01届 普通高等学校春季招生考试数学试卷（北京、内蒙古、安徽卷）理(附解答)

1、绝密启用前2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）数 学（理工农医类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至2页第卷3至8页共150分考试时间120分钟第卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回参考公式： 正棱台、圆台的侧面积公式三角函数的积化和差公式 其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长 球体的体积公式 其中表示球的半径一

2、、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）集体的子集个数是（A）32（B）31（C）16（D）15（2）函数对于任意的实数都有（A）（B）（C）（D）（3）（A）0（B）2（C）（D）（4）函数的反函数是（A）（B）（C）（D）（5）极坐标系中，圆的圆心的坐标是（A）（B）（C）（D）（6）设动点P在直线上，O为坐标原点以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰，则动点Q的轨迹是（A）圆（B）两条平行直线（C）抛物线（D）双曲线（7）已知，那么等于（A）（B）8（C）18（D）（8）若A、B是锐角的两个内角，则点在（A）第一象限（B）第二

3、象限（C）第三象限（D）第四象限（9）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（A）（B）（C）（D）（10）若实数满足，则的最小值是（A）18（B）6（C）（D）（11）右图是正方体的平面展开图在这个正方体中，平行CN与BE是异面直线CN与BM成角DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（A）（B）（C）（D）（12）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（A）5月、6月（B）6月、7月（C）7月、8月（D）8月、9月绝密启用前 2001年普通高等学校春季

4、招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）数 学（理工农医类）第卷（非选择题共90分）注意事项：1.第卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中2.答卷前将密封线内的项目填写清楚题 号二三总 分171819202122分 数二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上得分评卷人（13）已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于_（14）椭圆长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_（15）已知、均为锐角），那么的最大值等于_（16）已知、是直线，、是平面，给出下列命题： 若，则；若，则；若不垂直于，则不可能垂直于内的无数条直线；若，且，

5、则其中正确的命题的序号是_（注：把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤得分（17）（本小题满分12分）评卷人设函数，求的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性得分（18）（本小题满分12分）评卷人已知（）证明；（）设的辐角为，求的值得分（19）（本小题满分12分）评卷人已知VC是所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且在的高CD上之间的距离为（）证明MDC是二面角MABC的平面角；（）当MDC=CVN时，证明VC；（）若MDC=CVN=，求四面体MABC的体积得分（20）（本小题满分12分）评卷人在1与2之间插入个

6、正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数，使这个数成等差数列记（）求数列和的通项；（）当时，比较与的大小，并证明你的结论得分（21）（本小题满分12分）评卷人某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为0.75，同时预计年销售量增加的比例为0.6已知年利润=（出厂价投入成本）年销售量（）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；（）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例应在什么范围内？得分（2

7、2）（本小题满分14分）评卷人已知抛物线过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，（）求的取值范围；（）若线段AB的垂直平分线交轴于点N，求面积的最大值绝密启用前2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷）数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的

8、一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数选择题和填空题不给中间分一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分（1）A（2）C（3）D（4）C（5）A（6）B（7）D（8）B（9）C（10）B（11）C （12）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分，满分16分（13）（14）（15）（16）三、解答题（17）本小题主要考查函数的单调性及不等式的基础知识，考查数学推理判断能力满分12分解：函数的定义域为 在内是减函数，在内也是减函数 4分证明在内是减函数取，且，那么 6分即在内是减函数

9、 9分同理可证在内是减函数 12分（18）本小题主要考查复数的基本概念和基本运算，考查综合运用复数的知识解决问题的能力满分12分解：（）由 ， 得4分 因为 ， 所以 6分 （）因为， 所以 ，而，所以， ，同理， 由（）知 ， 即 ， 所以 的实部为，8分 而的辐角为时，复数的实部为 ， 所以 12分（19）本小题主要考查线面关系的基本概念，考查运用直线与直线、直线与平面的基本性质进行计算和证明的能力满分12分（）证明：由已知， ， 2分 又V、M、N、D都在VNC所在平面内，所以，DM与VN必相交，且，MDC为二面角的平面角4分（）证明：由已知，MDC=CVN，在中，NCV=MCD，又VN

10、C=，DMC=VNC=故有，6分8分（）解：由（）、（），又在中，10分 12分（20）本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法满分12分解：（I）成等比数列，4分成等差数列，所以，数列的通项，数列的通项6分（II），要比较与的大小，只需比较与的大小，也即比较当时，与的大小当时，得知，经验证时，均有命题成立猜想当时有用数学归纳法证明9分 （i）当时，已验证，命题成立 （ii）假设时，命题成立，即，那么 又当时，有 这就是说，当时，命题成立根据（i）、（ii），可知命题对于都成立故当时，12分（21）本小题主要考查建立函数关系、不等式的性质和解法等内容，考查运用数学知识解决实际问题的能力满分12分解：（）由题意得，4分 整理得 6分 （）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 即 9分 解不等式得 答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例应满足 12分（22）本小题考查