分岔图做法[1]

1、.混沌研究总结篇-一、分岔图（1.Chen系统）先打个提纲，这几天把自己混沌相关知识研究学习内容总结一下。首先简绍几个基本概念：一、自治系统一个 n 阶自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于自治的连续系统，上相量场f 是不依赖于时间t 的。二、非自治系统一个 n 阶非自治的连续动态系统可以表示为.可以理解为对于非自治的连续系统，向量场f 不仅依赖于状态变量x，而且依赖于时间 t，如 Duffing 振子。三、庞加莱映射庞加莱映射是一个传统的用来离散化连续系统的方法。庞加莱映射可以用 (n-1)阶的离散映射来取代 n 阶的连续系统。庞加莱映射的用处正在于减小系统的阶数，并且在连续系统和离散系

2、统之间建立了一座桥梁。对于 n 阶自治系统，其对应的解对就着轨迹 。当选择 作为一个 (n-1)维的超平面，这样轨迹 将穿越超平面 。难点主要是超平面的选取， 使其对应的解穿越超平面，就可以得到一个领域内的庞加莱映射。对于 n 阶非自治系统，若其外加强迫力的最小周期是T,j 最终的庞加莱映射可以定义为相应的轨道 P(xk)是对某个轨迹每隔 T 时刻采样一次获得，这种操作和每隔 T 时刻的频闪观测仪的行为很相似。所以要想得到一个系统的庞加莱映射，这段话一定要好好理解，当真真知道这中间说的含义，庞加莱映射这么画其实也已经知道国。四、分岔图分岔图的横坐标是一个变化的参数，纵坐标是你要求的某一个量的随

3、着各参数的变化情况，而 poincare 则是我们选取横坐标上的某参数的某一个具体值时截面图，只不过 poincare 截面的选取其实可以是任意的。下面主要研究的混沌系统有： Logistic 、Henon、 Lorenz 、 Duffing 、 Rossler 、Chen、混沌电机模型等系统1.Chen 系统先说 Chen系统，因为和课题有一定的关系，而且自己以后起家也得从 Chen 系统入手。系统方程如下：dx/dt=a*(y-x)dy/dt=(c-a)*x+c*y-x*zdz/dt=x*y-b*z就是对此方程中不同参数a、b、c 下对系统画分岔图，研究混沌系统(1) 给定 a、c，画 b

4、 关于系统的分岔图结果如下图所示.CODE：function fenchatuchenclc;clearXA=35;XC=28;Z=;for XB=linspace(2,5.5,100);options = odeset(RelTol,1e-6,AbsTol,1e-4 1e-4 1e-5); T,X=ode45(chen,0,50,-5 0 5,options,XA,XB,XC); n=length(X);for k=round(n/2):nif abs(X(k,1) 0 就会出现混沌。微分动力系统 L yapunov 指数的性质对于一维 ( 单变量 ) 情形 , 吸引子只可能是不动点 ( 稳

5、定定态 )。此时 是负的。对于二维情形 ,吸引子或者是不动点或者是极限环。对于不动点, 任意方向的 xi,都要收缩 ,故这时两个 Lyapunov 指数都应该是负的 ,即对于不动点 ,( 1 , 2 ) = (- , - )。至于极限环 , 如果取 xi始终是垂直于环线的方向 , 它一定要收缩 , 此时 0; 当取 xi 沿轨道切线方向 , 它既不增大也不缩小 , 可以想像 , 这时 = 0 。事实上 , 所有不终止于定点而又有界的轨道 ( 或吸引子 ) 都至少有一个 Lyapunov 指数等于零 , 它表示沿轨线的切线方向既无扩展又无收缩的趋势。所以极限环的Lyapunov 指数是 ( 1

6、, 2 ) = (0,- ) 。在三维情形下有( 1 , 2, 3 ) = (- , - , - ) :稳定不动点 ;( 1 , 2, 3 ) = (0,- , - ) :极限环 ;( 1, 2, 3 ) = (0, 0,- ) :二维环面 ;( 1, 2, 3 ) = ( +, +, 0) :不稳极限环 ;( 1, 2, 3 ) = ( +, 0, 0) :不稳二维环面 ;( 1, 2, 3 ) = ( +, 0,- ) :奇怪吸引子。李雅谱诺夫指数小于零， 则意味着相邻点最终要靠拢合并成一点， 这对应于稳定的不动点和周期运动 ; 若指数大于零，则意味着相邻点最终要分离，这对应于轨道的局部不

7、稳定，如果轨道还有整体的稳定因素（如整体有界、耗散、存在捕捉区域等），则在此作用下反复折叠并形成混沌吸引子。指数越大，说明混沌特性越明显，混沌程度越高。二、 lyapunov 指数的求取（主要参考网上给出的那篇总结）1. 关于连续系统 Lyapunov 指数的计算方法连续系统 LE 的计算方法主要有定义方法、 Jacobian 方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的 LE 求解方法来计算得到。最常用的主要以定义方法、Jacobian 方法做主要介绍内容。这两种方法的计算方法在这里不做简绍，很容易查到，下面说下其

8、具体应用场合：一般地，如果已知系统方程（当然系统不能太过复杂）时，则计算 Lyapunov 指数采用定义法、 Jacobian 方法要精确、简单些！Jacobian 方法我们可以使用 LET工具箱，基本原理就是首先求解出连续系统微分方程的近似解，然后对系统的 Jacobian 矩阵进行 QR分解，计算 Jacobian 矩阵特征值的乘积，最后计算出 LE和分数维。对于我们觉的连续系统，如 Lorenz 、Henon、Duffing 等的 Lyapunov 指数都可以用定义法或是 Jacobian 方法求取。（ 1）下面是那篇总结中给出的计算Rossler 吸引子的 Lyapunov 指数结果：

9、.（ 2）关于 LET 工具箱下载地址：使用手册：这个软件可以计算自己编写的程序，点击Run Let Main program ，然后选择 setting ，输入自己编辑的函数文件（按照软件要求的格式），同时进行各种参数设置即可进行计算。下面说明一下该工具箱：（参考 oct ）（1） LET 工具箱适用于连续系统， 如 Logistic 、Henon、Lorenz 、Duffing 、 Rossler 、Chen，但对时间序列的 LE 求解不适用（2） 在进行 LET 求解之前，需要注意应将非自治系统写成自治系统的形式，然后参考工具箱给出的 Lorenz 、Rossler 系统的例子，将微分方

10、程定义函数写成标准形式（ 3）用 let 求解 Lyapunov 指数，在设置窗口中设置相关参数即可！具体设置界面如下：.点击 Run Let Main program后得到如下：.选择 setting后后得到如下：.（ 1）在 ODEFunction 处填写自己编的函数文件名， m文件格式一定要与给的 Demo 相同，参考 Henon或是 Lorenz 系统这 m文件，很容易写出自己的函数文件。（ 2）在 IntialCondition处填写系统的初值，如Heno映射的初值 0;0，直接写 0 0 即可。参考 Start Demo 中的 Setting（ 3）No. of linearized ODEs:线性化方程的数目，从微分方程的维数上来解释，有如