第2讲 椭圆、双曲线、抛物线

1、创新设计第2讲椭圆、双曲线、抛物线热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合1创新设计高考定位1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合2创新设计真题感悟x2y221.(2019全国卷)若抛物线 y 2px(p0)的焦点是椭圆3p p 1 的一个焦点，则 p( A.2)B.3C.4D.8pp由题意知，抛物线的焦点坐标为，0，椭圆的焦点坐标为(解析

2、 2p，0)，所以 2p22解得 p0(舍去)或 p8.答案D热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合3创新设计x2y22.(2019全国卷)双曲线 C： 4 2 1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|PF|，则PFO 的面积为( )A.32B.32C.22D.3242b 2解析 不妨设点 P 在第一象限，根据题意可知 c26，所以|OF|6.又tanPOFa 2 6所以等腰三角形 POF 的高 h 2 31 33262 2 2 ，所以SPFO22 .4答案A热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合4创新设计x2y23.(201

3、9全国卷)已知双曲线 C：a2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过F的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点.若 ， 0，则 C 的F1AABF1BF2B1离心率为 .解析 因为 0，所以 F BF B，如图.F1BF2B12所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合5创新设计所以BOF 2BF O.因为F1AAB，所以点 A 为 F B 的中点，又点 O 为 F F的中点21112所以 OABF2，所以 F1BOA，因为直线 OA，OB为双曲线 C的两条渐近线，所以tanBF O 1a，tanBOF b.因为bt

4、anBOF tan(2BF O)，所以a1221batanAOF1a2bca2，所以 b23a2，所以 c2a23a2，即 2ac，所以双曲线的离心率 ea2.1b答案2热点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合6创新设计x214.(2019全国卷)已知曲线 C：y 2 ，D 为直线 y2上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.(1)证明：直线 AB 过定点；5(2)若以 E0，2为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积.热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合7创新设计12(1)证明 设 Dt， ，A(x1，

5、y1)，则 x12y1.21y12因为 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1，故x1t x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210. 故直线AB的方程为2tx2y10.1所以直线 AB 过定点0，2.热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟考点整合8创新设计1(2)解 由(1)得直线 AB 的方程为 ytx2.ytx12，由可得 x22tx10.2x y 2于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|1t2|x1x2|1t2（x1x2）24x1x22(t21). 22设 d ，d分别为点 D，E 到直线 AB 的距离，则 d t

6、 1d .，1212t211因此，四边形 ADBE 的面积 S2|AB|(d1d )(t23)t21.2热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合9创新设计12设 M 为线段 AB 的中点，则 Mt，t .2因为 2EMAB，而EM(t，t 2)，AB与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0，解得t0或t1.当 t0 时，S3；当 t1 时，S4因此，四边形 ADBE 的面积为 3 或 42.2.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合10创新设计考点整合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(

7、2a|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|d(d 为 M 点到准线的距离).题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.温馨提醒 应用圆锥曲线定热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合11创新设计2.圆锥曲线的标准方程x2y2y2x2(1)椭圆：a2b21(ab0)(焦点在 x 轴上)或a2b21(ab0)(焦点在 y 轴上)；x2y2y2x2(2)双曲线：a2b21(a0，b0)(焦点在上)；x轴上)或a2b21(a0，b0)(焦点在y轴(3)抛物线：y22px，y22px，x22py，x22py(p0).热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟考点整合12创新设计3.圆锥曲线的重

8、要性质(1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系b2c222在椭圆中：a b c ；离心率为 ea1a2.b2c222在双曲线中：c a b ；离心率为 ea(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标1a2.x2y2b双曲线a2b21(a0，b0)的渐近线方程为 yax；焦点坐标 F1(c，0)，F2(c，0).y2x2a双曲线a2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybx，焦点坐标 F1(0，c)，F2(0，c).热点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合13创新设计(3)抛物线的焦点坐标与准线方程pp2抛物线 y 2px(p0)的焦点 F，0，准线方程 x .22pp2抛物线 x 2p

9、y(p0)的焦点 F0，2，准线方程 y2.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合14创新设计4. 弦长问题(1) 直设而不求，利用于 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|A(2)过抛物线焦点的弦长物线 y22px(p0)过焦点 F的弦AB，若A(x1，y1)，Bp2，弦长|AB|x1x2p.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合15创新设计热点一圆锥曲线的定义及标准方程x2y2【例 1】 (1)(2019河南八市联考)设双曲线 C： 8 m1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与双曲线 C 交于 M，N 两点，其中 M 在左支上，N 在右支上

10、.若F2MNF2NM，则|MN|( )A.8C.8B.4D.422热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合16创新设计(2)(2019全国卷)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1，0)，F2(1，0)，过F2 的直线与 C 交于 AB 两点.若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则 C 的方程为( )x2x2y22A. 2 y 1B. 3 2 1x2y2x2y2C. 4 3 1D. 5 4 1热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟考点整合17创新设计解析(1)由F2MNF2NM，知|F2M|F2N|，由双曲线定义可知，|MF2|MF1|42，|NF1|NF2|42，两式相

11、加，得|NF1|MF1|82，故|MN|NF1|MF1|82. x2y2(2)设椭圆的标准方程为a2b21(ab0).连接 F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.a由椭圆的定义知，4m2a，得 m2，故|F2A|a|F1A|，则点 A 为椭圆 C 的上顶点或下顶点.热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合18创新设计如图.3b不妨设 A(0，b)，由 F2(1，0)，AF22F2B，得 B，.22b29由点 B 在椭圆上，得 4 4 1，a2b2x2y22222得 a 3，b a c 2，椭圆 C 的方程为3 2 1.答案(1)C(2)B热点聚焦分类突破归纳总结

12、思维升华真题感悟 考点整合19创新设计探究提高 1.两题求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程，另外注意焦点在不同的坐标轴上，椭圆、双曲线、抛物线方程各有不同的表示形式. 2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合20创新设计x2y2【训练 1】(1)已知双曲线a2b21(a0，b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点.设 A，B 到双曲线的同一

13、条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为( )x2y2x2y2A. 4 121B.12 4 1x2y2x2y2C. 3 9 1D. 9 3 1热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合21创新设计(2)(2019武汉调研)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，l 与 x 轴的交点为P，点 A 在抛物线 C 上，过点 A 作 AAl，垂足为 A，若四边形 AAPF 的面积为 14，且3cosFAA ，则抛物线 C 的方程为( )5A.y2xC.y24xB.y22xD.y28x热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟考点整合22创新

14、设计x2解析(1)由 d1d26，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为 3，所以 b3.因为双曲线a2a2b2a29y2c4，解得 a23b21(a0，b0)的离心率为 2，所以a2，所以a24，所以a2x2y2所以双曲线的方程为3 9 1.(2)作出图形如图所示，过点F作FFAA，垂足为F.3设|AF|3x，因为 cosFAA5，故|AF|5x，|FF|4x.热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合23创新设计由抛物线定义知|AF|AA|5x，p15则|AF|2xp，故 x2.因此四边形 AAPF 的面积 S2(|PF|AA|)|PA|p2pp14.所以p2，故抛物线C的方程为y24

15、x.答案(1)C(2)C热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合24创新设计热点二圆锥曲线的几何性质x2y2【例 2】(1)(2018全国卷)双曲线a2b21(a0，b0)的离心率为 )3，则其渐近线方程为( A.y2xB.y3x 2C.yx 3D.y2 x2热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合25创新设计x2y2(2)(2019雅礼中学质检)已知椭圆 C：a2b21(ab0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线4相交于 A，B 两点，连接 AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF ，则 C 的离心率为5( )A.3B.5C.4D.65757热点聚焦

16、分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合26创新设计解析 (1)法一由题意知，ec3a，所以 bc2a2 2a，即b3，所以 c2aab所以该双曲线的渐近线方程为 yx2x.acb2b 法二由 e 13，得 2，所以该双曲线的渐近线方程aaab为 yx2x.a 热点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合27创新设计(2)如图所示，在AFB中，由余弦定理得|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cosABF410064210836，5所以|AF|6，BFA90，设F为椭圆的右焦点，连接BF，AF.根据对称性可得四边形AFBF是矩形.所以|BF|6，|FF|10，所以2a86，

17、2c10，c5解得 a7，c5，所以 ea7.答案(1)A(2)B热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合28创新设计探究提高1.分析圆锥曲线中 a，b，c，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于 a，b，c的等量关c系或不等关系，然后用 a，c 代换 b，进而求a的值.ba3.求双曲线渐近线方程关键在于求a或b的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合29创新设计x2y2【训练 2】(1)(2018全国卷)已知双曲线 C：a2b2

18、1(a0，b0)的离心率为2，则点(4，0)到 C 的渐近线的距离为( )C.32A.2B.2D.222x2y2(2)(2019衡水中学调研)设 F1，F2 分别是椭圆C：a2b21(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆 C 上，且|PF1|3|PF2|，若线段 PF1 的中点恰在 y 轴上，则椭圆的离心率为( ) 3A. 3B. 2C.D.13622 热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合30创新设计解析 (1)法一由离心率 ec2a，又 b2c2a2，得 ba，所以双曲线 C2，得 ca 4的渐近线方程为 yx.点(4，0)到曲线 C 的渐近线的距离为 d22.1212法二离心

19、率 e2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 yx，点(4，0) 4到 C 的渐近线的距离为22.11(2)由于|PF1|PF2|2a，且|PF1|3|PF2|，a3a所以|PF | ，|PF |，2212热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合31创新设计因为线段PF1的中点在y轴上，且O为F1F2的中点，所以PF2y轴，得PF2F190，a23a2 2 2所以(2c) ，则 a 2c，故 e.2 2 2答案(1)D(2)C热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合32创新设计热点三直线与圆锥曲线角度1直线与圆锥曲线的位置关系【例31】如图，设椭圆的中心为原点O，长轴

20、在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且AB1B2是面积为4的直角三角形.(1) 求该椭圆的离心率和标准方程；(2) 过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使得PB2QB2， 求直线l的方程.热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合33创新设计x2y2解 (1)设所求椭圆的标准方程为a2b21(ab0)，右焦点为 F2(c，0).因为AB1B2是直角三角形，且|AB1|AB2|，所以B1AB290，因此|OA|OB |，得 bc.22由c2a2b2得4b2a2b2，c25故 a25b2，c24b2，所以离心率 ea.51c2在 Rt

21、AB B中，OAB B ，故 S | B B | OA|OB | OA| bb .1212AB1B212222由题设条件 SAB1B24 得 b24，所以 a25b220.x2y2因此所求椭圆的标准方程为20 4 1.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合34创新设计(2)由(1)知B1(2，0)，B2(2，0).由题意知直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为xmy2，代入椭圆方程并整理得(m25)y24my160.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 4m 16则 y y ，y y ，12m2512m25又 B2P(x12，y1)，B2Q(x22，y2)，所以B2P

22、B2Q(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616（m21）16m26416m216，m2522m 5m 5热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合35创新设计 0，由 PB QB ，得B2PB2Q22即16m2640，解得m2.所以满足条件的直线l有两条，其方程分别为x2y20和x2y20.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合36创新设计探究提高1.本题充分利用三角形的性质与椭圆的定义寻找a与c的关系，从而求得离心率.2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一

23、元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合37创新设计【训练3】在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y2 2px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.|OH|(1)求|ON|；(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由.热点聚焦 分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合38创新设计 t2解 (1)如图，由已知得 M(0，t)，P，t，2pt2又N 为M 关于点P 的对称点

24、，故Np，tp故直线 ON 的方程为 y tx，将其代入 y22px 整理得 px22t2x0，2t22t2解得 x 0x ，因此 H，2t.，12pp所以 N 为 OH 的中点，即|OH|2.|ON|热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟考点整合39创新设计(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下： p直线 MH 的方程为 ytx，即 x p2t(yt).2t代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点.热点聚焦分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合40创新设计角度2有关弦的中点、弦长问题3【

25、例 32】 (2019全国卷)已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为 的直线 l 与 C2的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P.(1)若|AF|BF|4，求 l 的方程；(2)若，求|AB|.AP3PB热点聚焦分类突破归纳总结 思维升华真题感悟考点整合41创新设计3解 设 直 线 l：y xt，A(x ，y )，B(x ，y ).1122233(1)由题设得 F，0，故|AF|BF|x1x2 .425又|AF|BF|4，所以 x x22.1y32xt，可得 9x212(t1)x4t20，由y23x12（t1）1其中 144(12t)0，即 t0).所以 l 的方程为 y2x8.9(

26、2)由AP3PB可得 y 3y .12y3xt，2由2可得 y 2y2t0，所以 y y 2.12y23x由联立，得y13，且y21.1代入 C 的方程得 x 3，x23.1413故 |AB| （x x ）2（y y2） 2.1213热点聚焦分类突破归纳总结思维升华真题感悟 考点整合43创新设计探究提高1.涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系与弦长公式|AB|1k2|x2x1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算，当 A，B 两点坐标易求时也可以直接用|AB|（x1x2）2（y1y2）2求解.2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件 0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.热点聚焦 分类突破归纳总结 思维升华真题感悟 考点整合44创新设计x2y2【训练 4】 (2018全国卷选编)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：4 3 1 交于 A，B两点，线段 AB 的中