应用问题(教师版)

1、应用问题 (教师版 )热点问题 9应用问题一、填空题1某公司 300 名员工 2014 年年薪情况的频率分布直方图如图所示，由图可知，员工年薪在1.4 1.6 万元的共有 _人答案72解析由频率分布直方图知年薪低于1 4 万元或者高于1 6万元的频率为(0 20 80 81 0 1 0) 02 0.76，因此，年薪在1.4 到 1.6 万元间的频率为 1 0.76 0.24，所以 300 名员工中年薪在1.4 到 1.6 万元间的员工人数为3000.24 722在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：注：油耗 =加满油后已用油量，加满油后已行驶距离

2、汽车剩余油量可继续行驶距离=；当前油耗平均油耗指定时间内的用油量=指定时间内行驶的距离从以上信息可以推断在10:00-11:00 这一小时内( 填上所有正确判断的序号 )行驶了 80 千米；行驶不足 80 千米；平均油耗超过9.6 升 /100 千米；平均油耗恰为 9.6 升 /100 千米；平均车速超过80 千米 /小时答案解析实际用油为7.38 升设 L 为 10:00 前已用油量， L为这一个小时内的用油量，s 为 10:00 前已行驶距离，s为这一个L小时内已行驶的距离s9.5,得 L+L=9 .6s+9.6s，即 9.5s+L=9.6s+9.6s， L=0.1s+9.6s，LL9.6

3、.ssL0.1s+9.69.6 所以正确，错误ss7.38这一小时内行驶距离小于100=76.875( 千米 )，所以错误，正确9.6由知错误应用问题 (教师版 )3某驾驶员喝了 1000mL某种酒后，血液中的酒精含量f ( x) (mg/mL) 随时间 x(h) 变化的规律近似5x 2，x ，01满足表达式f ( x) 31x酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定为驾驶员血53， x1.液中酒精含量不得超过0.02mg/mL，据此可知，此驾驶员至少要过_h 后才能开车 ( 精确到 1h)答案 4解析当 0x1时，1 5x 2 1 ，此时不宜开车；255由 3x1 0.02 ，得 x4.53

4、4如图， 一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为 1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD 2x，梯形面积为 S，则 S的最大值是 _答案3227解析建立坐标系， B 点坐标为 (1， 1) ，求出抛物线方程为 x2 y，得 D 点坐标 (x， x2)，等腰梯形的高为 1 x2，S 2x 22)， 0 x 1，求导可以得到1时 S 取最大值 322(1 xx 3275某公司一年购买某种货物600 吨，每次都购买 x 吨，运费为 3 万元 /次，一年中的总仓储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总仓储费用之和最小，则每次需购买吨答案30解析根据题意总费用 y60032x 260060

5、032x ，3 2x 120 ，当且仅当xxx即 x30时等号成立 .6一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为45，沿点 A 向北偏东 30前进 100 m 到达点 B，在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是 _答案50解析设水柱高度是h m，水柱底端为 C，则在 ABC 中， A 60， AC h，AB 100，BC3h，根据余弦定理得，(3h) 2 h2 10022h100cos 60，即h2 50h 5000 0，即 (h 50)(h 100) 0，即h 50，故水柱的高度是50 m 7某企业

6、投入100 万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2 万应用问题 (教师版 )元为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为_答案10解析设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则 x 年后的设备维护费用为24 2xx(x 1)，所以 x 年的平均费用为y100 0.5xx(x1) x 100 1.5，xx由基本不等式得y x100 1.5 2100x100，即 x 10时取等号xx 15 21.5，当且仅当xx8将一个长宽分别是a， b(0 ba)的铁皮的四

7、角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体a的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则b的取值范围是 _答案51，4解析设切去正方形的边长为x，x 0，b，则该长方体外接球的半径为12 (b 2x)22r 2 ( a 2x)4 x219x2 4(a b) x a2 b2 ，在 x0，b 存在最小值时，必有02(a b)b，解得 a5，又4292b4aa的取值范围是5 0b1 ，故 b1， 4二、解答题9某汽车厂有一条价值为 a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值经过市场调查，产品的增加值y 万元与技术改造投入的x 万元之间满足： y 与 (a

8、x)和 x2 的乘积成正比；x 0， 2am，其中 m 是常数若xa时， y a32m 12(1) 求产品增加值 y 关于 x 的表达式；(2) 求产品增加值 y 的最大值及相应的 x 的值解析(1)设 y f ( x) k(a x)x2，因为当 x a时， y a3，所以 k 8，22am所以 f ( x) 8(a x)x2 ，x 0， 2m 1 (2) 因为 f( x) 24x 2 16ax，令 f( x) 0，则 x 0(舍 )， x 2a32am2a2a2a 当2m 1 3 ，即 m1时，当 x0， 3 时， f ( x) 0，所以 f ( x) 在0， 3上是增函数，2a2am2a2

9、am当 x3 ， 2m 1时， f(x) 0，所以 f (x) 在 3， 2m 1 上是减函数，所以 ymax f ( 2a) 32a3；327应用问题 (教师版 )2am2a2am 当 2m 1 3 ，即 0 m 1 时，当 x0，2m1 时， f(x) 0，所以 f ( x) 在 0， 2am1上是增函数，2m所以 ymax f (2am32m23a3)（ 2m 1）2m 1综上，当 m 1 时，投入 2a万元，最大增加值32a3；327当 0 m 1 时，投入2am万元，最大增加值32m23a3（ 2m 1）2m 110某工厂引入一条生产线，投入资金250 万元，每生产 x 千件，需另投

10、入成本w(x) ，当年产量不足 80 千件时， w( x)=1x210x（万元），当年产量不小于80 千件时， w( x)=51 x+100001450（万3x元），当每件商品售价为500 元时，该厂产品全部售完(1) 试写出年利润 L ( x) （万元）与年产量 x （千件）的函数关系式；(2) 年产量为多少千件时该厂的利润最大解析 (1)当每件商品售价为0.05 万元时， x 千件销售额0.05 1000x=50 x（万元）当 0 x 80 时， L ( x)50x( 1 x210x)2501 x240 x250 ；33当 x80时， L( x) 50x (51x+10000250 120

11、0 ( x10000x1450)x240x250,0x801 x故 L (x)3100001200( x), x 80x(2) 当 0x 80 时， L( x)1240x250；3x当 x=60 时， L (x) 有最大值为 950；当 x80 时， L( x)1200 ( x10000) ；x当且仅当 x10000，即 x=100 时，xL (x) 有最大值为1000；年产量为100 千件时该厂的利润最大11如图，摄影爱好者S 在某公园应用问题 (教师版A 处，发现正前方B)处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为 6设S 的眼睛距地面的距离为3 m(1) 求摄影者到立柱的

12、水平距离和立柱的高度；(2) 立柱的顶端有一长 2m 的彩杆 MN 绕其中点 O 在 S 与立柱所在的平面内旋转摄影者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部 3摄入画面？说明理由解析(1) 作 SC 垂直 OB 于 C，则 CSB 30， ASB 60又 SA 3，故在 Rt SAB 中，可求得BA 3，即摄影者到立柱的水平距离为3 m由 SC3， CSO 30，在 Rt SCO 中，可求得 OC 3因为 BC SA 3，故 OB 2 3，即立柱高为 2 3 m(2) 连结 SM 、 SN，设 SN a， SM b（2 3） 2 1 b2（2 3） 21 a2在

13、 SON 和 SOM 中，22 31，得 a2 b22622 312221111，当且仅当cosMSN a b 222ab 时取等号，2ababa2 b213又 11 1又 MSN (0， )， 则 MSN 1323故摄影者可以将彩杆全部摄入画面应用问题 (教师版 )12如图， 花园一角两小路l1 、l2垂直相交于A 直径紧贴 l1 的半圆形水塘半径为m，圆心为 O ，且 OA =40m现准备铺设一条鹅卵石直路MN (点 M 、 N 分别在 l1 、l 2 上 )，与 l1 、l2 共同围着水塘，且要求半圆上任意一点到直线MN 的距离不小于4 m若所有道路的宽度忽略不计，且度无限制，则如何选择

14、M 、 N 时，可使铺设的鹅卵石路最短？l1 、 l2 的长解析解法一作 OPMN 于 P ，为使鹅卵石路MN 最短，则 OP6410m设POM x, 0 x，则ANMx210AM4010(4cos x 1)又 OM1010， MNcosx， AM40sin x=cos xcos xsin xsin x cos x令 f ( x)4cos x 1x，sin x, 0cos x2则 f ( x)4cos3 x2cos 2 x1(12cos x)(2cos 2 x2cos x 1)(sin xcos x)2=(sin xcosx)2由 f ( x)0 得， x，且 2cos2 x2cos x1=2(cos x1) 210322故当 0x时， f ( x)0， f ( x) 递减；3当x时， f (x)0 ， f ( x) 递增；32所以 x=时， f ( x) 最小，即当POM3，即 AM60m， AN20 3m 时，