,10,均匀带电球体M在球内离球心距离为x处产生的电场强度为,于是带电粒子N在该处受力为,这是线性回复力，所以粒子N沿x轴作简谐振动.,11,由于系统不受外力作用，且开始时，M、N均静止，所以系统质心O始终保持静止.,令全条弹簧的劲度系数为 ，则NO段弹簧的劲 度系数为 ，MO段弹簧的劲度系数为,质心O可看作是M、N振动时的各自的平衡位置，N的振 幅为 , M的振幅为,当N到达球心时，可看作是双振子M、N都到达平衡位置，由简谐振动的规律可知N、M的速度分别为,12,方向向右,方向向左,13,4.

4、如图4所示，A和B是真空中的两块面积很大的平行金属板，加上周期为T的交流电压，在两板间产生交变的匀强电场，已知B板的电势为零，A板的电势UA随时间变化的规律如图5所示，其中UA的最大值为U0，最小值为2 U0. 在图4中虚线MN表示与A、B板平行等距的一个较小的面，MN面到A、B的距离都是l，在此面所在处，不断产生电量为q，质量为m的带负电的微粒，各个时刻产生带电粒子的机会均等.这种微粒产生后，从静止出发在电场力的作用下运动. 设微粒一旦碰到金属板，它就附在板上，不再运动，且其电量同时消失，不影响A、B板的电压. 已知上述的T、U、l 、q、m等各量的值正好满足等式：,若在交流电压变化的每个周

5、期T内，平均产生320个上述微粒，试论证在t=0到T/2这段时间内产生的微粒中，有多少个微粒可到达A板？（不计重力，不考虑微粒之间的相互作用力）,（03年20届预赛题）,14,在正半周，微粒所受电场力方向向右(为正)，加速度大小为,在负半周，微粒所受电场力方向向左(为负)，加速度大小为,15,在t0时刻产生的微粒运动的位移大小为,把题设条件 代入，可解得,从图3可见，t0时刻前产生的微粒在t1时刻前，甚至在T/2时刻前就到达A板，如图中蓝线所示. 而在t0时刻后产生的微粒则不可能到达A板，如图中金鱼黄线所示.,因此，在0T/2这段时间中，0t0内产生的微粒全部能到达A板；而t0T/2内产生的微

6、粒则全部不能到达A板.,16,因题设在交流电压变化的每个周期T内，平均产生320个微粒，所以在0T/2这段时间内，能到达A板的微粒数为,17,5.如图6所示，三根完全一样的绝缘、均匀带电的细棒组成一个等边三角形ABC，P点是三角形的中心，Q点与三角形共面，且与P点关于AC棒对称，若测得P、Q两点的电势分别为UP、UQ. 现把BC棒取走，而AB、AC棒的电荷分布不变,求这时P、Q两点的电势分别是多少？,18,在没有取走BC棒时，由对称性可知，各棒在P点产生的电势相同，用U1表示. 又因对称性，AC棒在P、Q两点产生的电势相同，用U1表示. 同样因对称性，AB、BC棒在Q点产生的电势也必相同设为U

7、2 . 故有,由以上两式可解得,取走BC棒后，因AB、AC棒的电荷分布不变，故有,19,P点的电势为,Q点的电势为,20,6.正电荷Q1和Q2分别置于相距为L的两点A和B，现以AB为直径作半圆，试求在这半圆周上电势最低点P的位置.,21,由图易得Q1、Q2在P点处产生的场强大小分别为,故,22,7.两个点电荷位于x 轴上，在它们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则在正x轴上各点的电势如图7中的曲线所示，当x 0时，电势U ，当x 时，电势U 0，电势为零的坐标为x0，电势为极小值U0的点的坐标为x0 (2），试根据图线提供的信息，确定这两个点电荷所带电荷的荷号、电量的大小以及它们在x轴 上

8、的位置. (03年20届复赛题),0,23,因为在点电荷的电场中，U1/r，又因无限远处电势为零，故正电荷在空间各点处产生的电势都为正，负电荷在空间各点处产生的电势都为负. 现已知在x=x0处电势为零，故可判定这两点电荷必一正一负.,以Q1表示这正电荷的电量，当x从0增大时，电势都没有出现负无限大，由此可判定负的点电荷必位于原点的左侧. 设其电量大小为Q2,与一点的距离为l.,24,从图可知，当x从x0增大时，电势一直为负，且当x很大时，电势趋向于0. 由此可判定必有Q2Q1 .,依题意有,又因x =x0时，电势有极小值，故任一电量为q的正检验点电荷位于该处时，其电势能最小. 这表明该点处是正

9、检验点电荷的平衡位置，即x =x0处电场为0.,25,于是有,由(1)、(2)、(3)式可解得,26,8.如图8所示， 在真空中有4个半径为a的不带电的相同的金属球，球心分别位于边长为r（ra）的正方形的四个顶点上. 首先让球1带电量为Q（Q0），然后，取一细金属丝，一端固定在球1上，另一端分别依次与球2、球3、球4、大地接触，每次接触的时间足以使它们达到静电平衡，设分布在金属丝上的电荷可以忽略不计，试求流入大地的电量.,27,由于对称性，所以当球1与球2接通后，球1的电量Q11与球2的电量Q2相等，为,同样由于对称性，所以当球1与球3接通后，球1的电量Q12与球3的电量Q3相等，为,当球1与

10、球4接通后，它们的电势U1、U4应相等，有,28,又据电荷守恒定律可得,由以上四个方程可解得,29,最后，当球1与球4断开连接并把球1接地，设接地后球1所带电量为q1，此时球1电势为0.故有,解得：,此时球1带负电，所以流入大地的电量为,30,9. 如图9所示，O为半径等于R的原来不带电的导体球的球心，O1、O2、O3为位于球内的三个半径皆为r的球形空腔的球心，它们与O共面，已知 =R/2在OO1、OO2的连线上距O1、O2为r/2的P1、P2点处分别放置带电量为q1和q2的线度很小的导体（视为点电荷），在O3处放置一带电量为q3的点电荷，设法使q1、q2和q3固定不动在导体球外的P点放一个电

11、量为Q的点电荷，P点与O1、O2、O3共面，位于 的延长线上，到O的距离为 =2R(1)求q3的电势能(2)将带有电量q1、q2的小导体释放，当重新达到静电平衡时，各表面上的电荷分布有何变化？ 此时q3的电势能为多少？(05 年22届复赛题),31,由静电屏蔽可知:,点电荷q1及感应电荷(q1)在空腔1外产生的合场强为0；点电荷q2及感应电荷(q2)在空腔2外产生的合场强为0；点电荷q3及感应电荷(q3)在空腔3外产生的合场强为0. 因此在导体球外若无电荷，则球外表面的感应电荷(q1+q2+q3)将均匀分布. 但现在导体球外的P点放置了点电荷Q，由于静电感应，球面上的感应电荷的总电量虽然仍为(

12、q1+q2+q3)但不再均匀分布. 同时由静电屏蔽规律可知:导体球外的点电荷Q及球面上的这些感应电荷在导体球内产生的合场强为0.,(1)由静电感应知空腔1、2及3的表面分别出现电量分别为q1、q2和q3的面感应电荷，由电荷守恒定律知，在导体球的外表面出现感应电荷q1+q2+q3.,32,空腔3表面的电荷在O3点产生的电势为,33,据电势叠加原理得O3点处的电势为,因此q3的电势能为,34,同理，空腔2内的电荷q2仅受空腔2内壁感应电荷q2的静电力作用，到达空腔2内表面并且与那里的感应电荷q2中和.,所以，达平衡后空腔1、空腔2表面无电荷分布；而空腔3表面和导体球外表面的电荷分布没有变化. O3

13、处的电势仍由由P点处的点电荷Q、导体球外表面上的感应电荷及空腔3表面的电荷共同产生.,35,故O3处的电势U及q3的电势能W不变，仍然为,36,10.一平行板电容器，电容为C0300pF，极板A1接在一电源正极，A2接在另一电源的负极，两电源的电动势都是150V，电源的另一极都接地，取一厚金属板B插入电容器间的正中央，金属板的面积与A1及A2相同，厚度为电容器两极板间距离的1/3 ，如图10所示，(1)取一电动势为50V的电源E，负极接地，正极与B板相连，问此时由电源E输送到B板的总电量的多少？(2)在上述情况下，左右平移B板，改变它在两极板间的位置，使B板的电量向电源E回输，直到电源E原来输送给B板的电量全部送回电源E时，固定B板的位置，然后切断所有电源，并将B板从电容器中抽出，求这时电容器两极板A1、A2之间的电压.,37,(1)金属板插入电容器两极板间后，A1和B的左表面B1形成电容器C1， A2和B的右表面B2形成电容器C2，由于这两个电容器两极板间的距离都是原电容器的1/3，所以它们的电容为,电源E接入后，C1上的电压为,故B1板上的电量为,C2