数学分形实验.ppt

1、分形几何实验,长期以来，对某一个数学集合，人们总是习惯于在Euclid空间(n,Euclidean)对其研究和对其度量，其中字母n表示该空间的维数，通常它是一个整数. 对有限个点，取n=0，对一条线段或一块有限平面图形或一块有限的空间几何体，则分别取n为1,2和3，同时也可分别得到它们的定常度量. 习惯上我们分别称它们为点的个数、线段的长度、平面图形的面积和立体的体积. 但在一个世纪以前，相继出现了一些被称之为“数学怪物” (Mathematical monsters)的东西，人们无法用传统的Euclid几何语言去描述它们的局部和整体性质.,典型的数学怪物有如下几种:,（）处处连续而处处不可微

2、的函数曲线,自从有了函数曲线的连续与可微性质及其关系以后，是否存在一个处处连续而点点不可微的函数曲线成了研究的热门.首先解决这个问题的是大数学家Weierstrass，他于1872年设计了如下一个函数,其中0a1b，且ab1。,Weierstrass证明了对某些a和b的值，该函数无处可微.1916年，Hardy证明了对满足上列条件的所有a和b的值，W(x)都是无处可微的.,课后作业:参照教材第122页的练习4, 选择合适的a,b,请用mathematica画出此曲线?,(2) Koch曲线,在没有计算机的时代，W(x)的缺点是极难绘画，故不够直观.到1904年，瑞典数学家von Koch设计了

3、一条被称之为Koch曲线的图形，其设计步骤如下：,以下是koch曲线的从0到4的五个图形：,下面是实现第121页练习1的mathematica程序：,右图是在正三角形的每条边上同时向内作koch曲线的结果，若在正方形各条边上同时向内作koch曲线，结果如何？,参见程序 EX12-1.NB,(3) Sierpinski三角形,对一个边长是的三角形0,以各边的中点为顶点，挖去一个正三角形，余下的部分设为1，对1中的个三角形同样进行如上过程直到无穷大，如图所示。,下面是实现第121页练习2的mathematica程序：,参见程序 Ex12-3.NB,在mathematica下，只要输入f(n)(n=

4、1,2,6)即可等到右边的图形。,(4) Minkowski香肠,参见教材第119页,redominkowskiptlist_List := Blocktmp = , tmp1, i, pnum = Lengthptlist, Fori = 1, i 1/GoldenRatio;,E,E1,E2,E3,Minkowski.NB,(5) 花草和树木的生成,参见教材第120页,一棵树木,一棵小草,你能根据磁盘上的mathematica程序EX12-2.NB,生成一个更为复杂的花草或者树木吗？,(6) 龙曲线(见教材第119页）,(7) Hilbert曲线(见教材第120页）,Mandelbrot在

5、对这些数学怪物及许多物理现象进行研究后，终于创立了影响世纪数学的一个重要学科分形几何(fractal geometry).Fractal这个词是Mandelbrot创造的，来源于拉丁文Fractus，其英文意思是broken.1975年，Mandelbrot在巴黎出版了法文著作Les obiects fractals:forme,basard et dimension，1977年在美国出版了其英文版Fractals:Form，Chance，and Dimension，他们都可译为分形，机遇和维数.同年，它又出版了The Fractal Geometry of Nature第二版的问世，在美国乃

6、至欧洲，迅速形成了“分形热”.,那么究竟什么是分形呢？应该说，到目前还未有严格的意义的定义.我们不妨引用K.Falconner对分形F的描述：,（）F具有精细的结构，即是说在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节； （）F是如此地不规则，以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述； （）F通常具有某种自相似性，这种自相似性可以是近似的，也可能是统计意义上的； （）F在某种意义下的分形维数通常都大与它的拓扑维数； （）在大多数令人感兴趣的情形下，F以非常简单的方法定义，或许以递归过程产生.,分形几何与Euclid几何作一简单比较：,Euclid 几何 经典的(2000多年历史) 基于特征长度与比

7、例 适合于人工制品 用公式描述,分形几何 现代怪物(20多年历史) 无特征长度与比例 适用于大自然现象 用(递归或迭代)算法描述,分形几何的诞生才不过20多年，但它对多种学科的影响是极其巨大的.卷入分形狂潮的除数学家和物理学家外，还有化学家、生物学家、地貌学与地震学家、材料科学家等由于分形的最重要特征是自相似性，所以信息科学家对其情有独钟，分形图像压缩被认为是最具前景的图像压缩技术之一，分形图形被认为是描述大自然景色最诱人的方法.美国物理学家Wheeler说：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人”.在某些分形网站，赫然写着：“分形学，21世纪的数学”，这并不是什么无稽之

8、谈.,本分形实验的目地，就是通过mathematica研究分形图像的绘制方法，画出各种各样的分形图形，特别是Mandelbrot集的图形。,函数的复迭代,在数学上已经证明，M集（Mandelbrot集）的边界正好就是J集（Julia集）。,如何在计算机上绘制出J集与M集的图像？,J集（Julia集）的绘制流程图：,J集(Julia集的绘制结果）：,在mathematica中绘制J集与M集的简单方法：,由于复数运算是mathematica的基本运算，所以在mathematica中，绘制J集与M集就更加简单，下面以M集的绘制方法为例来说明。,定义函数M(x,y)，其返回值是迭代的次数。,以M(x,

9、y)为绘图函数，用DensityPlot画出函数在给定区域的密度图。注意，选择不同的颜色函数会得到不同的结果。,选择的绘图区域不同，你所画出的图像可能会不相同。 这是画出上面的那幅图像x的取值在 (-0.63,-0.4)，y取值在（0.5,0.71）内的图像。,下面画出 此区域图像,下面画出 此区域图像,继续放大的话，你估计会有什么结果？,实际上，迭代不一定返回其迭代次数，也可以返回其它值，例如复数z的模，迭代函数也不一定必须是f(z)=z2,也可以是其它迭代函数，本例中的迭代函数就是一个较复杂的函数。,除了改变 （1）迭代函数； （2）迭代的返回值 外，修改绘图的颜色函数选项，也能够得到非常漂亮的