第三章 矩阵论.ppt

1、第三章 矩阵的Jordan标准形,本章讨论矩阵可以对角化的条件以及不能对角化时,如何求出它的最简相似标准形,并介绍矩阵的Jordan标准形的求法.,第一节 特征值与特征向量,一.特征值与特征向量,设T在V上基 下的矩阵是A, 为T的一个特征值，设 是属于 的特征向量,在这组基下的坐标为X，则(3.1)式等价于,定义 设T是数域P上n维线性空间V上的线性变换，如果存在 ，使 （3.1） 则称 为线性变换T的一个特征值，为T的属于特征值 的特征向量.,例 已知三维线性空间V的基 ，线性变换T满足， 求T的特征值与特征向量.,定义 行列式 称为n阶矩阵A的特征多项式，相应地，称方程 为A的特征方程.

2、,定理3.1 矩阵A的迹等于A的主对角元素之和，矩阵A的行列式等于A所有特征值的乘积.,二. 矩阵的迹与行列式,定义 A的所有对角元素之和称为矩阵A的迹，记为trA，即,三.特征子空间,定义 设T是数域P上n维线性空间V上的线性变换,对T的任一特征值 ,T的属于 的全部特征向量 再添加零向量所构成的集合是V的子空间,称为T的属于特征值 的特征子空间,记为 .,例 是V在T下的不变子空间.,定理3.2 T的特征子空间 的维数是属于特征值 的线性无关的特征向量的最大个数.,定理 设 是A的特征值，则 的几何重数 的代数重数,定义 设 , A的各互异特征值的 代数重数等于其几何重数，则A称为单纯阵，

3、即,定理 设 是A的两两互异的特征值，则特征子空间的和 为直和。,推论1 若n阶方阵A的特征向量 分别属于两两互异的特征值 ，则 线性无关。,推论2 设n阶方阵A， 为A的两两互异的特征值，若 是属于的特征值 的特征向量； 是属于的特征值 的特征向量； 是属于的特征值 的特征向量； 则 线性无关。,第二节 矩阵的可对角化,一.相似矩阵,矩阵的相似是特殊的等价关系,可证相似关系有下面性质： 1.自反性：A相似于A ； 2.对称性：若A相似于B ,则B相似于A ； 3.传递性：若A相似于B,B相似于C,则A相似于C.,定义 设A,B是n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵P使 ，则称矩阵A与B相似.,下面进

4、一步给出相似矩阵的性质（设A,B是n阶方阵）。,性质2 若A与B相似，则A与B有相同的特征值和相同的特征多项式,性质1 若A与B相似，则 .,性质3 若A与B相似，则A与B有相同的迹.,二. 矩阵可对角化的条件,定理 设 是A的两两互异的特征值，则下列条件等价 1. A可相似对角化 2. A有n个线性无关的特征向量. 3. A为单纯阵 4. 可直和分解：,三.正规矩阵,正规矩阵是一类重要而应用广泛的矩阵,下面介绍正规矩阵的定义与性质.,定义 n阶复方阵A如满足 ,则称A是正规矩阵或规范矩阵.,推论1 若n阶方阵A有n个互异的特征值，则A可对角化。,例:验证下列矩阵都是正规矩阵： 1.实对称矩阵

5、 2.实反对称矩阵 3.正交矩阵 4.Hermite矩阵 5.反Hermite矩阵 6.酉矩阵,定理3.4 n阶方阵A酉相似于复对角阵的充要条件是A为正规阵（实或复）.,例 设A、B均为n阶正规矩阵，证明A与B相似当且仅当A与B酉相似.,第三节 矩阵的Jordon 标准形及其应用,不能对角化的矩阵一定具有多重特征值，对于不能对角化的矩阵也希望找到某种标准形式，使之尽量接近对角化的形式,这就是本节要介绍的矩阵的Jordan标准形.,1. 矩阵,一. Jordon矩阵,-矩阵的初等变换有以下三种： （1）互换 -矩阵的两行（列）； （2）以非零常数乘以 -矩阵某行（列）;（这里不能乘以 的多项式或

6、零，否则有 可能改变原矩阵的秩和属性） （3）将 -矩阵某行（列）乘以 的多项式加到另一行（列）上.,定义 元素均为 多项式的矩阵称为-矩阵，记为 .,定义 若 经有限次初等变换后变为 ,则称 与 相抵.记为 .,相抵关系是 方阵的一种等价关系，具有 1.自反性 2.对称性 3.传递性,定理： 的充要条件是存在两个可逆矩阵 与 ，使得,注：两个相抵的 方阵的行列式只能相差一个非零常数。,用初等变换可将 -矩阵化为如下Smith标准形(此标准形是唯一的）,其中,多项式 是首一多项式（首项系数为1，即最高幂次项的系数为1）,且 , , , ,即 是 的因式.,(1) -矩阵的标准形式不随所采用的初

7、等变换而变，故称 为 的不变因子.,(2) 的所有i阶子式的首项系数为1最大公因式 称为 的i阶行列式因子.,可证明初等变换不改变 的各阶行列式因子，若 的秩为r，则有 从而,(3)将每个不变因子化为不可约因式的方幂，这些不可约因式的方幂均称为 的初等因子，全体初等因子称为初等因子组.,定义 对于n阶矩阵A，定义 的不变因子、各阶行列式因子以及初等因子分别为A的不变因子、各阶行列式因子以及初等因子.,例 求 的Smith标准形.,定义 形如 的矩阵，称为若当块，由若干个若当块构成的分块对角阵，称为若当矩阵. 记为J. 即,2. Jordan矩阵,例 求n阶若当矩阵 的特征矩阵 的不变因子和初等

8、因子.,二.Jordan标准形的存在定理,定理3.5 在复数域上，任何n阶方阵A均相似于如下的若当矩阵J,J称为矩阵A的Jordan标准形,即存在n阶可逆矩阵P使得 （3.7） 其中 为 阶Jordan块，且 .,定理3.5 设T是复数域上n维线性空间的线性变换，则存在一组基，使T在该基下的矩阵为Jordan矩阵.,注：(1)若不计较Jordan块排列次序，则A的Jordan标准形是唯一的,这种唯一性是指：各Jordan块矩阵的阶数和对应的特征值是唯一的，但是各Jordan块的位置可以变化.,(2) 中的特征值全为 ,但 时有可能 ，即多重特征值可能对应多个Jordan块矩阵。,三.Jorda

9、n标准形的求法,例 求矩阵 的Jordan标准形.,四.矩阵Jordan标准形的应用,定理3.6 设A是n阶复方阵，则A可对角化当且仅当A的初等因子都是一次的.,例 设A是n阶复方阵， ，证明A可对角化.,第三节 HamiltonCayley定理及矩阵的最小多项式,一. HamiltonCayley定理,定理3.7 （HamiltonCayley）设 是A的特征多项式，则 .,例 已知 ，计算,二.最小多项式,定义 设A是n阶矩阵，使 的多项式 称为矩阵的化零多项式.,例 矩阵A的特征多项式是A的一个化零多项式。,例 列向量 ，证 也是A的一个化零多项式。,定义 次数最低且首项系数为1的矩阵A的化零多项式, 称为A的最小多项式, 记为 .,定理3.8 多项式 是矩阵A的化零多项式当且仅当 . 特别地, 有 , 其中 是A的特征多项式.,推论1 矩阵A的最小多项式是唯一的.,定理3.9 矩阵A的特征多项式、最小多项式有相同的根.（重数可能不同）,设n阶矩阵A的互异特征值 重), 重)， ， 重)， ，A的特征多项式是,则A的最小多项式必有如下形式， 其中每个 .,推论 若矩阵A的特征值互异，则它的最小多项式与特征多项式相同.,定理3.10 设A是n阶矩阵， 是A的n-1阶行