二次函数自学导学案(全章)

1、二次函数自学导学案（全章）第一课一、什么是二次函数？提出问题：某商店将每件进价为8 元的某种商品按每件10 元出售，一天可销出约 100 件该店想通过降低售价、 增加销售量的办法来提高利润， 经过市场调查，发现这种商品单价每降低 0.1 元，其销售量可增加 10 件。设售价降低 x 元时的利润为 y。请用含 x 的代数式表示 y。并求出自变量 x 的取值范围。观察思考：以上解析式中含有几个自变量？它们都是几次多项式？二次函数定义：形如的函数叫做x 的二次函数， _叫做二次函数的系数，_叫做一次项的系数， _叫作常数项练习 :1. 下列函数中，哪些是二次函数?(1)y=5x 1(2)y=4x2

2、1(3)y=2x3 3x2(4)y=5x43x 1二、二次函数的图像和性质：问题：画函数图像分为那几个步骤？（一）二次函数y=ax2（ a 0）的图象和性质：做一做 ,画一画： 在同一直角坐标系中， 画出函数 y=2x2 与 y=-2x 2 的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么 ?6543218642246812345请观察所画图像回答：函数 y=ax2（a0）的图象是一条 _,它的对称轴是 _,顶点坐标是.当 a O 时，抛物线y=ax2 开口向 _，在对称轴的左边 ( 当 x0 时 ) ，曲线自左向右 _, 函数值 y 随 x 的增大而 _; 在对称轴的右边 ( 当 x0 时

3、) ，曲线自左向右 _，函数值 y 随 x 的增大而 _; 当 x=0 时，函数值 y ax2 取得最_值，最 _值是 _.当 a O 时，抛物线 y=ax2 开口向 _，在对称轴的左边 ( 当 x0 时 ) ，曲线自左向右 _, 函数值 y 随 x 的增大而 _; 在对称轴的右边 ( 当 x0 时 ) ，曲线自左向右 _，函数值 y 随 x 的增大而 _; 当 x=0 时，函数值 y ax2 取得最_值，最 _值是 _.练习：1、分别说出函数 y=4x2 与 y=-3x 2 的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值。（二）二次函数 yax2 k 的图象特征和性质：画一画： 同一直角坐标系中

4、，画出函数y 2x2 与 y 2x2 1的图象；解：列表：x 3 2 10123y x2y x2 16543218642246812345根据图像回答以下问题：问题 1：当自变量 x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系 ?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系 ?问题 2：函数 y2x2 1 和 y 2x2 的图象有什么联系 ?问题 3：现在你能回答前面提出的第2 个问题了吗 ?问题 4：你能由函数 y2x2 的性质，得到函数y 2x2 1 的一些性质吗 ?函数 y2x2 1 的性质：开口方向是 _，对称轴是 _,顶点坐标是 _;当 x_时，函数值 y 随 x 的增大而减

5、小；当 x_时，函数值 y 随 x 的增大而增大，当 x_时，函数取得最 _值，最 _值 y _画一画： 在同一直角坐标系中画出函数y -2x2 2 与函数y -2x2 的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?6543218642246812345根据图像回答以下问题：问题 1：当自变量 x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系 ?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系 ?问题 2：函数 y-2x 2 2 和 y-2x2 的图象有什么联系 ?问题 4：你能由函数 y-2x2 的性质，得到函数y-2x2 2 的一些性质吗 ?函数 y-2x2 2 的性质：开口方向是 _，对

6、称轴是 _,顶点坐标是 _;当 x_时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x_时，函数值 y 随 x 的增大而增大，当 x_时，函数取得最 _值，最 _值 y _1、函数 y ax2 k 的图象特征和性质：函数 y ax2 k 的图象是一条 _,它的对称轴是 _顶,点坐标是_.当 a O时，抛物线 yax2 k 开口向 _，在对称轴的左边 ( 当 x0 时 ) ，曲线自左向右 _, 函数值 y 随 x 的增大而 _; 在对称轴的右边 ( 当 x0 时 ) ，曲线自左向右 _，函数值 y 随 x 的增大而 _; 当 x=0 时，函数 y ax2k取得最 _值，最 _值是 _.当 a O时，抛

7、物线 yax2 k 开口向 _，在对称轴的左边 ( 当 x0 时 ) ，曲线自左向右 _, 函数值 y 随 x 的增大而 _; 在对称轴的右边 ( 当 x0 时 ) ，曲线自左向右 _，函数值 y 随 x 的增大而 _; 当 x=0 时，函数 y ax2k取得最 _值，最 _值是 _.2、函数 y ax2 k 的图象可以由抛物线 yax2 向上或者是向下平移 _个单位得到。练习：在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，1 21 21 2y2x，y2x2，y2x2观察三条抛物线的相互关系， 并分别指出它们的开口方向及对称轴、 顶点的位置以及它们所具备的性质。654321864224681234

8、5第二课（三）函数 ya(x h) 2 的图象和性质：能在同一直角坐标系中，画出函数y 2x2 与 y 2(x 1)2 的图象吗 ?试一试。解：列表 :x 32 10123y 2x2y 2(x 1) 26543218642246812345问题 1：当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?反映问题2：函数y2(x 1)2 和y 2x2 的图象有什么联系?问题3：现在你能回答前面提出的第2 个问题了吗?问题 4：你能由函数 y2x2 的性质，得到函数y 2(x1)2 的一些性质吗 ?函数 y2(x1)2 的性质：开口方向是 _，对称

9、轴是 _,顶点坐标是 _;当 x_时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x_时，函数值 y 随 x 的增大而增大，当 x_时，函数取得最 _值，最 _值 y _探究二：问题 7：在同一直角坐标系中画出函数y-2(x+1) 2 与函数 y-2x2 的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?6543218642246812345问题 1：当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?反映问题2：函数y-2(x+1) 2 和y-2x2 的图象有什么联系?问题3：现在你能回答前面提出的第2 个问题了吗?问题 4：你能由函数 y2x2 的性

10、质，得到函数y 2(x+1)2 的一些性质吗 ?函数 y2(x+1)2 的性质：开口方向是 _，对称轴是 _,顶点坐标是 _;当 x_时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x_时，函数值 y 随 x 的增大而增大，当 x_时，函数取得最 _值，最 _值 y _1、 函数 y a(x h) 2 的图象特征和性质：函数 y a(x h) 2 的图象是一条 _,它的对称轴是 _,顶点坐标是_.当 a O 时，抛物线 y a(x h) 2 开口向 _，在对称轴的左边 ( 当 xh 时) ，曲线自左向右 _, 函数值 y 随 x 的增大而 _; 在对称轴的右边 ( 当 xh 时 ) ，曲线自左向右

11、_，函数值 y 随 x 的增大而 _; 当 x=h 时，函数值 y a(x h) 2 取得最 _值，最 _值是 _.当 a O 时，抛物线 y a(x h) 2 开口向 _，在对称轴的左边 ( 当 xh 时) ，曲线自左向右 _, 函数值 y 随 x 的增大而 _; 在对称轴的右边 ( 当 xh 时 ) ，曲线自左向右 _，函数值 y 随 x 的增大而 _; 当 x=h 时，函数值 y a(x h) 2 取得最 _值，最 _值是 _.2、函数 y a(x h) 2 的图象可以由抛物线yax2 向左或者是向右平移 _个单位得到。练习：在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，y x2， y (x

12、 1) 2 和 y (x 1) 2观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置以及它们所具备的性质。6543218642246812345（四）函数 y=a(x h) 2k 的图象和性质：探究一：你能填写下表吗?y=2x 2向 右 平 移1 个 单 位向上平移1 个单向右平移1 个单位，y=2(x 1) 2位 y=2x 2 1再向上平移1 个单位 y=2(x 1)2 1开口方向向上对称轴y 轴顶点(0 ， 0)问题 2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x 1) 2 1 与函数y=2(x 1)2 、 y=2x 2 图象的关系吗 ?问题 3：通过把函数y=2x 2 向右

13、平移1 个单位，再向上平移 1个单位得到函数 y=2(x 1)2 1 观察图像，你能发现函数y=2(x 1) 2 1 有哪些性质 ?6543218642246812345函数 y=2(x 1)2 1 的性质：开口方向是 _，对称轴是 _, 顶点坐标是 _;当 x_时，函数值y 随 x 的增大而减小；当 x_ 时，函数值 y 随 x 的增大而增大，当x_ 时，函数取得最_ 值，最 _ 值 y _猜想函数y=-2(x+1) 2 1 的性质：开口方向是_ ，对称轴是 _, 顶点坐标是 _; 当x_ 时，函数值 y 随 x 的增大而减小； 当 x_ 时，函数值 y 随 x 的增大而增大， 当 x_时，

14、函数取得最_ 值，最 _值 y _总结探究结果，归纳出：1、 函数 y=a(x h) 2 k 的图象特征和性质：函数 y=a(x h) 2 k 的图象是一条 _,它的对称轴是 _顶,点坐标是_.当 a O 时，抛物线 y=a(x h) 2 k 开口向 _，在对称轴的左边 ( 当 xh 时 ) ，曲线自左向右 _, 函数值 y 随 x 的增大而 _; 在对称轴的右边 ( 当 x h 时 ) ，曲线自左向右 _，函数值 y 随 x 的增大而 _; 当 x=h 时，函数 y=a(x h) 2 k 取得最 _值，最 _值是 _.当 a O 时，抛物线 y=a(x h) 2 k 开口向 _，在对称轴的左

15、边 ( 当 xh 时 ) ，曲线自左向右 _, 函数值 y 随 x 的增大而 _; 在对称轴的右边 ( 当 x h 时 ) ，曲线自左向右 _，函数值 y 随 x 的增大而 _; 当 x=h 时，函数 y=a(x h) 2 k 取得最 _值，最 _值是 _.2、函数 y=a(x h) 2 k 的图象可以由抛物线y ax2 向左或是向右平移 _个单位再向上或是向下平移 _个单位得到。列表归纳：开口方向对称轴顶点坐标性质y ax2y=ax 2 ky=a(x h) 2y=a(x h) 2 k三、反馈练习：已知函数y 2x2 、 y 2(x 3)2 3 和 y 2(x 3) 2 3。(1) 在同一直角

16、坐标系中画出三个函数的图象；(2) 分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3) 试说明， 分别通过怎样的平移，可以由抛物线y 2x2 得到抛物线y 2(x 3) 2 3 和抛物线y 2(x 3)2 3；(4) 试讨沦函数 y 2(x 3)2 3 的性质；6543218642246812345第三课2一、二次函数 y ax bxc （a0）的图象和性质：21你能说出函数 y 4(x2) 1 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？222函数 y 4(x2) 1 图象与函数 y 4x 的图象有什么关系 ?3函数 y 4(x2)2 1 具有哪些性质 ?1 254不画出图象， 你能求出函数

17、 y2xx2的图象的开口方向、 对称轴和顶点坐标吗 ?1255你能画出函数 y2xx2的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗 ?解：列表如下：x01234 21y(2) 描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。1 25(3) 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y2xx2的图象。6543218642246812345说明： (1) 列表时，应根据对称轴，以对称轴为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。(2) 直角坐标系中 x 轴、y 轴的长度单位可以任意定， 且允许 x 轴、y 轴选取的长度单位不同。 所以要根据具体问题， 选取适当的长度单

18、位， 使画出的图象美观。观察函数图象，得到这个函数的性质：函数 y 12x2x 52的性质：开口方向是 _，对称轴是 _,顶点坐标是 _;当 x_时，函数值 y 随 x 的增大而减小； 当 x_时，函数值 y随 x 的增大而增大，当 x_时，函数取得最 _值，最 _值 y _思考：如何用配方法求函数 y ax2 bxc（a0）的对称轴和顶点坐标。试一试。1、函数 yax2 bx c（ a 0）的图象特征和性质：函数 yax2bx c（ a 0）的图象是一条 _,它的对称轴是 _,顶点坐标是 _.当 a O时，抛物线 yax2 bx c（ a0）开口向 _，在对称轴的左边 ( 当x_时) ，曲线

19、自左向右 _, 函数值 y 随 x 的增大而 _; 在对称轴的右边 ( 当 x_时 ) ，曲线自左向右 _，函数值 y 随 x 的增大而 _; 当 x=_时，函数 y=a(x h) 2 k 取得最 _值，最 _值是 _.当 a O时，抛物线 yax2 bx c（ a0）开口向 _，在对称轴的左边 ( 当x_时) ，曲线自左向右 _, 函数值 y 随 x 的增大而 _; 在对称轴的右边 ( 当 x_时 ) ，曲线自左向右 _，函数值 y 随 x 的增大而 _; 当 x=_时，函数 y ax2 bx c（a0）取得最 _值，最 _值是 _.2、函数 y ax2bx c（a0）的图象可以由抛物线 y

20、ax2 向左或是向右平移_个单位再向上或是向下平移 _个单位得到。列表归纳：a 0开口对称轴顶点坐标性质方向y ax2y=ax2 ky=a(x h) 2y=a(x h) 2ky ax2 bxc三、应用检测：1填空：(1) 抛物线 y 2x2 4x8 的开口 _，顶点坐标是 _；1 2(2) 抛物线 y 2x 2x4 的对称轴是 _；(3) 二次函数 y ax2 4xa 的最大值是 3，则 a _2. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。21 2(1)y 2x 8x8(2)y 2x4x33求二次函数 ymx22mx 3(m 0) 的图象的对称轴，并说出该函数具有哪些性质。二、二

21、次函数y=a(x-x 1)(x-x 2)（a0,且 x1、x2 是二次函数与x 轴交点的横坐标），这种形式叫二次函数的交点式，它的对称轴是x=(x 1+x2)/2,顶点坐标是（ (x1+x2)/2，）应用：求出函数 y=-3(x+2)(x-4) 的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性。三、用待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的三种形式：1、一般式是： _;2、顶点式：；3、交点式： _.问题 1：已知一个二次函数的图象经过（ -1，0），（3，0），（ 1， -5）三点，求这个函数的解析式。（有几种方法求出该二次函数的解析式，你认为那种方法最简单？）问题 2：如图，已知直线 AB经过 x 轴

22、上的点 A(2，0) ，且与抛物线 y ax2 相交于 B、 C 两点，已知 B 点坐标为 (1 ， 1) 。(1) 求直线和抛物线的解析式；(2) 如果 D 为抛物线上一点，使得 AOD与 OBC的面积相等，求 D 点坐标。思考：选择适当的方法求下列二次函数的解析式， 并简要说明理由；1、已知抛物线经过（ 2， -1），（3，1）（0，5）三点，求其解析式；2、 已知抛物线的顶点是（ -1，4）且经过点（ 1， 2），求其解析式；3、已知抛物线经过点（ 1，-2），且当 x=2 时， y 有最大值 5，求其解析式；4、已知抛物线与 x 轴交于点（ -2，0），（4，0），且经过点（ 3，2）

23、，求其解析式。5、已知抛物线经过点（ 3，0），且当 x=2 时， y 有最小值 -3，求其解析式。6、已知抛物线经过坐标原点，且点（ -2,3）和（ 1,5）也在改抛物线上，求该抛物线解析式。方法总结： 1、若题目告知的是一般的三个点的坐标，就直接带如一般式求解；2、若题目明确告诉了顶点坐标或能从题目中挖掘出顶点坐标，就用顶点式简单；3、若题目明确告诉了抛物线与 x 轴的两交点坐标或能从题目中挖掘出与 x 轴的两交点坐标，就用交点式简单；应用练习 :1、某二次函数当 x=1 时，得最大值 16，它的图象在 x 轴截得的线段长为 8，求其解析式；2、已知二次函数 y=x2-2bx+c 中， b

24、 2，函数最小值为3，它的图象过点M （2，（ 1） 求函数解析式；（ 2） 画出这个函数的大致图象（不要求列表） ；（ 3） 问经过原点 O，且与抛物线 y=x2-2bx+c 只有一个公共点的直线有几条？试分别写出这些直线的解析式。3、如图，抛物线 yax2bxc 过点 A( 1， 0) ，且经过直线 yx3 与坐标轴的两个交点 B、C。(1) 求抛物线的解析式；(2) 求抛物线的顶点坐标，(3) 若点 M在第四象限内的抛物线上，且 OM BC，垂足为 D，求点 M的坐标。第四课一、用函数的观点看一元二次方程：问题 1：根据函数 yx 2 x 3/4 的图象，回答下列问题：(1)图象与 x

25、轴交点的坐标是什么；(2)当 x 取何值时， y 0?这里 x 的取值与方程 x2x340 有什么关系 ?(3)你能从中得到什么启发?从“形”的方面看，函数yx 2x34的图象与 x 轴交点的横坐标，即为方程x2x340的解；从“数”的方面看，当二次函数y x2x3 4的函数值为0 时，相应的自变量的值即为方程x2x340 的解。结论：更一般地，函数yax2bx c 的图象与 x 轴交点的横坐标即为方程22ax bxc0 的解；当二次函数y ax bxc 的函数值为 0 时，相应的自变量的值即为方程 ax2 bxc0 的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。思考：函数 yax2bx

26、c 的图象与 x 轴交点情况怎么确定？当 _时，抛物线 yax2bx c 与 x 轴有两个交点；当 _时，抛物线 yax2bx c 与 x 轴有一个交点；当 _时，抛物线 yax2bx c 与 x 轴有 0 个交点；21问题 2：某班学生在作业中出现了争论：求方程 x 2x 十 3 的解时，几乎所有学生都是将方程化为21x 2x30，画出函数21yx 2x 3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解。唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y2x和1y2x2的图象，如图(3) 所示，认为它们的交点A、B 的3横坐标 2和 2 就是原方程的解提问： 1.这两种解法的结果一样吗?2小刘解法的理由

27、是什么?3 函数 yax2 和 ybxc 的图象一定相交于两点吗 ?你能否举出例子加以说明 ?4 ，函数 y ax2 和 y bxc 的图象的交点横坐标一定是一元二次方程ax2+bxc=0 的解吗 ?5 如果函数 yax2 和 y bxc 图象没有交点，一元二次方程 ax2+bx c=0 的解怎样 ?运用：已知抛物线 y12x28x k 8 和直线 y2mx 1 相交于点 P(3，4m)。(1)求这两个函数的关系式；(2)当 x 取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。练习：1.你有哪些方法可求出方程x2 x60 的解？2yx2你有哪些方法可求出方程组、y1x3 的解？23 填空。(1) 抛

28、物线 yx2 x2 与 x 轴的交点坐标是 _，与 y 轴的交点坐标是_。(2) 抛物线 y2x2 5x 3 与 y 轴的交点坐标是 _，与 x 轴的交点坐标是 _。4 已知抛物线 y1x2xk 与直线 y 2x 1 的交点的纵坐标为 3。(1) 求抛物线的关系式；(2) 求抛物线 yx2 x k 与直线 y 2x1 的另一个交点坐标5 已知抛物线 yax2 bxc 与直线 yx 2 相交于 (m， 2) ，(n ，3) 两点，且抛物线的对称轴为直线 x 3，求函数的关系式。二、用函数观点看一元一次不等式：问题：根据函数y x2x3/4 的图象，回答下列问题：(1)当 x 取何值时， y0?当

29、 x 取何值时， y 0?(2)能否用含有 x 的不等式来描述 (1)中的问题 ?想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系?结论： (1)从“形”的方面看，二次函数y ax2 bxc 在 x 轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2bxc0 的解；在 x 轴下方的图象上的点的横坐标即为一元二次不等式ax2bx c0 的解。(2)从“数”的方面看，当二次函数y ax2 bxc 的函数值大于 0 时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2bxc 0 的解集；当二次函数 y ax2bxc 的函数值小于 0 时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2 bc c0 的解集。这一结论反映

30、了二次函数与一元二次不等式的关系。练习：已知函数 y x2x2。(1) 先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象(2) 观察图象确定： x 取什么值时， y0， y0； y 0。三、二次函数 y ax2 bxc 图像与二次项系数 a、一次项系数 b、常数项 c 的关系：1、抛物线与 y 轴的交点坐标是 _，所以当抛物线与y 轴的交点在 y 轴的正半轴上时，则 c_0（填或 ) ，当抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上时，则 c_0（填或 );2、因为抛物线的对称轴是 _，所以若抛物线的对称轴在y 轴的左边，则a、b_（填同号或异号），所以若抛物线的对称轴在y 轴的右边，则 a

31、、b_（填同号或异号）；3、因为抛物线 yax2bx c 与 x 轴交点的个数由一元二次方程ax2bx c=0的解的个数确定，所以若抛物线与x 轴有两个交点，则b2-4ac_0（填或或=) ，所以若抛物线与 x 轴有一个交点，则 b2-4ac_0（填或或 =) ，所以若抛物线与 x 轴有 0 个交点，则 b2-4ac_0（填或或 =) 。4、若抛物线经过坐标原点，则_=0；若抛物线的顶点式坐标原点，则_=0且 _=0;若抛物线关于 y 轴对称，则 _=0.5、当 x=1 时， y=a+b+c, 当 x=-1 时， y=a-b+c; 当 x=2 时， y=4a+2b+c, 当 x=-2 时， y

32、=4a-2b+c;所以观察 x=1 、-1、2、-2 时所对应的图像上的点在轴的上方或下方，就可以判断 a+b+c、a-b+c、4a+2b+c、4a-2b+c 的正负。应用：1、如图为二次函数 yax2bxc 的图象，在下列说法中：y ac0 ；方程 ax2bxc0 的根为 x11， x2 3 ；-1 O3 x ab c 0 ；当 x1 时， y 随着 x 的增大而增大正确的说法有（请写出所有正确说法的序号 ）第 1 题图2、已知二次函数 y ax2bx c （ a0 ）的图象如图 5 所示，有下列 4 个结论： abc0 ； b ac ； 4a 2b c 0 ； 2yx=1b4ac0 ；其中

33、正确的结论有（）- 1Ox2 题A 1 个B2 个C3 个D4 个3、小明二次函数 y ax 2bx c 的图象中，观察得出y1x了下面五条信息： c0； abc0 ； a b c0 ；3 2a3b0 ； c 4b0 ，你认为其中正确信息的个数有（）A 2 个B3 个C4 个D5 个21 01 2 x4、一个函数的图象如图，给出以下结论：当 x0时，函数值最大；3 题当 0x2时，函数 y 随 x 的增大而减小；存在 0x01，当 xx0 时，函数值为 0其中正确的结论是（）ABCD5已知二次函数 yax2bxc 的图象如图所示，对称轴是（第 4 题）yx 1 ，则下列结论中正确的是（） ac0 b0 b24ac 0 2a b0xO复习巩固x 1知识回顾：y ax2bx c第 5 题图1、抛物线的一般式与顶点式的互化关系： ya(x b )24acb22a4a2、抛物线的交点式与顶