玉林高中级培优班数学补充资料(7)解析几何的存在性问题、定点定值问题与最值问题

1、最新资料推荐玉林高中 2015 级培优班数学补充资料（7） 存在性问题、定点定值问题与最值问题班别： _姓名： _1、椭圆 x2y21 两焦点分别为 F1、 F2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足24PF1 PF21 ，过 P 作倾斜角互补的两条直线PA、 PB 分别交椭圆于 A、B 两点 .（ 1）求 P 点坐标；（ 2）求证直线 AB 的斜率为定值；（ 3）求 PAB 面积的最大值。2、已知椭圆 E 经过点 A（ 2，3），对称轴为坐标轴，焦点1，F2 在 x 轴上，离心率1 .Fe2（ I）求椭圆E 的方程；（ II ）求F1 AF2 的角平分线所在直线（ III ）在椭圆 E 上是

2、否存在关于直线若不存在，说明理由 .l 的方程；l 对称的相异两点？若存在，请找出；1最新资料推荐3、已知椭圆的两焦点为F1 ( 3,0) ， F2 ( 3,0)，离心率 e3.（ 1）求此椭圆的方程；2（ 2）设直线 l : y xm ，若 l 与此椭圆相交于P ，Q 两点，且 PQ 等于椭圆的短轴长，求m 的值；（ 3）以此椭圆的上顶点B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.4、已知椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线y 24 5x的焦点 ,离心率是6 .3（ 1）求椭圆 E 的方程；（ 2）过点 C ( 1,0

3、) ，斜率为 k 的动直线与椭圆 E 相交于 A 、 B 两点，请问 x 轴上是否存在点 M ，使 MA MB 为常数？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由2最新资料推荐5x轴上，它的一个顶点恰好 是抛物线 x24y的焦点，离心率 e2，、已知椭圆的焦点在5过椭圆的右焦点 F 作与坐标轴 不垂直的直线 l 交椭圆于 A, B 两点（ 1）求椭圆方程；（ 2）设点 M (m,0) 是线段 OF 上的一个动点，且 (MA MB )AB ，求 m 的取值范围；（ 3）设点 C 是点 A关于 x 轴对称点，在 x 轴上是否存在一个定点N ，使得 C, B, N 三点共线？若存在，求出定点N

4、 的坐标，若不存在，请说明理由3最新资料推荐6. 如图 , 设椭圆的中心为原点 O,长轴在 x 轴上 , 上顶点为 A, 左右焦点分别为 F1 , F2 , 线段OF1, OF2 的中点分别为B1, B2 , 且 AB1B2 是面积为 4 的直角三角形 .( ) 求该椭圆的离心率和标准方程;( ) 过 B1 做直线 l 交椭圆于P,Q 两点 , 使 PB2QB2 , 求直线 l 的方程4最新资料推荐玉林高中 2015 级数学培优资料（ 7）答案存在性问题、定点定值问题与最值问题1、解：（ 1）由题得 F1 (0,2 ) ， F2 (02) ，设 P0 ( x0 , y0 ) (x00, y00

5、) PF1(x0 ,2y0 ) ，PF1( x0 , 2 y0 ) ， PF1 PF 2x02(2 y02 ) 1 ，x02y0224 y024 y02(221 ，得 y02 .点 P( x0 , y0 ) 在曲线上，则241 ， x02，从而y0 )2则点 P 的坐标为 (1,2 ) .（ 2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为 k ( k0) ，则 BP的直线方程为：y2k (x1) . 由y2k( x1)k 2 ) x2x2y 21得 (22k(2k )x24( 2k) 240 ，设 B (xB , yB ) ，则 1 xB2k(k2 ), xB2k(k2)1k22

6、2k2，2k22k22k2k 22 2 k2)xB4 2k，yAyBk( xA1)k( xB1)8k2 .同理可得 xA2k2，则 xA2k22k所以： AB的斜率 k ABy AyB2 为定值 .xAxBy2xm（ 3）设 AB的直线方程：y2 xm . 由x2y2，得 4 x222mxm240 ，241由(2 2m) 216( m24)0 ，得2 2m22P到 AB的距离为 d| m | ，则31112| m |1 221 m2m282S PAB2 | AB | d2(42m) 338 m(m8)8 (2)2。当且仅当 m222 ,22 取等号三角形 PAB面积的最大值为2 。2、解析（

7、I）设椭圆 E 的方程为x2y21a2b2由 e1,即 c1,a2c,得 b2a2c23e2,椭圆方程具有形式x2y21.2a24c23e2将 A （2， 3）代入上式，得131,解得 c2, 椭圆 E 的方程为 x2y21.c2c21612（ II） 解 法 1 ： 由 （ I） 知 F1 ( 2,0), F2 (2,0)， 所 以 直 线 AF 1的 方 程 为 ：y3 ( x2), 即3x4y60, 直线 AF 2 的方程为： x2.4l 的斜率为正数 .设 P(x, y)为 l 上任一点，由点 A 在椭圆 E 上的位置知，直线则 | 3x4 y 6 | x2 |.若 3x4 y65x1

8、0, 得 x2 y80（因其斜率为52x y10.负，舍去） .所以直线 l 的方程为：5最新资料推荐A(2,3), F1 ( 2,0), F2 (2,0),AF1(4, 3), AF2(0,3).解法 2：AF1AF214,3)13)4| AF1 | | AF2 |(0,(1,2).535k12, l : y 3 2( x 1),即2x y 1 0.（ III ）解法1：假设存在这样的两个不同的点B( x1 , y1 )和 C ( x2 , y2 ),BCl ,kBCy2y11 .设 BC的中点为 M (x0 , y0 ),则 x0x1x2 , y0y1y2 ,x2x1222由于 M 在 l

9、 上，故 2x0 y010.又 B ， C 在 椭 圆 上 ， 所 以 有 x12y121与 x22y221. 两 式 相 减 ， 得x22x12y22y1216121612( x1x2 )( x2x1 ) ( y1y2 )( y2y1 )0.16120, 即1612将该式写为1x1x2y2y1 1y1y20 ，82x2x162并将直线 BC 的斜率 kBC 和线段 BC 的中点，表示代入该表达式中，得 1x010,即3x02 y00.812 y0 2得 x22, y03，即 BC 的中点为点 A ，而这是不可能的 .不存在满足题设条件的点B 和 C.解法 2：假设存在 B( x1 , y1

10、), C (x2 , y2 )两点关于直线 l 对称 ，则 lBC, kBC1 .x2y22设直线 BC的方程为 y1m, 将其代入椭圆方程1,x16122得一元二次方程 3x24( 1 xm)248,即 x2mxm2120,2则 x1与x2 是该方程的两个根，由韦达定理得x1x2m,于是 y1y21( x1x2 )3mm 3m22m2,B ， C 的中点坐标为 (,).3m24又线段 BC 的中点在直线 y2 x1上 ,m 1,得 m4.4即 B ，C 的中点坐标为（ 2， 3），与点 A 重合，矛盾 .不存在满足题设条件的相异两点.3 、 解 ：（ 1 ） 设 椭 圆 方 程 为 x2y

11、21 (a b 0) ， 则 c3 ， c3 ，a 2b2x2a2a2, b2a 2c 21所求椭圆方程为y21.4（ 2）由yxm，消去 y，得 5x 28mx4( m21)0 ，x24 y 246最新资料推荐则64m 280(m 21)0 得 m25（ * ）设 P(x1, y1 ), Q( x2 , y 2 ) ，则xx28m，x1 x24(m21) ， yy2xx2，15511PQ(x1x 2 ) 2( y1 y2 )22(8m) 216(m 21)2解得 . m 215，满足（ * ）55，8（ 3）设能构成等腰直角三角形ABC ，其中 B （ 0， 1），由题意可知，直角边BA ，

12、 BC 不可能垂直或平行于x 轴，故可设 BA 边所在直线的方程为ykx1（不妨设 k0 ），则 BC边所在直线的方程为y1x1 ，由ykx1，得 A8k8k 2kx 24 y2(1 4k 2 ,1 4k 21),48k) 28k22 ) 28k1k2AB(,12114k214k4k用代替上式中的k，得 BC81k 2，由 ABBC ，得 k ( 4k 2 )14k 2 ,k4k 2k0，解得： k1或 k35，故存在三个内接等腰直角三角形.-24、解：（ 1）依题意椭圆的焦点在x 轴，且 a5, 又c ea6530 ,故 ba 2c25 105 ,3333故所求椭圆 E的方程为 x23y21

13、,即 x23y 2555（ 2）假设存在点M 符合题意，设AB ： yk (x1),代入 E : x23y 25 得： (3k 21) x26k 2 x 3k 25 0设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), M (m,0) 则x1x26k2, x1x23k253k 23k211MAMB(k21)x1 x2(k2m)( x1x1)k22m22m16m14分m33(3k21)10要使上式与 K 无关，则有6m140, 解得 m7，存在点 M (7 ,0) 满足题意33、解：（ ）由题意知b1，又2c2a2b 24，所以 a 25，所以 x 2y 2151ea 2a255（ 2）由（

14、 1）得 F (2,0) ，所以 0m2，设 l 的方程为 yk ( x 2)( k0) ，联立得(5k 21) x 220k 2 x20k 250 ， x1x220k 220k 255k， x1 x2，（ * ）215k 21MAMB(x1x22m, y1y2 ) ， AB( x2x1 , y2y1 ) ，由题意得( x1x22m)( x2x1 ) ( y1y 2 )( y 2y1 )0，代入可得 (85)2m0，所以 k2m0得0m8m k85m5（ 3）设 N (t,0) ，则有 CB / CN ，所以 CB( x2x1 , y2y1 ) ，7最新资料推荐CN(tx1 , y1 ) ，所

15、以 (x 2x1 ) y1( y2y1 )(tx1 ) ，整理得：x2 y1x1 y2x2 (kx12k) x1( kx2 2k)2kx1 x22k( x2x1)ty1y2k( x2x1 ) 4kk (x2x1) 4k2 x1 x22( x2x1 )代入（ * ）式解得 t5( x2x1 )42 来源：学科网所以在 x 轴上存在一个定点N ( 5 ,0) ，使得 C, B, N 三点共线26. 解 : 设所求椭圆的标准方程为x2y21 ab0 , 右焦点为 F2c,0.22ab因AB1B2 是直角三角形, 又 AB1AB2, 故B1 AB2 为直角 ,因此 OAOB2 , 得bc .结 合 c2a2b2得 4b2a2b2 ,故 a25b2 , c24b2 , 所 以 离 心 率2ec 2 5 . 在 Rt AB1 B2 中, OAB1B2 , 故a5S AB B21 B1B2 OA OB2 OAc b b2由 题 设 条 件 S AB1 B24 , 得122b24 ,从而 a25b220 .因此所求椭圆的标准方程为:x2y21204(2) 由 (1) 知 B1(2,0), B(2,0), 由题意知直线 l的倾斜角不为0, 故可设直线 l 的方程为 : xmy2, 代入椭圆方程得m25y24my160,设 Px , y