数学人教版八年级上册13.4 课题学习-最短路径问题.ppt

1、1,13.4 课题学习 最短路径问题,全南县金龙初级中学,陈新,2,学习目标： 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想。,学习重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。,3,1、两点之间的所有连线中，什么线最短？,温故而知新,答：线段最短。,2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，什么线最短？,答：垂线段最短,下面我们就运用这些知识来解决现实生活中经常涉及到的最短路径问题。,4,问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里，有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军不远千里专程前往拜访海伦，向其求教一个百思不得其解的问

2、题： 将军从图中的A地出发到河边l 饮马，然后再到B地军营视察。问:到河边什么地方饮马，可使他所走的路线全程最短？,探索新知,O,P,Q,怎么走？有几种走法？河边饮马的地方有几处？,哪种走法全程最短呢？,将军饮马,5,精通数理的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题。,这是一个实际问题，你能将这个问题抽象为数学问题吗？你打算首先做什么？,（1）将A，B两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线。,（2）弄清楚题目要我们解决什么问题？,就是要在图中的直线l上找一个点，使这个点到点A、点B的距离和最短。如果设直线l这个点为P，就是使要PA+PB最小。,从A地出发，到河边l 饮马，然后到B地，且

3、路线全程最短，是要解决图中的什么问题呢？,探索新知,什么是轴对称？它有什么性质？,6,探索新知,（1）PA+PB可认为是由点A到点B途中须经过点P的距 离，若在不改变全程距离的前提下又能把PA+PB正好拼接成一条线段，则根据“两点之间，线段最短”，即可求出PA+PB的最小值是线段AB，而且点P正好是AB与l的交点。也就是说须把A、B分位于直线l的两侧。,分析：,(2)若把点B移到l的另一侧的点B处，那点B的位置要怎样确定，点B必须具备什么条件？,必须具备直线上任何一点当作点P，都能满足PB=PB，这样路线的全程才能与原来相等。,（3）PB=PB ，说明点P在什么线上？,（4）直线l必须是BB的

4、垂直平分线，点B与点B是一对什么点？,7,探索新知,解：如图，,点P就是所求作的点，即到河边点P处饮马，可使将军所走的路线全程最短。,你能用所学的知识证明PA +PB最短吗？,证明：在直线l上另任取一点P，连接PA、PB、PB。,由作法可知，直线l是BB的垂直平分线,PB=PB，PB=PB,在PAB中，PA+PBPA+PB,PA+PB PA+PB,PA+PB最短,你能自己画出来吗？,8,运用新知,练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径。,分析：点P到点Q的距离是固定的线段PQ，只要连接PQ即可，那么点Q

5、到河岸BC 什么位置，设这个位置为D点，才能使QD+PD又最短呢？,解：如图，旅游船的最短路径为PQ+QD+PD。,9,先把实物图转化为数学图形。,探索新知,10,探索新知,分析思考：,（1）A到B的路径AMNB就是AM+MN+BN，由于河宽MN的长度是固定的，要使AM+MN+BN最小，只要AM+BN最小即可。要使AM+BN最小，能否像问题1那样，通过图形变换（轴对称、平移等）把AM与BN拼接成一条线段呢？现桥MN的位置是不是合适的呢？,A,B,A,A,（2）平移后AN（M）与BN有没有拼接成一条线段？AN+BN是不是最小 ？,（3）怎样才能使AN+BN等于一条最小线段AB？,（4）桥MN应建

6、在哪里？,AM与BN有什么位置关系？为什么要有这种位置关系？,N,11,探索新知,解：如图，,A,B,A,A,N点就是所求的造桥位置，即在点N处造桥路径AMNB最短。,M,你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？,证明：在直线b上另任取一点N，过N点作NMa于点M，连接AM、AN、NB。,由画法可知， AN=AM，AN=AM,在ABN中， AN+NBAN+NB, AM+NBAM+NB,AM+MN+NB最短。, AM+MN+NBAM+MN+NB,你能自己画出来吗？,12,学以致用:课本P93T15,C,D,（1）如果先知道河边饮马的位置为点D处？从A处去草地什么位置牧马后去D处饮马再回到B处路线最短呢？你能找出牧马位置吗？,（2）如果先知道草地牧马的位置为点C处？从A