自动控制演示文稿7讲稿

1、自动控制原理第七章 非线性系统的分析 1 一般概念 2 相平面法 3 相平面分析法 4 描述函数法 5 非线性的描述函数分析 6 利用非线性改善控制系统的性能 退出1关于非线性系统的基本概念在前面各章中，我们讨论了线性系统各方面 的问题。但是，理想的线性系统是不存在的。实际的物理系统，由于其组成元件在不同程 度上具有非线性特性，严格地讲，都是非线 性系统。当系统的非线性程度不严重时，在 某一范围内或某些条件下可以视为线性系统， 采用线性方法进行研究是有实际意义的。但 是，如果系统的非线性程度比较严重，采用 线性方法往往会导致错误的结论。因此，必 须对非线性系统进行专门的探讨。 退出(一)非线性

2、特性在实际控制系统中最常见的非线性特性有死区、饱和、间隙、继电器等。不灵敏区 又称死区 常见于测量、放大元件中其特点是当输入信号在零值附近的某一小范围之内时，没有相应的输出信号，只有当输入信号大于此范围时，才有输出信号。执行机构中的静摩擦的影响往往也可用死区来表示。死区特性如图1(a)所示控制系统中死区特性的存在，将导致系统产生稳差而测量元件死区的影响尤为显著。摩擦死区会造成系统低速运动的不均匀，导致随动系统不能准确地跟踪目标。 退出x (t)k- ae0a(t)饱和 饱和也是一种常见的非线性，在铁磁元件及各种放大器中都可遇到，其特点是，当输入倍号超过某一范围后，输出信号不再随输入倍号而变化，

3、将保持某一常数值(图1(b)。饱和特性将使系统在大信号作用下之等效放大系数减小，因而降低稳态精度。在有些系统中利用饱和特性做信号限幅。x (t)b- ake0a(t)- b间隙又称回环 传动机构的间隙也是一种很常见的非线性特性。在齿轮传动中，由于间隙的存在，当主动轮方向改变时，从动轮保持原位不动，直到间隙消除后才改变方向 (图1(c)。铁磁元件中的磁滞现象也是一种回环特性，又称磁滞特性。间隙或回环特性对系统的影响比较复杂，一般说来，它会使系统稳差增大，相位迟后增大，从而使动态特性变坏。采用双片弹性齿轮(无隙齿轮)可以消除齿轮间隙对系统的不利影响。x (t)b 退出- a- e0k+ eae (

4、t)- b继电器特性 由于继电器吸上电压和释放电压的不同，其特性中包含了死区、回环和饱和特性(图1(d)。图中当a0 时的特性称为理想继电器特性。在控制系统中，有时利用继电器的切换特性来改善系统的性能。x (t)b- a- ma0maae (t)- b退出x (t)b0e (t)x (t)b0- aae (t)- bx (t)- bb- ae (t)0a- b退出(二)非线性系统的特点与线性系统相比较非线性系统具有一些显著的特点：退出(1) 线性系统的稳定性和零输入响应的性质只决定于系统本身的结构和参数，而和系统的初始条件无关。然而非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统本身的结构和

5、元件特性而且与系统的初始条件有关。对于同一结构和参数的系统，可能出现在较小初始值时系统稳定，但在饺大初始值时系统不稳定的情况，也可能相反。因而对非线性系统，不能笼统地讲系统是否稳定。(2) 对于线性系统而言，只有两种基本的运动形式即发散和收敛。只有当系统处于稳 定的临界状态时，才会出现等幅振荡但这 一运动形式是不能持久的。系统参数稍有 细微的变化，这一临界状态就不能继续， 而会转化为发散或收敛，然而在非线性系统中，除了发散和收敛两种运动形式外，即 使无外界作用，往往也会发生具有一定振 幅和频率的振荡，称为自持振荡，又称自 激振荡。在有的非线性系统中，还可能产生不止一种振幅和频率都不相同的自持振

6、荡。 退出(3) 在线性系统中，当输入信号为正 弦函数时，稳态输出信号也是相同频率的正弦函数，两者仅在隔值和相位上不问，因此可以用频率特性来表示系统的固有特性。但是在非线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信号通常是包含高次谐波的非正弦周期函数， 其周期与输入信号相同。有时还会出现跳跃谐振、倍频和分频振荡等现象。 退出(4) 从分忻方法上看，线性系统用线性微分方程来描述，可以应用叠加原理。用典型信号对系统分析的结果，一般也适用于其他情况。而非线性系统要用非线性微分方程来描述，不能应用叠加原理， 因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。在实际上遇到非本质的非线性系统时，常常采用小偏差线

7、性化方法处理。对于本质非线性特性，有时采用分段线性化方法或其他近似方法。应该指出， 研究非线性系统并不一定都要求解其暂态过程，通常讨论的重点是系统是否稳定；会不会产生自持振荡，如会产生，其振幅和频率为多少?如何消除自持振荡等。 退出在工程实际上应用的分析非线性系统的方法中，描述函数法和相平面法是应用较为广泛的。相平面法是一种时域分析法，它保留非 线性特性，而将高阶的线性部分近似地化为二阶来进行分析。描述函数法是一种频域分 析法，它保留线性部分，而对非线性环节进 行谐波线性化分析。它们采用的近似方法是互相补充的。应该指出，模拟汁算机和数字计算技术的发展，给分析复杂的非线性系统提供了力便和有效的条

8、件，必将进一步促进非线性系统的研究工作。 退出2 谐波线性化与描述函数描述函数法是在频域中分析非线性的一种近似方法。它是频域法于一定条件下和在非线性系统中的应用，主要用于分忻非线性系统的稳定性，自持振荡及其在正弦信号作用下之输出。描述函数法实质上是一种谐波线性化方法，其基本思想是用非线性环节输出信号中的基波分量来取代其正弦输入信号作用下之实际输出。 退出谐波线性化设非线性系统的方框图如图2所示。图中N（A）为非线性元件。设N（A）的输入信号一正弦信号x(t)= As由inw于t非线性特性的作用，其输出信号的稳态分量y（t）是一个非正弦周期函 数，其周期与输入信号相同。我们作如下假设：（1） 高

9、次谐波的幅值通常要比基波的幅值小；（2） 系统的线性部分G(s)又具有低通滤波特性； 所以可以认为只有基波分量沿闭环回路反馈到N 的输入端，而高次谐波经低通滤波后衰减得可以忽略不计。在这种假设条件下，可以只考虑y的基波分量。此外，设非线性特性为对称型。G(s)N( A)r(t)= 0-x(t)y(t)c(t)上述情况实际上可以看成如下的情形：即相当于将非线性元件在一定条件下看成为具有对输入正弦的响应仍是同频率正弦的线性化特性的一种线性元件，从而使含有这种非线性元件的非线性系统变成一类有条件的线性系统，或称线性化系统，其条件便是指谐波线性化。描述函数又称等效复放大系数在谐波线性化系统中，非线性元

10、件的特性，与通过频率响应描述线性元件特性相类似，也可采用一复变函数N（A）来描述。该复变函数的模等于非正弦周期输出的基波 y1(t)= Y1 sin（wt + j1）的振幅A与输入正弦x(t)= As的in振w幅t A之比，其相角为正弦输出 y 1(相t)对正弦输入的x(相t)移因此复变函数N（A）称为非线性元件的描述函数，它与线性元件的频率响应不同，一般是输入正弦振幅A的函数，只有当非线性元件具有储能特性时，描述函数才既是输入振幅又是角频率的函数。+2 A。中y= ACOS叩t + B量Sln 励t )_i ，暑一 1g= A产Y,.sin(nwt + rp) :.: 1,l1f 2 r兀J

11、01”了l章I兀 JO .-A退出n“vtI.“一门，化 arcig l. B 退出N(A)= Y1 j= B1+jA1=tg-1 A1A2+ B2111AAAB1描述函数N(A)表示当非线性元件的输入信号为正弦函数时，输出信号的基波分量与输入信号在幅值和相位上的相互关系，类似于线性系统中的频率特性。在一般情况下，N(A)为正弦输入信号幅值的函数， 而与频率无关。当非线性元件的特性单值特性时， 其撤述函数是一个实数，这时输出信号基波与正 强输入信号同相。需强调指出，描述函数中相移 是由于非线性元件的非单位特性引起的，与线性 系统的频率特性中相移不是一回事。 退出典型非线性特性的描述函数下面介绍

12、几种典型非线性特性的描述函数。这些特性都是对称奇函数。包括：（1） 饱和特性的描述函数；（2） 不灵敏区特性的描述函数；（3） 间隙特性的描述函数；（4） 继电器特性的描述函数； 退出（1） 饱和特性的描述函数输出y (t)y (t)K- S0x (t)S输入0wtj1 p-j10j1p-j1x (t)px (t)= Asin(wt)2p退出wtKAsin wt0 wt j1 退出y(t)=KSj wt p - j11KAsin wtp - j1 wt pA0= 0A1= 02pB= 1y tsin wtdwt= 4 y tsin wtdwt1p0( )2( )pp0= 4j1KA sin2w

13、tdwtp+ 2KS sin wtdwt p 0= 2KAj11 -(S A)2sin-1S+ SpAAY1=j1=tg-1A1B1= B1A2+ B211= 02)S A(1 -AA= 2K sin-1S+ Sp ( A S )AAN( A)= Y1j1= B11.00.90.80.7N( A) K0.60.50.40.30.20.100.10.20.30.40.50.6 S A0.70.80.91.0问题：请大家绘出- 1N( A)（2） 不灵敏区特性的描述函数输出y (t)y (t)-D0KKDx (t)输入0wtj1 p-j10x (t)j1p-j1px (t)=Asin(wt)2p退

14、wt出00 wt j1 退出y(t)=K( Asin wt- D)j wt p - j11A0=00A1= 0p - j1-1N0( A) - p2- 1N0( A)回过头来趋向-N(A)= 2M 1 - ( h )2+ +j2Mh(m-1)p A ApA21 -(mh A)2(A h)(2) 只有回环的继电器令m=-1N(A)= 4M1- ( h )2- j 4Mhp AAp A21 -( h A)2- 1= - 1N(A)4M- j 4Mhp Ap A21 -( h A)2- 1= - 1N(A)4M- j 4Mhp Ap A2- 1= - M= - 1N0(A)N(A) 41 - ( h

15、 )2- j 4h= - 41 Ap A21 -( h A)2- j h A1 - ( h )2p A= - j h 4p A AAp A用描述函数分析非线性系统上面讨论了一些典型非线性特性的描述函数。一个非线性元件的描述函数表示了在正弦输入信号作用下，输出信号的基波分量与正弦输入在幅值和相位上的相互关系。在一般情况下，描述函数为正弦输入信号幅值的复函数。当非线性元件的特性为单值函数时其描述函数是一个实数。描述函数法通常用来分析非线性系统的稳定性及自持振荡。在系统中产生自持振荡时，可以假定非线性环节输入端的信号接近正弦函数。由于线性部分通常具有低通滤波特性，可以忽略其输出信号中的高次谐波分量而

16、只考虑基波分量，这样就可以近似地用描述函数来表示非线性特性。 退出设非线性系统的方框图如图所示，图中N(A)表示非线性环节的描述函数。此系统的特征方程为：eN( A)G(s)cr-1+ N(A)G( jw)= 0 退出式中的 -1/ N(A)称为描述函数的负倒幅特性。如果上式得到满足，那么在非线性系统中将出现自持振荡（极限环一般来说，在自动控制系统中产生自持振荡或极限环是不希望的。在难以消除时也要将其振荡限制在给定范围之内），这与在线性系统中G（j0）穿过稳定临界点（-1，j0）的情况相当， 因此，在应用描述函数法分析非线性系统稳定时， 主要根据G（j0）特性和-1/ N(A)曲线的相对位置进

17、行判别；x63x- 30-6Im- N 1( A)0Re AG( jw)Im0Re- 1N( A)G( jw)ImAsinw t Aaaa0ReA sin w t22A3 sin w3t0 A- 111bN( A)G( jw )3020lg G( jw) (dB)25 2015- 1N( A)1020lg 1N( A)G( jw)50-5-10-180-170-160-150-140-130-120-110-100-90j( )3020lg G( jw) (dB)2520 15G( jw)1020lg 1N( A)- 15N( A)0-5-10-180-170-160-150-140-130-

18、120-110-100-90j( )3025-120lg G( jw) (dB)N( A)20151020lg 1N( A)5 0b1-5b2G( jw)-10-180-170-160-150-140-130-120-110-100-90j( )下面给出用乃奎斯特稳定性判据判断非线性系统的 稳定性和确定系统是否存在自持振荡的若干结论： 设线性部分的传递函数在右半平面的极点的个数为 P 。（1） 若G( jw)曲线逆时针包围整个曲线P/2周，则该非线性系统是稳定的，否则是不稳定的。（2） 若G( jw)曲线与 -1/ N(A)曲线没有交点，则系统不存在周期w运动。若G( jw)曲线与 -w1/

19、N(A) 曲线有交点，则非线性系统处于临界稳定状态，对应着系统存在近似正弦的周期运动解x(t)=Asinwt 。交点处的A、w 分别为周期运动的振幅和频率。若该周期运动是稳定的，则系统出现自持振荡。（3） 为判断系统是否存在自持振荡（即判断有无稳定的周期运动解），在G( jw) 曲线与-1/ N(A)曲线的交点附近，沿增大方向，在曲线上取一点， 若该点不被曲线包围，则该点对应系统的一个自持振荡状态，相应的周期运动是稳定的；否则， 就不是自持振荡，只是一个不稳定周期运动的解。在图7-55，按此方法，很容易判断出点的自持振荡 是稳定的，而点的自持振荡是不稳定的。（4） 如果G(s)中没有右半平面的

20、极点，即P = 0G( jw)曲线不包围-1/ N(A)曲线，则非线性系统是稳定的；若G( jw)曲线包围-1/ N(A)曲线，则非线性系统不是稳定的；G(jw)曲线与-1/ N(A)曲线相交，则系统存在周期运动，若交点处轨迹向轨迹包围的区域外运动，则该点对应的周期运动就是自持振荡。非线性系统结构的简化在上述讨论的非线性系统，在结构组成上均属一个非线性部分与一个线性部分串联。然而，实际系统作出的原始结构并非完全符合上述形式。为了应用描述函数法分析系统的自振及稳定性，需要将各种结构图简化为图7-54所示的典型结构。由于在讨论自振及稳定性时，只研究由系统内部产生的周期运动，并不考虑外作用，因此在将

21、结构简化时，可以认为所有外作用均为零，只考虑系统的封闭回路。与线性系统等效变换一样，简化的原则是信号的等效变换。（1） 非线性环节串联若两个非线性环节串联，可将两个环节的特性归化为一个特性，即以第一个非线性环节的输入和第二个非线性环节的输出分别作为归化后非线性特性的输入和输出，从而作出等效非线性特性。注意，若两个非线性特性的描述函数分别为N1( A)和 N2(，A)等效非线性的描述函数为,N则(A在) 一般情况下，N( A)= N1( A。)N串2(联A)非线性环节的次序亦不可交换。对于多个非线性环节串联，其处理方法可以按照串联的次序，先归化前两个非线性环节，等效后的非线性特性再与第三个环节进

22、行归化变换（2） 非线性环节并联若两个并联的非线性环节其描述函数分别为N1( A和)N，2(则A)并联后的等效非线性环节的描述函数N( A)=N1( A).利+N用2(这A)一特性，可将一个比较复杂的非线性特性，分解为若干个比较简单的非线性环节并联。（3） 结构图的等效变换1 由于在讨论自振及稳定性时，只研究由系统内部产生的周期运动，并不考虑外作用，因此在将结构简化时，可以认为所有外作用均为零，只考虑系统的封闭回路。2 与线性系统等效变换一样，简化的原则是信号的等效变换。 C(s)-G 2(s)N( A)G1(s)R(s)C(s)-N( A)G1(s)G 2(s)G1(s)R(s)R(s)-G

23、 2(s)N( A)C(s)R(s)-G 2(s)G1(s)C(s)G1(s)N( A)N( A)-C(s)G 2(s)1 + G1(s)G 2(s)R(s) C(s)-G1(s)G3(s)N( A)G 2(s)G3(s)N( A)G 2(s)-1C(s)G (s) R(s)R(s)R(s)-C(s)G 2(s)N( A)G3(s)-G1(s)1 + G1(s)N( A)G1(s)G 2(s)G3(s)1 + G1(s)R(s)C(s)例7-9- -1 0N( A)Im0Re A 0G( jw ) 退出例7-10- - 1N( A)Im - 120Re A 1k = 15k = 7.5 退出例7-113020lg G ( jw )G ( jw) (dB)2520215-1N( A) e= 0.82Aw= 0.3b21 10G ( jw)G( jw)= 1.5520lg