浅议高中数学教学中类比思想的渗透

1、湖州市数学学会2012年优秀论文评选 类比思想在数学教学中的渗透湖州五中沈小红摘要：本文主要阐述了类比思想在教学中的渗透，利用类比联系新旧知识 ，利用结构相似构造类比 ，抓住图象的相似进行类比渗透。关键词：数学 类比 类比思想是将两个以上事物进行比较，找出事物之间的类似之处，然后再据此推出它们在其它地方的类似之处，或综合它们的特征进行类比。类比思想包括两方面的含义：（1）联想，即由新信息引起的对已有知识的回忆；（2）类比，在新、旧信息间找相似和相异的地方，即异中求同或同中求异。通过类比，在类比中联想，从而升华思维，既有模仿又有创新。在高中数学教学中运用类比思想，可激发学生的学习兴趣，调动学生的

2、学习积极性，使他们的记忆理解能力、分析推理能力等多种智力因素得到充分发挥和发展，从而使整个思维活动在课堂中处于最积极、最活跃的状态，发展学生个性，提高学生的学科探究能力、综合解题能力，落实学科素质教育。本人结合教学实践，就如何渗透类比思想谈谈自己的看法：一、利用类比联系新旧知识，揭示概念内涵。 数学中的概念很多，有些理解起来很抽象。对我们普通中学学生来说，不少同学因此感到困难。新课程通常通过强化数学知识的实际背景来帮助学生理解概念，其实，对于某些内容，如果能利用类比，把新旧概念结合起来考虑，则可大大降低理解的难度。例1：在研究数列时，由于等差数列与等比数列在定义和通项公式等方面很相似，因此可以

3、考虑运用类比的方法由等差数列的性质来发现等比数列的性质。等差数列定义：一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，即a-a=d（n2，nN，d为常数），这个数列叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的公差，通项公式为a=a+（n-1）d；等比数列定义：一个数列从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，即a/a=q（n2，nN，d为常数），这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通项公式为a=aq。从两个定义上比较目标物与类比物的相似之处，一个是与减有关，一个是与除有关；通项公式一个是和的形式，一个是积的形式。此时引导学生运用类比的思想去考虑和与差，商与积，教师可启发学生去

4、回忆等差数列的相关性质，并思考：如果是等比数列，那相应的性质又应该如何改变呢?如a，b成等差数列，有如下性质：（1）若m+n=p+q，则a+a=a+a；（2）a+k，a+b仍成等差数列。运用类比思想方法，学生可得到：a，b成等比数列，有如下性质：（1）若m+n=p+q，则aa=aa；（2）ka（k0），ab仍成等比数列，等等。这样使学生对新知识有似曾相识的亲近感，深化了教学内容，同时也培养了学生严谨的学习习惯。类比的方法有时是获得发现和发明的重要方法。例2：在讲述二面角的概念时，可以设计以下类比教学方式：1、让学生回答平面内的角是如何定义的？（答：如图，OA 绕O 点旋转到OB 位置形成角AO

5、B，这个角包括点O,射线OA、OB。）2、如果O 点变成直线OO1，OA 变成面 ，那么 绕OO1 旋转到某位置时形成一个什么图形？（学生回答：包括两个面 和 、直线OO1 的图形。教师同时把笔记本电脑（看作两个面）打开，做演示。如下图所示）OABOO1BA这样，通过类比，把平面知识与空间知识有机地联系在一起，易使学生深刻理解二面角概念的内涵。利用类比，把点所具有的特点推广到线、线所具有的特点推广到面、面所具有的特点推广到空间，实际上是充分利用学生已经掌握的平面几何知识，去猜测、推导、理解相关的立体几何知识。这种渗透类比思想的方法，不仅可以在立体几何的教学中采用，也可以在其它内容的教学中采用。

6、例3：在讲授直线和圆的位置关系时，可以设计如下类比：1、点和圆的位置关系如何判定？（教师可以设计一组习题让学生答出：利用圆心到点的距离d 来判断，即d 等于半径，点在圆上；d 大于半径，点在圆外； d 小于半径，点在圆内。）2、如何判断直线与圆的位置关系？（教师引导学生利用类比，很自然地猜测圆心C 到直线的距离d 等于半径r，直线与圆相切；d 大于半径r，直线与圆相离；d 小于半径r ,直线与圆相交。） 因此，在进行某些概念教学时，只要留意，还是有机会通过构造导入方式，适当渗透类比思想的。二、利用结构相似构造类比，加深对公式的理解，启迪解题思路。 数学是由许多公式组成的，在分析公式的结构中，利

7、用结构相似进行类比思想的渗透，也是常用的教学方法。用得好，还可以加深学生对公式的理解和记忆。例4：两个角的和与差正弦公式sin（+）=sincos+cossin，sin（-）=sincos-cossin，两个角的和与差的余弦公式cos（+）=coscos-sinsin，cos（-）=coscos+sinsin。它们具有相似的数学形式和运算规律。通过类比，学生们对公式记得牢，使用条件清晰，运算起来也就熟练了。 利用三角公式的结构进行类比是高中数学中常用的方法，因此，教师要充分抓住三角教学的机会，有意识地渗透类比思想，这样不仅可以加深学生对三角公式的理解，而且可以启迪学生的思维，引导他们探讨新的解

8、题思路。例5：求函数的值域。 分析：问题的关键是如何设法化成熟悉的函数形式，从而解决根号的问题。可先让学生观察已知函数的定义域-1,1，再询问什么三角函数的定义域是 -1,1？由于正、余弦函数的定义域都是-1,1，而常见的变形结构恰好与题目相似，学生在老师的启发下比较容易将x 同正、余弦函数类比。解：设,故所求函数的值域为。利用三角公式进行类比渗透时，要注意控制难度，要使学生能从熟悉的公式中，自觉地进行类比。例6：在四面体ABCD内部有一点O，使得直线AO，BO，CO，DO与四面体的面BCD，CDA，DAB，ABC分别交于A1、B1、C1、D1四点，且满足，求K可能的取值。分析:立体几何中的四

9、面体，可以与平面几何中的三角形类比，四面体的面可以与三角形的边类比，于是命题可以从“ABC内部有一点O，使得直线AO、BO、CO与三角形的三边BC、CA、AB交于点A1、B1、C1，且满足求K的可能取值”的推理过程探求思考途径，在平面几何中且，于是K=2三、抓住图象的相似，进行类比渗透数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科。数形结合就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转换，实现从难到易，从抽象到直观的化归。正如华罗庚先生所说：“数与形，本是两倚依，焉能分作两边飞？”。用数形结合思想，一些几何问题

10、可以用代数方法处理，这个方面通过笛卡尔的坐标系产生了一门新的数学解析几何；另一方面是代数问题又可以用几何图形或函数图象解决。数形结合使人充分运用了左、右脑的思维功能。例7:己知f(x)=2+b的反函数为f(x),若y= f(x)的图象经过点Q（5，2），则b=_.此题如按常规，先求出f(x)的反函数f(x)，再把点Q的坐标代入y= f(x)解出b，则过程繁索。若能数形结合，利用反函数的图象与原函数的图象关于y=x直线对称，就有点Q（5，2）关于直线y=x的对称点Q（2，5）应在函数f(x)=2+b的图象上，所以只要把Q的坐标代入方程f(x)=2+b就可以很容易的求出b。例8:函数y=2sin(2x+)(x-,0)的单调递减区间是_.本题尽管有通过函数sinx的单调递减区间求sin(2x+)的单调递减区间的方法，并且一些资料的例题解法也是如此。在后来要去确定整数k的取值，学生在确定k的取值时经常出错。如果利用数形结合，画一下图象，就能准确而快速地解答此题。总之，在高中数学教学中紧紧抓住相似、相近概念、图形、运算与推理等，广泛运用类比思维这一突出特点，积极运用类比法进行教学，提高教学效益。充分利用在数学历史上数学家运用类比思维实现知识创新的生动事例，利用教材编写中对知识点进行类比处理的素材，积极对高中数学中相似题型的解题方法进行类比，对学生进行类比思维的熏陶和培