不等式与线性规划含答案

1、最新 料推荐不等式与线性规划考情解读(1)在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题(2)多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题1四类不等式的解法(1) 一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2 bx c0( a 0)，再求相应一元二次方程ax2 bx c0(a 0)的根， 最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2) 简单分式不等式的解法f x变形 ? g x 0(0(1 时， af(x)ag(

2、x)? f(x)g(x)；当 0 aag(x)? f(x)1 时， logaf(x)log ag(x) ? f(x)g(x)且 f( x)0 ， g(x)0；当 0 alog ag(x)? f(x)0，g(x)0.2五个重要不等式(1)|a|0， a2 0(a R)(2) a2b22ab(a、 bR )(3) a b ab(a0 ， b0) 2a b 2(4) ab (2) (a， b R) a2 b2a b ab2ab(5)22ab(a0 ， b0) 3二元一次不等式(组 )和简单的线性规划(1) 线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等(2) 解不含实际背景的线

3、性规划问题的一般步骤：画出可行域；根据线性目标函数的几何意义确定最优解；求出目标函数的最大值或者最小值- 1 -最新 料推荐4两个常用结论(1) ax2 bx c0( a 0)恒成立的条件是(2) ax2 bx c0，0.a0，0.热点一一元二次不等式的解法例 1(1)(2013 安徽 ) 已知一元二次不等式f(x)0 的解集为 x|x1，则 f(10x)0 的解集2为 _(2) 已知函数 f(x) (x 2)( ax b)为偶函数，且在 (0 ， )单调递增，则 f(2 x)0 的解集为_思维启迪(1) 利用换元思想，设10x t，先解 f(t)0.(2) 利用 f(x)是偶函数求b，再解

4、f(2 x)0.答案(1) x|x lg 2(2) x|x4解析(1) 由已知条件010x12，解得 x0.f(2 x)0 即 ax(x 4)0 ，解得 x4.思维升华二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“ 三个二次 ”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法(1) 不等式 x 1 0 的解集为 _2x 1(2) 已知 p： ?x0 R， mx02 1 0， q： ? x R， x2 mx 10.若 pq 为真命题，则实数m 的取值范围是 _ 答案(1)( 1，1 (2)( 2,0)2解析(1) 原不等式等价于 (x 1)(2x 1)0 或 x1 0，即 1x1 或 x

5、1，所以不等式的解集2为 ( 1， 1 2- 2 -最新 料推荐(2) p q 为真命题，等价于 p，q 均为真命题命题 p 为真时， m0；命题 q 为真时，2 m 40 ，解得 2m2. 故 p q 为真时， 2m0 ，且 mn 1.3434m nmnm n 13m n 1所以3 4 2， n 2 时，取等号 )所以，即 mn3， (2) (当且仅当3 ，即 m233 44244所以 mn 的最大值为 3.2 2(x a) 2 2a(2)2x x ax a 2 2 x a 2 2a 4 2a，xa3由题意可知4 2a 7，得 a ，3即实数 a 的最小值为.热点三简单的线性规划问题例 3(

6、2013 湖北 )某旅行社租用A、B 两种型号的客车安排900 名客人旅行，A、 B 两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人，租金分别为1 600 元 / 辆和 2 400 元 / 辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于A 型车 7 辆，则租金最少为_元思维启迪通过设变量将实际问题转化为线性规划问题答案36 800解析设租 A 型车 x 辆， B 型车 y 辆时，租金为z 元，x y 21y x 7则 z 1 600x 2 400y，且 x， y 满足36x 60y900，x，y 0， x， yN画出可行域如图，直线 y 2xz过点32 400A(5,12) 时纵截距最

7、小，- 4 -最新 料推荐所以 zmin 51 600 2 400 12 36 800，故租金最少为 36 800 元思维升华(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数x0，则 w y1的最小值是 _(1) 已知实数 x，y 满足约束条件 4x 3y4y 0x2xy 10 ，(2)(2013北京 )设关于 x， y 的不等式组 xm0满足 x0 2y0 2，求得 m 的取值范围

8、是_答案(1)1(2) ，23解析(1) 画出可行域，如图所示y 1表示可行域内的点(x， y)与定点 P(0， 1) 连线的斜率，观察图形可知PA 的斜率最小w x 1 0为 1.01(2) 当 m 0 时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0， y0)满足 x0 2y0 2，因此 m0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域1要使可行域内包含y 2x 1 上的点，只需可行域边界点112( m，m)在直线 y 2x 1 的下方即可，即m2m 1，解得 m 3.- 5 -最新 料推荐1几类不等式的解法一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也

9、是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式(组 )来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化2基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数 (式 )的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题 解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换” 、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺

10、一不可3线性规划问题的基本步骤(1) 定域 画出不等式 (组)所表示的平面区域， 注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应；(2) 平移 画出目标函数等于 0 时所表示的直线 l ，平行移动直线， 让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义；(3) 求值 利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值.真题感悟xy1 (2014 山东改编 )已知实数 x， y 满足 a a (0ay2 1； ln(x1)ln( y 1)；33 sin xsin y; x y .答案解析xy，所以 xy.采用赋值法判断，中，当1因为

11、 0a1，aax 1，y 0 时， 1 ，不成2立中，当 x 0，y 1时， ln 10 ，数形结合知，满足1 a422押题精练1为了迎接2015 年 3 月 8 日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P 万件 (生产量与销售量相等 )与促销费用 x 万元满足 P 3 2 ，已知生产该产品还需投入成本 (10 x 120 2P)万元 (不含促销费用 )，产品的销售价格定为(4 P )万元 /万件，则促销费用投入_万元时，厂家的利润最大？答案110 2P解析设该产品的利润为y 万元，由题意知，该产品售价为2() 万元，所以y 2P102P10 2P x 16 4 x(x0) ， 所

12、 以y 17 (4 x 1) 17 (P) P x1x 124 x 1 13(当且仅当4 x 1，即 x 1 时取等号 )，所以促销费用投入1 万元时，x 1x1厂家的利润最大3xy0，2若点 P(x，y)满足线性约束条件x 3y 2 0， 点 A(3， 3)，O 为坐标原点， 则 OAOP y 0，的最大值为 _答案6解析 由题意，知 OA (3，3)， OP (x， y)，则 OAOP 3x 3y.令 z 3x 3y，如图画出不等式组所表示的可行域，可知当直线y3x 33z 经过点 B 时， z 取得最大值- 7 -最新 料推荐由3x y 0，x 1，即 B(1， 3)，故 z 的最大值为

13、 3 1 33 6.解得y 3，x 3y 20， 即 OAOP的最大值为 6.113如果关于 x 的不等式 f(x)0 和 g(x)0 的解集分别为 (a，b)，(， )，那么称这两个不等式为ba“对偶不等式” ，如果不等式 x2 43xcos 220 与不等式 2x2 4xsin 210 为“对偶不等式”，且 (2， )，则 _.答案56解析由题意可知ab 2，a b 43cos 2，11 2sin 2，a b即 ab 2sin 2， 23cos 2 2sin 2， tan 23. ( ，)，255 2( ，2)， 2 3 . 6 .(推荐时间： 50 分钟 )一、填空题 x 1， x0 ，

14、则不等式 x (x 1)f(x1) 1 的解集是 _1函数 f(x)x 1， x 0 ，答案 x|x 2 1解析当 x 1 时，原不等式可化为x (x 1) (x)1，解得 x2 1 恒成立，所以 xlg x(x0)；- 8 -最新 料推荐 sin x 1 2(x k， k Z )； sin x x2 1 2|x|(x R)；121(xR )x 1答案解析应用基本不等式：x， y0， x2 yxy(当且仅当xy 时取等号 ) 逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件211当 x0 时， x 2x x，42所以 lg x2 14 lg x(x0)，故不正确；运用基本不等式时需保证“ 一正

15、、二定、三相等”，而当 xk， k Z 时， sin x 的正负不定，故不正确；由基本不等式可知，正确；当 x 0 时，有 2 1 1，故不正确x 13 (2013 重庆改编 )关于 x 的不等式x2 2ax 8a20) 的解集为 (x1， x2)，且 x2 x1 15，则a _.答案52解析由 x2 2ax 8a20 ，得 (x 2a)( x 4a)0，所以不等式的解集为( 2a,4a) ，即x2 4a， x1 2a，由 x2 x1 15，得 4a( 2a) 15，解得 a 5.24 (2014 重庆改编 )若 log4(3a 4b) log 2 ab，则 ab 的最小值是 _答案7 4 3

16、ab0 ，a0，ab 0，解析由题意得所以b0.3a 4b0，又 log 4(3a 4b) log 2 ab，所以 log 4(3a 4b) log4ab，所以 3a 4b ab，故43 1.ab所以 ab (a b)(4 3) 73a 4babb a3a 4b3， 7 2 7 4ba- 9 -最新 料推荐当且仅当 3a 4b时取等号b ax y 50，5 已 知 变 量 x ， y 满 足 约 束 条 件 x 2y 1 0， 则 z x 2y 1 的 最 大 值 为x 1 0_ 答案8x y 5 0，解析约束条件x2y 1 0，所表示的区域如图，x 1 0由图可知，当目标函数过A(1,4)

17、时取得最大值，故z x 2y 1 的最大值为1 24 1 8.6已知 f(x)是 R 上的减函数， A(3， 1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1 ln x)|1 的解集是 _答案(1，e2)e解析 |f(1 ln x)|1， 1f(1 ln x)1 ， f(3) f(1 ln x)f(0)，又 f(x) 在 R 上为减函数， 01 ln x3， 1ln x2，1 2 ex0，则 1 1的最小值为 _mn- 10 -最新 料推荐3答案2解析点 A(1,1)在直线 2mx ny 20 上， 2m n 2，又 mn0， m0 且 n0. 1 1 ( 1 1)2m n 1(2 2m n

18、 1)m n m n 22n m12m n32， (3 2 ) 2n m2当且仅当 2m n ，即 n2m 时取等号，n m 1 1的最小值为 3 2.mn2二、解答题9设集合A 为函数 yln( x2 2x8) 的定义域，集合B 为函数 y x1的值域，集合Cx 1为不等式 ( ax 1a)(x 4) 0 的解集(1) 求 A B；(2) 若 C? ?RA，求 a 的取值范围解 (1)由 x2 2x80 ，得 4x0，即 x 1 时， y 2 1 1，此时 x0，符合要求；当 x 10，即 x0 时， C x| 4x a2 ，不可能C? ?R A；1当 a0 时， C x|x 4 或 x a

19、2 ，121若 C? ?RA，则 a2 2， a 2，- 11 -最新 料推荐2 a0.故 a 的取值范围为 2，0)22132在 xx1 处取得极大值，在x x2 处取得极小值， 且10已知函数 f( x) axbx (2 b)x 130x11 x20；(2) 若 z a 2b，求 z 的取值范围(1) 证明 求函数 f(x)的导数 f ( x) ax22bx 2 b.由函数 f(x)在 x x1 处取得极大值，在 x x2 处取得极小值，知 x1， x2 是 f (x) 0 的两个根，所以 f (x) a(x x1)( xx2)当 x0 ，由 x x10，x x20.f 0 0 ，(2) 解在题设下， 0