解直角三角形及应用举例专题讲座

1、解直角三角形及应用举例（专题讲座）解直角三角形一、知识点（一）目标点1、熟记直角三角形中各元素间的关系，并能熟练地运用它们解直角三角形。2、利用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题及特殊四边形、等腰三角形等有关问题。（二）要点1、解直角三角形的依据：在rtabc中，c90，a、b、c所对的边分别是，则：（1）三边之间关系：；（2）锐角之间关系：ab90；（3）边角之间的关系：sina，cosa，tga，ctga，sinb，cosb，tgb，ctgb；（4）面积公式：，（为边上的高）。2、直角三角形的解法。直角三角形的解法按除直角外已知二个元素（至少一个边）的不同情况，可大致分为四种类型（设

2、c90，a、b、c所对的边分别是）；（1）已知一条直角边和一个锐角（如，a），其解法为：b90a，（或）；（2）已知斜边和一个锐角（如，a），其解法为：b90a，（或）；（3）已知二直角边（），其解法为：；由tga求出a，b90a；（4）已知斜边和一条直角边（如和），其解法为 ，由sina，求出a，b90a。3、解直角三角形时正确选择关系式的要领：（1）若求边，一般用未知边比已知边（即未知边放在分子），去寻找已知角的某个三角函数；（2）若求角，一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某个三角函数；（3）选择关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积误差”和“一错再错”。（三）重难点重

3、点：直角三角形的解法。难点：选择简便方法解直角三角形。二、考点（一）命题方向分析1、考查解直角三角形的定义，主要以判断题和填空题形式出现。目的是理解直角三角形的概念，并注意在已知两个元素至少有一个是边。2、考查解直角三角形，主要出现在计算题中。目的要求画出草图，由直角三角形的五个元素之间的关系进行计算。注意：（1）书写不要写成；（2）在计算中尽量用原始数据，以免“累积误差”和“一错再错”；（3）在计算过程中若同时可选用两个公式计算时，为简便，要选用乘法计算的公式而不选用除法计算的公式。3、一般考查解直角三角形，由于题目本身知识限制（不准查表），因此考题中仍以给特殊角或特殊值为多。所以要求学生掌

4、握一个角为30的直角三角形和一个角为45的等腰三角形三边的比值关系，对解有关直角三角形的问题尤为重要，希望教者给予注意。（二）热点考题举例例1、在rtabc中，c90，解这个直角三角形。解：在rtabc中，sina，a45，b90a45，解法一：；解法二：ab，；解法三：cosa，。说明：灵活选择关系式，使运算简便。例2、（1）在abc中，已知c90，ac3，a的平分线ad6，解这个三角形；（2）在abc中，已知c90，若ad是bc边中线，ac，adc60，求这个三角形的面积。 解：（1）如图所示，abc为rt，c90，在rtacd中，coscadcad30。ad是a的平分线，cab2cad6

5、0。ab2ac，又tgcab，bcactgcab3tg609；（2）在rtacd中，ctgcda，cdacctgcdatg603，ad是bc边中线，bc2cd6，（平方单位）。说明：对于较复杂的问题，题设条件中没有直接给出解直角三角形的二个已知元素（至少有一个是边），而是需要通过其他条件运用学过的有关几何、代数知识，先求出这个直角三角形的二个元素（至少有一个是边），然后再解这个直角三角形。解这类题目要认真分析题意，细心观察图形。 例3、在rtabc中，ab3o，解这个直角三角形。解：在rtabc中，解此方程组，得：，又。说明：这个题目没有直接给出一个已知元素（除直角外），所以先要设法求出直角三

6、角形的二个元素。由已知ab3o，和隐含条件ab9o，求得a、b，再由，联立求得，最后求出。例4、在rtabc中，c9o，解这个三角形。解法一：，解关于的二元一次方程组：，得，查表得锐角a2634，b9o26346326。解法二：，查表得锐角a2634，b9o26346326。，。说明：这两种解求法得的值相差不多，但它们谁更接近准确数呢？应该说解法一中的值更为准确，这是因为解法一中的求都是用的题设条件的原始数据；而解二中求，用的是查表求得的a，然后再经查表求sina，产生了累计误差，因此选择关系式时还要注意避免不必要的误差，选择关系式通常遵循二条选择原则：一是应当尽量选可以直接应用原始数据的关系

7、式；二是应当设法选择便于计算和查表的关系式。解直角三角形应用举例一、知识点（一）目标点1、掌握把实际问题转化为数学问题并用解直角三角形的知识去解决的方法。2、了解仰角、俯角、坡角、坡度等概念，并理解它们的意义。（二）要点有关的概念：仰角和俯角：如图，它们都是在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角，其中视线在水平线上的叫仰角；视线在水平线下方的叫俯角。如图叫做仰角，叫做俯角。坡度和坡角 ：如图，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度。通常用i表示，即；坡角是坡面与水平面的夹角，通常用字母表示，坡度与坡角的关系是：i tg，坡度越大，则坡角越大，坡面就越陡。2、应用解直角三角形的知识解决实际问题，应

8、注意以下几个环节：（1）分析题意，先根据已知条件画出它的平面或截面示意图；（2）如果图形不是直角三角形，可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形；（3）把可解的直角三角形纳入基本类型，确定合适的边角关系。细心推理计算；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，逐步写出解答并注明单位。（三）重难点重点：1、用解直角三角形的方法解简单的测量问题。2、把解等腰三角形的问题转化为解直角三角形的问题。难点：1、将测量距离的实际问题转化为解直角三角形的问题。2、选用恰当的方法计算本课题中例题所要求的长度。二、考点（一）命题方向分析1、考查应用解直角三角形的知识去

9、解决某些简单的实际问题是本章的重点和难点之一，在重视理论联系实际的今天，这类题在中考中常以中档题的面孔出现。目的是：（1）了解某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念；（2）会将实际问题转化为数学问题；（3）会通过引适当的辅助线使之转化为解直角三角形的计算问题而达到解决实际问题。 2、考查实习作业中的测量倾斜角和测量底部可以到达的物体高度的问题。由于知识本身的限制，所以不能考全过程，而常以填空题形式考测量工具和测量步骤及公式，而以填写实习报告的形式考计算。 近年来，由于实习作业不仅能达到理论联系实际的目的，还能培养学生三大数学能力，因此，又成为中考内容的热点。教者应注意要带领学生实际操作，通过制

10、作工具和测量，不仅巩固学生所学知识，也提高学生分析和解决简单的实际问题能力、动手操作能力和用数学语言表达实习过程与实习结果的能力，从而增强学生用数学的意识。（二）热点考题举例例1、如图，已知abc中，a30，bc60，bc2，求ac。解：在abc中，abc180，a30，bc150，又bc60，解方程组，得b105，c45。过b作bdac于d，则dbc45，在rtbdc中，bddcbcsin45；在rtadb中，adbdctg30，acaddc。说明：尽管原abc不是直角三角形。但通过作高线，即可把原三角形变成两个直角三角形。由已知条件可将rtbdc变成可解rt，求出bd和dc，从而另一rtb

11、da也可解，因而问题得以解决。 例2、如图，在等腰三角形abc中，底边bc为5，是底角且tg，求ac。解：作adbc于d，在rtadb中，tg，设ad2k，bd5k，则ab,又bc5，bd,5k,得k。acab。说明：作等腰三角形abc底边上的高ad，则构造出直角三角形。由于只有在rt中，才有三角函数为各边之比,所以tg正确。应是在rtadb中，tg,然后再用设k方法，求出腰长ac。例3、一艘船以32.2海里小时的速度向正北航行，在a处看见了灯塔s在船的北偏东20，半小时后，航行到b处，在b处看灯塔在船的北偏东65，求灯塔s 和b处的距离。（精确到0.1海里）解：依题意作简图,如图，作bead于e。ab32.216.1（海里），a在rtaeb中，sin20，beabsin205.5062（海里）。在rtbes中，bsa652045，sin45，bs7.8（海里）。答：灯塔s和b处的距离约为7.8海里。说明：画简图时，先应确定正北方向，然后按已知条件确定各角；由于abs是斜三角形，所以需适当添加辅助线，构造可解直角三角形。本题中的辅助线be是联系rtaeb和rtbes的桥梁，为了得到可解rtbes，需先求出be的长。例4、