《高等数学》练习题库

1、高等数学练习题库计算数学教研室 吴果林一选择题1.函数y= 是（）A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数2.设f(sin)=cosx+1,则f(x)为（）A 2x2 B 22x C 1x D 1x3下列数列为单调递增数列的有（）A0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B，Cf(n),其中f(n)= D. 4.数列有界是数列收敛的（）充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要5下列命题正确的是（）A发散数列必无界 B两无界数列之和必无界C两发散数列之和必发散 D两收敛数列之和必收敛6设，(k为常数)则（）A. f(x)在点x有定义 B. f(x) 在点x无定

2、义C. f(x) 在点x的某去心邻域内有界 D. f(x)-kx- C7.在x处函数f(x)的左右极限存在且相等即f(x-0)= f(x+0)是x x时f(x)有极限的（）A.必要条件 B.充分条件C.充分必要条件 D.无关条件8下列说法正确的是（）A.无穷小是一个很小的数 B. 无穷大是一个很大的数C.无穷大是无界的量 D.无界的量是无穷大量9函数 在区间上是（ ）A 单调增加 B单调减少 C先单调增加再单调减少 D先单调减少再单调增加10设，则K 为（）A.1 B.2 C.1/4 D.411（）A.1 B.0 C.2 D.1/212设e 则k=( )A.1 B.2 C.6 D.1/613.

3、当x1时，下列与无穷小（x-1）d等价的无穷小是（）A.x-1 B. x-1 C.(x-1) D.sin(x-1)14.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（）A.必要条件 B.充分条件C.充分必要条件 D.无关条件15、当|x|0,所以，当x0时，F(x)= 连续。又即F(0) 在x=0处右连续。当x0时，令g(x)= ,有所以，当x0时，g(x)单调增加，即有g(x)g(0)=0故，当x0时，所以，F(x)在上单调增加。3设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且。证明：存在惟一的一组实数使得当时，是比h2高阶的无穷小.证明：由麦克劳林公式得 所以，应满足方程

4、组 因为系数行列式，所以，方程组存在唯一解，即存在唯一组实数使得当时，是比h2高阶的无穷小.4证明满足方程4提示：先求得关系式：，再两边求（n-1）阶导数，利用莱布尼兹公式。5证明不等式：证明：令 则， 令得x=0 f(-1)=f(1)=,f(0)=1 则上式两边对x在上积分，得不出右边要证的结果，因此必须对f(x)进行分析，显然有于是 故6证明不等式证明：显然当时，（n2）有即，7设在上连续且单调递减，证明： 证明：由在上连续且单调递减可得： 因此，由比较定理有 8设，g(x)区间上连续，g(x)为偶函数，且满足条件 证明： 证明： 9设连续，证明：证明：依题意 又 所以 10设n为正整数，

5、证明证明：令t=2x,有 又，所以，又，因此，11设函数可导，且f(0)=0, 证明: 证明：于是，12设是正值连续函数，则曲线在上是凹的。证明： 故，曲线在上是凹的。13设g(t)是上的连续函数，证明：在上至少存在一点，使.证明：由已知条件有又，由于g(t)在上连续，由积分中值定理，有 故 14.证明：证明：15设是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则 证明： 在等式两端各加，于是得16若是连续函数，则证明： 17设，在上连续，证明至少存在一个使得 证明：作辅助函数，由于,在上连续，所以在上连续，在（a,b）内可导，并有 由洛尔定理即 0亦即，18设，在上连续，且，试证：

6、至少存在一个使得证明：令于是 作辅助函数由题设条件，显然在上连续，由变上限积分定理在上可导又 ，由洛尔定理，在内至少存在一点，使即 ，亦即，故 19设在上连续，证明： 证明：令 故是 上的减函数，又，故 20设在上可导，且，证明： 证明：由题设对可知在上满足拉氏微分中值定理，于是有 又，因而， 由定积分比较定理，有 高等数学答疑题1原式=因为=所以 极限=2求原式=极限=3.求原式=-4求原式=5求函数 解：（1）显然有, , （2）当时，有所以， （3）当时， 有所以，从而，6设存在，求解：令，则，故7求函数的不连续点且判别类型。解：显然x=0为间断点。因为又，故x=0为第一类间断点（跳跃间

7、断点）。8已知在x=a处可导，且n为自然数，求解： 因为所以，9设，求解：于是，10设，求解： ，11.设，其中的三阶导数存在，且，求解： 12.设方程求解： 13设有方程求解：方程两边对x求导，可得 14设由方程确定y是x的函数，求解：，两边同时x对求导，得15.设任意阶可导，且求解： 所以，16设，求解： 17设求解： 显然，当时，故 18.求原式=19求原式=-=+20. 求不定积分解：原式 21求不定积分解：原式 22求不定积分解：令，则，于是原式 23求不定积分解： 故24. 设的原函数为，求解不定积分解：因为的原函数为，故于是，故 25设在上连续且满足，求解：将方程的两边对x求导，

8、得，即令26设当时可导，且满足方程求解：将方程两边对x求导，得将原方程的表达式代入上式，得积分，得由原方程中令可得，从而C1故27设是连续函数，且，求解：因为连续，所以存在，不妨设，于是积分有，故28设函数在区间0,1上连续，并设,求解： 注意：为的一个原函数。29设在上连续，且对任何x,y有，计算解：对于这种被积函数含有抽象因子的积分，通常是利用奇偶性积分的“特性”处理，以下证明为奇函数。令y=0，则由可得：又，即，可知为奇函数，于是30设，g(x)区间上连续，g(x)为偶函数，且满足条件 （1）证明：（2）利用（1）的结论计算定积分 解：（1）证明： （2）取，则，在上连续为偶函数。因为，

9、所以，令，得于是，故31设函数满足，且求解：由，得，于是有，解方程得，又，32。设在上有连续的导函数，且试证证明：，于是由柯西不等式故 33。讨论的敛散性。解：对，因为当时，所以当时，瑕积分收敛；时，发散对，因为当时，所以当时，瑕积分收敛；时，发散综上所述，瑕积分当，时收敛，其余情形发散。34已知在上连续，在内存在，又连接两点的直线交曲线于，且，试证在内至少存在一个使得证明：由题意，可对在， 上分别利用拉格朗日中值定理，于是有 在同一直线上，故因而，在上满足洛尔定理。于是，存在一个使得35若在上三阶导数，且，设，试证在内至少存在一个，使得证明：用台劳公式证写出在x=0处的二阶台劳展开式为 （*）,于是（*） (*)注意到 由（*）有测 试 题高等数学一、选择题1、设E=，则（ ）A、E为连通域； B、E不是连通域