高考数学（精讲精练精析）选做02 矩阵习题（江苏版）（含解析）

1、专题2 矩阵【三年高考】1【2016年高考江苏】已知矩阵 矩阵B的逆矩阵 ，求矩阵AB.【答案】【解析】试题分析：先求逆矩阵的逆： ，再根据矩阵运算求矩阵AB.试题解析：解：设，则，即，故，解得，所以.因此，. 【考点】逆矩阵，矩阵乘法【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则：，类似求矩阵特征值及特征向量也是如此.2【2015江苏高考，21】已知，向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值.【答案】,另一个特征值为【考点定位】矩阵运算，特征值与特征向量3【2014江苏，理21B】选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，向量，是实数，若，求的值.【答案】【解

2、析】由题意得，解得.4【2013江苏，理21B】选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A，B，求矩阵A1B.【答案】5【2012江苏，理21B】选修42：矩阵与变换已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值【答案】11，24.【解析】解：因为A1AE，所以A(A1)1.因为，所以，于是矩阵A的特征多项式为f()234.令f()0，解得A的特征值11，24.6【2011江苏，理21B】选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，向量求向量，使得【答案】【解析】解： =,设，由得,，从而，解得，所以.【2017年高考命题预测】纵观近几年江苏高考试题，对矩阵的考查，主要考查矩阵的运算，矩阵变换，矩阵的特征值

3、与特征向量及二阶逆矩阵题目难度一般为中、低档，着重考查利用基本概念、基础知识求解矩阵，高考对这部分要求不是太高，会进行矩阵的乘法运算，会利用矩阵运算进行平面变换，会判断一个二阶矩阵有否逆矩阵及求得逆矩阵，会求矩阵的特征值与特征向量，并用特征值与特征向量进行矩阵的乘方运算备考中应严格控制训练题的难度高考对这部分要求不是太高，高考中在附加题部分.预测2017年矩阵仍是考试的重点复习建议：在复习矩阵知识过程中，注意培养、强化与提高计算能力，逐步提升数学素养，提高分析解决综合问题的能力. 【2017年高考考点定位】高考对矩阵的考查，主要考查矩阵的运算，考查矩阵变换，考查矩阵的特征值与特征向量及二阶逆矩

4、阵的运算【考点1】矩阵的运算与矩阵变换【备考知识梳理】1乘法规则(1)行矩阵a11a12与列矩阵的乘法法则：a11a12a11b11a12b21(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法则如下：.(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB)CA(BC)(5)AkAlAkl，(Ak)lAkl(其中k，lN*)2常见的平面变换(1)恒等变换：因为，该变换把点(x，y)变成(x，y)，故矩阵表示恒等变换(2)反射变换：因为，该变换把点(x，y)变成(x，y)，故矩阵表示关于y轴的反射变换；类似地，分别表示关于x轴、直线yx和

5、直线yx的反射变换(3)伸缩变换：因为，该变换把点(x，y)变成点(x，ky)，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k倍，故矩阵表示y轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵可以用来表示水平伸缩变换(4)旋转变换：把点A(x，y)绕着坐标原点逆时针旋转角的变换，对应的矩阵是.(5)切变变换：表示的是沿x轴的切变变换沿y轴的切变变换对应的矩阵是.(6)投影变换：，该变换把所有横坐标为x的点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵表示的是x轴上的投影变换类似地，表示的是y轴上的投影变换【规律方法技巧】1待定系数法在平面变换中的应用通过二阶矩阵与平面向量的乘法求出变换前与变换后坐标之间的变换公式，进而得到

6、所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法的应用2矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等3矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律4对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换5伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合6在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆7曲线(或点)经过二阶矩阵变换后的曲线(或点)的求法，类似于平面解析几何中

7、的代入法求轨迹，此类问题的关键是求对坐标之间的变换公式8注意两个易错点：（1）二阶矩阵的乘法运算律中，易忽视ABBA，ABAC/ BC，但满足(AB)CA(BC)（2）易混淆绕原点逆时针旋转90的变换与绕原点顺时针旋转90的变换【考点针对训练】1求使等式M成立的矩阵M.【答案】.【解析】设M，则M，则即M.2，已知直线l：axy1在矩阵A对应的变换作用下变为直线l：xby1.(1)求实数a，b的值；(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且A，求点P的坐标【答案】（1）；（2）(1,0)【考点2】矩阵的特征值与特征向量【备考知识梳理】1逆变换与逆矩阵(1)逆变换：设是一个线性变换，如果存在线性变

8、换，使得1，则称变换可逆，并且称是的逆变换(2)逆矩阵：设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BAABE2，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵(3)逆矩阵的性质性质：设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的性质：设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB)1B1A1.(4)定理：二阶矩阵A可逆，当且仅当det Aadbc0.2逆矩阵与二元一次方程组(1)定理：如果关于变量x，y的二元一次方程组(线性方程组)的系数矩阵A可逆，那么该方程组有唯一解1.(2)推论：关于变量x，y的二元一次方程组其中a，b，c，d是不全为零的常数，有非零

9、解的充分必要条件是系数矩阵的行列式0.3特征值和特征向量设矩阵A，如果存在数以及非零向量，使得A，则称是矩阵A的一个特征值，是矩阵A的属于特征值的一个特征向量4特征向量的性质设1，2是二阶矩阵A的两个不同特征值，1，2是矩阵A的分别属于特征值1，2的特征向量，对于任意的非零平面向量，设t11t22(t1，t2为实数)，则对任意的正整数n，有Ant11t22.【规律方法技巧】1求逆矩阵的常见方法(1)待定系数法：设A是一个二阶可逆矩阵，ABBAE2；(2)公式法：|A|adbc，有A1，当且仅当|A|0；(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵；(4)利用逆矩阵的性质(AB)1B1A1.2求特

10、征值和特征向量的方法(1)矩阵M的特征值满足(a)(d)bc0，属于的特征向量a满足M.(2)求特征向量和特征值的步骤：解f()0得特征值；解(a)xby0，取x1或y1，写出相应的向量3注意3个易错点：（1）并不是每一个二阶矩阵都是可逆的：矩阵A可逆的充分必要条件是它对应的行列式|A|满足|A|adbc0，且A1.（2）不是每个矩阵都有特征值与特征向量，矩阵M有特征值的充分必要条件是方程0有解（3）属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线【考点针对训练】1已知矩阵A将直线l：xy10变换成直线l.(1)求直线l的方程；(2)判断矩阵A是否可逆？若可逆，求出矩阵A的逆矩阵A1；若不可逆，请说明理由

11、【答案】（1）l的方程为4xy70；（2）A1.【解析】(1)在直线l上任取一点P(x0，y0)，设它在矩阵A对应的变换作用下变为Q(x，y)，即又点P(x0，y0)在直线l：xy10上，10，即直线l的方程为4xy70.(2)0，矩阵A可逆设A1，AA1，解之得A1.2已知矩阵M，向量.(1)求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；(2)求M3.【答案】（1）特征值11的一个特征向量为1，特征值22的一个特征向量为2.；（2）.【解析】(1)矩阵M的特征多项式为f()232，令f()0，得11，22.当11时，解方程组得一个非零解因此，矩阵M属于特征值11的一个特征向量为1；当22时

12、，同理可得矩阵M属于特征值22的一个特征向量为2.(2)设m1n2，得解得m1，n2.所以M3M3(122)M312M32122223.【两年模拟详解析】1【江苏省扬州中学20152016学年第二学期质量检测】已知矩阵 ，求矩阵【答案】【解析】由逆矩阵公式得，再利用矩阵运算得2【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】在平面直角坐标系中，设点在矩阵对应的变换作用下得到点，将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标【答案】【解析】设，依题意，由，得则记旋转矩阵， 则，即，解得，所以点的坐标为3【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】已知a，b是实数，如果矩阵A

13、 所对应的变换T把点(2，3)变成点(3，4)（1）求a，b的值（2）若矩阵A的逆矩阵为B，求B2【答案】（1）a1，b5（2）4【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】变换T1是逆时针旋转角的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2（1）点P(2，1)经过变换T1得到点P，求P的坐标；（2）求曲线yx2先经过变换T1，再经过变换T2所得曲线的方程.【答案】（1）P(-1,2).（2）yxy2.【解析】(1)M1， M1所以点P(2,1)在T1作用下的点P的坐标是P(-1,2). (2)MM2M1， 设是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是,则M

14、,也就是 即所以,所求曲线的方程是yxy2.5【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】已知曲线C：x22xy2y21，矩阵A所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程【答案】x2y226【苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）】已知变换把平面上的点，分别变换成，试求变换对应的矩阵【答案】【解析】设，由题意，得， 解得. 即7【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟】已知矩阵，向量，计算.【答案】8【南通市2016届高三下学期第三次调研考试】在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求的值.【答案】【解析】设是直线上一点，由，得即，由条件得，解得，所以9【盐城市

15、2016届高三年级第三次模拟考试】已知矩阵的两个特征向量，若，求.【答案】【解析】设矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，则由可解得：， 又， 所以.10【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】已知矩阵A，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为1，属于特征值4 的一个特征向量为2求矩阵A，并写出A的逆矩阵A1【答案】，【解析】由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为1可得，即ab1； 由矩阵A属于特征值4的一个特征向量为2，可得，即3a+2b12， 解得.即A，所以A逆矩阵A-1是11【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】已知矩阵A，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为1，属

16、于特征值1的一个特征向量为2 求矩阵A，并写出A的逆矩阵【答案】A， A的逆矩阵是12【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】已知矩阵，其中均为实数，若点在矩阵的变换作用下得到点，求矩阵的特征值.【答案】【解析】由条件可知，所以，则 矩阵的特征多项式为，令,得两个特征值分别为13【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】已知，求矩阵【答案】【解析】设 则， 故14【泰州市2015届高三第三次调研测试】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩阵，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为，求的面积【答案】【解析】因，即故15【

17、2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵对应的变换将点变换成（1）求矩阵M；（2）已知向量，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设，则，故 . ，故 . 联立以上方程组解得，故. （2）由（1）知 则矩阵M的特征多项式为令，得矩阵M另一个特征值为3.设矩阵的另一个特征向量是，则，解得,故 . 由，得，得 . .拓展试题以及解析1 已知矩阵，求矩阵【答案】【入选理由】本题考查矩阵的乘法运算，考查二阶逆矩阵的求法，意在考查学生逻辑思维能力和运算求解能力.本题首先求出二阶逆矩阵，再计算，像这种题型考查知识基础，目的明确，是高考出题方向，故选此题. 2已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为求A的逆矩阵【答案】【解析】由题意得， 则 ， 解得