立体几何-空间距离与角(高一)

1、空间距离与角空间角1、异面直线所成角2、斜线与平面所成的角 （1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足.（2）向量法：（3）两个重要结论 最小角定理： 空间距离1、求距离的一般方法和步骤（1）找出或作出有关的距离；（2）证明它符合定义；（3）在平面图形内计算（通常是解三角形）2、求点到面的距离常用的两种方法（1）等体积法构造恰当的三棱锥；（2）向量法3、直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解4、异面直线的距离定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段）题型一：点面距离方法一：利用定义作垂线，解三角形例1：在棱长为1

2、的正方体中,点P在棱上，且=4,求点到平面的距离方法二：转化成其它点到面的距离例2：在边长为2的菱形ABCD中，PC面ABCD，E是PA的中点，求点E到平面PBC的距离. 方法三：利用三棱锥等体积法例3: 点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA面ABCD，Q为线段AP的中点，AB3，BC4，PA2，求点P到面BQD的距离.练习题：1.如图，正三棱柱中，是的中点，求点到平面的距离；（两种方法求解） 题型二：线面角1.如图，四棱锥的底面是正方形，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的大小.2.如图，平面，分别为的中点求与平面所成角的正弦值3.如图3，在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的

3、中点，点E在AC上，且DEE.（）证明：平面平面; （）求直线AD和平面所成角的正弦值。4.如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱,底面为直角梯形，其中，. () 求异面直线与所成角；() 求与平面所成的角； ()求点到平面的距离.5.如图，在正三棱柱中，D是的中点，点E在上，且。（1）证明平面平面； （2）求直线和平面ABC所成的角。 题型三：二面角方法一：定义法 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。例1：如图，已知四棱锥P-ABCD，底面A

4、BCD为菱形，PA平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.（）证明：AEPD; （）若H为PD上的动点，且AB2，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角EAFC的余弦值.（）练习1.如图，三棱锥P-ABC中，PB底面ABC，ACBC，PB=BC=AC，点E、F分别是PC、PA的中点（）求证：PC平面BEF；（）求二面角A-EB-F的大小 2.如图，在三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且 ，另一个侧面是正三角形. （1）求证：；（2）求二面角的大小；方法二补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的

5、交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决例2：如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2.（）证明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的正弦值.（） 练习：四棱锥P-ABCD中，E是CD中点，PA底面ABCD，PA2.（）若底面ABCD是边长为1的正方形，求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.（）若底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，求平面PAD和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.方法三、射影面积法（）凡二面角的

6、图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小。例3：如图，E为正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值.（）A1D1B1C1EDBCA方法四：三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。策略一：过其中一平面已知点A，作AB垂直另一平面，垂足为点B，再过点B作BC垂直公共棱于点C，连接AC，则为二面角的平面角.策略二：过其中一平面已知点A，作AB垂直另一平面，垂足为点B，再过点A作AC垂直公共棱于点C，连接BC，则为二面角的平面角例4.直三棱柱中，分别是的中点，平面，求二面角的大小。练习1.如图，直三棱柱中， AB=1，ABC=60.()证明：；（）求二面角AB。 2.直三棱柱中，分别是的中点，平面，求二面角的大小。3.如图，在四棱锥中，为等边三角形，四边形为正方形，为中点，.（1）求与面所成角大小；（2）求二面角大小；4.如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；（III）求二面