中考必做地36道数学压轴题

1、最新资料推荐中考必做的36 道数学压轴题第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”例 1在平面直角坐标系 x Oy中，抛物线(2013 北京， 23,7 分)y mx 22mx2 （ m0 ）与 y 轴交于点 A，其对称轴与x 轴交于点 B（ 1）求点，的坐标；AB（ 2）设直线 l与直线 AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；（ 3）若该抛物线在2x1这一段位于直线l 的上方， 并且在 2 x3 这一段位于直线 AB的下方，求该抛物线的解析式解：（ 1）当 x 0 时， y 2 . A（ 0， 2）抛物线对称轴为 x2m，12m B（ 1， 0）（2）易得 A 点关于对称轴的对

2、称点为A（ 2， 2）则直线 l经过 A 、 B .没直线的解析式为y kx b则2kb2,解得k2,kb0.b2.直线的解析式为y 2x 2（3）抛物线对称轴为x 1抛物体在 2 x3 这一段与在 1x 0 这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在2x 1这一段位于直线 l的上方， 在1 x0 这一段位于直线l的下方抛物线与直线 l的交点横坐标为 1 ；当x 1 时， y 2x( 1) 2 4则抛物线过点（1， 4）当 x 1 时， m 2m 2 4 ，m 2 抛物线解析为 y 2 x2 4x 2 .连接 （ 2013 江苏南京， 26，9 分）已知二次函数y a（ x m）2 a（

3、 x m）（ a、m为常数，且 a 0） .（1）求证：不论 a 与 m为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C. 与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 D.当的面积等于 1 时，求a的值；ABC当 ABC的面积与 ABD的面积相等时，求m的值 .222【答案】（ 1）证明： ya（ x m） a（ xm） ax（ 2ama） x amam.222因为当 a0 时，（ 2ama） 4a（am am）a 0.1最新资料推荐所以，方程ax2（ 2）20有两个不相等的实数根 .am axam am所以，不论 a 与 m为何值，该函数的图象与x 轴总有两个

4、公共点. 3 分（2）解：y（ ）2（ ）a（ 2m1 ） 2 a，axmaxmx242m 1 ， a ） .所以，点 C的坐标为（2 4当 y 0 时， a（ x m） 2 a（ xm） 0. 解得 x1 m， x2 m 1. 所以 AB1.当 ABC的面积等于1 时， 1 1a 1.24所以 1 1（ a ） 1，或 1 1 a 1.2424所以 a 8，或 a8.22当 x 0 时， y amam. 所以点 D的坐标为（ 0，am am）.当 ABC的面积与 ABD的面积相等时，1 1a 1 1 am2am24211（a） =121 1a12242 1（ am am），或24=1（ am

5、 am） .2所以 1 ，或12 ，或12. 9 分m2m2m2变式 :（ 2012 北京， 23，7分）已知二次函数 y(t1)x22(t 2) x3 在 x0 和 x 2 时2的函数值相等。（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数 ykx6 的图象与二次函数的图象都经过点A( 3，m) ，求 m 和 k 的值；（3）设二次函数的图象与x 轴交于点 B ，C （点 B 在点 C 的左侧），将二次函数的图象在点 B ，C 间的部分（含点B和点 C ）向左平移 n(n0) 个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线 y kx6 向上平移 n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图

6、象G 有公共点时， n 的取值范围。【答案】（ 1）方法一： 二次函数 y (t 1)x22(t 2) x3在 x0 和 x 22时的函数值相等 34(t1)4(t2)3.232 t.2这个二次函数的解析式是y1 x2x32 2方法二：由题意可知：二次函数图象的对称轴为x 12最新资料推荐则2(t2)2(t11) t3.2这个二次函数的解析式是（2）二次函数的图象过y1 x2x32 2 .A( 3,m) 点 . m1 ( 3)2( 3)36 .22又一次函数 ykx 6 的图象经过点 A 3k 6 6 k 4（3）令 y1 x2x3022解得： x11 x23由题意知，点B、 C间的部分图象的

7、解析式为y1 (x 3)( x1) ，（ 1x3 ） .2则向左平移后得到图象G的解析式为： y1 ( x3 n)( x1n) ，（n1x 3 n ）.2此时平移后的一次函数的解析式为y 4x6 n .若平移后的直线y4 x6n 与平移后的抛物线y1 ( x3n)( x1n) 相切 .2则 4x 6 n1 (x3n)( x1 n) 有两个相等的实数根。2即一元二次方程1 x2(n3)x1 n290有两个相等的实数的根。222判别式 =(n24(1 )(1 n29 )03)解得： n 0与 n0 矛盾 .222平移后的直线y4 x6n 与平移后的抛物线y1 ( x3n)( x1n) 不相切 .2

8、结合图象可知，如果平移后的直线与图象G 有公共点，则两个临界交点为( n 1,0) 和(3n,0) .则 4(n1)6n 0 ，解得：2n34(3n)6n0，解得： n6 2n63第 2 题“弓形问题”再相逢， “殊途同归”快突破（例题） （ 2012 湖南湘潭， 26，10 分） 如图， 抛物线 y ax 2 3 x 2(a0) 的图象与 x2轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，已知 B 点坐标为4,0 .（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）试探究 ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（ 3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点， 求 MBC 的面积的最大值， 并求

9、出此时3最新资料推荐M 点的坐标 .【答案】 解：（ 1）将 B（ 4，0）代入 yax23 x 2( a0) 中，得： a11x 2322抛物线的解析式为：yx2( a 0)（ 2）当 1 x2 3 x 2220 时，解得 x14 ， x212 2 A 点坐标为（ 1， 0），则 OA=1当 x=0 时， y1 x 2 3 x 222 2 C 点坐标为（ 0, 2），则 OC=2在 Rt AOC与 Rt COB中， OA OC 1OCOB2 Rt AOC Rt COB ACO=CBO ACB=ACO+ OCB= CBO+ OCB=90那么 ABC为直角三角形所以 ABC的外接圆的圆心为AB中

10、点，其坐标为（1.5 ， 0）（3）连接. 设点坐标为（x， 1x232 ）OMM2x2则 S MBCSOBMSOCMS OBC=14 (1 x 23 x 2)12 x12 422) 22222=( x4当 x=2 时，的面积有最大值为4，的坐标为（ 2， 3）MBCM4最新资料推荐变式（ 2011 安徽芜湖24） 面直角坐标系中，? ABOC如图放置，点 A、C 的坐标分别为 （0，3）、（ -1 ，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转 90，得到 ? ABOC （ 1）若抛物线过点 C，A，A ，求此抛物线的解析式；（ 2） ? ABOC和? ABOC 重叠部分 OCD的周长；（ 3）点

11、M是第一象限内抛物线上的一动点， 问：点 M在何处时 AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标第三题“模式识别”记心头，看似“并列”“递进”（例题） 23（ 2012 河南， 23，11 分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1 x 1与抛物线 y ax22bx 3 交于 A、B两点，点 A 在 x 轴上，点 B的纵坐标为3点 P 是直线AB下方的抛物线上一动点（不与 A、B重合），过点 P 作 x 轴的垂线交直线AB与点 C，作 PDAB于点 D（ 1）求 a、 b 及 sinACP 的值；（ 2）设点 P 的横坐标为 m用含 m 的代数式表示线段 PD的长，并求出线段 PD长的最

12、大值；连接，线段把分成PBPCPDB两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为9:10?若存在，直接写出m 值；若不存在，说明理由5最新资料推荐yBCDAOxP第 23 题图【答案】（ 1）由 1x 10 ，得 x2, A(2,0)由 1 x213 ，得 x4, B(4,3)2 yax2bx3 经过 A, B 两点，(-2) 2 a-2b-3=01 , b142 aa+4 b-3=322设直线 AB与 y 轴交于点 E ，则 E(0,1) PC y 轴，ACPAEO . sinACPsinAEOOA22 5AE55（2）由可知抛物线的解析式为y1 x21 x311122 P(

13、m,m2m3), C (m,m1)222PC1 m 1 ( 1 m21 m 3)1 m2m 42222在 Rt PCD 中， PDPC sinACP( 1 m2m4)25255 (m1)295 .5550当 m951时， PD 有最大值555 或 32存在满足条件的m 值， m【提示】29分别过点 D、 B 作 DF PC， BGPC，垂足分别为F、 G6最新资料推荐在 RtPDF 中， DF1PD1(m22m 8).又 BG4m,55 S PCDDF1 ( m22m 8)m2 5S PBCBG4m5当 S PCDm29时，解得 m5；S PBC5102当 S PCDm210时，解得 m32S

14、 PBC599变式一27（ 2011 江苏泰州， 27，12 分）已知：二次函数=2bx 3 的图像经过点（yxP2,5 ）（ 1）求 b 的值，并写出当 1x 3 时 y 的取值范围；（ 2）设点 P1（ m, y1）、 P2（ m+1, y2）、 P3( m+2, y3) 在这个二次函数的图像上当 m=4 时， y1、 y2、 y3 能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；当 m取不小于 5 的任意实数时， y1、 y2、 y3 一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由【答案】解： （ 1）把点 P 代入二次函数解析式得5= （ 2） 2 2b3，解得 b= 2.当 1 x 3 时

15、y 的取值范围为 4 y 0.（2） m=4时， y 、 y 、 y的值分别为 5、 12、 21，由于5+12 21，不能成为三角形的三边123长当 m取不小于 5 的任意实数时， y1、 y2、 y3 的值分别为222m2m 3、 m 4、 m 2m 3，由2222于， m 2m3 m 4m 2m3，（ m 2） 8 0，所以当 m取不小于5 的任意实数时，y1、y2 、y3 一定能作为同一个三角形三边的长，变式二（ 2013 重庆 B 卷， 25，10分）如图，已知抛物线y x2bx c 的图像与 x 轴的一个交点为（ 5， 0），另一个交点为，且与y轴交于点(0 ， 5).BAC（1）

16、求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点 M是抛物线在x 轴下方图像上的一动点，过点M作 MN/ y 轴交直线 BC于点 N，求MN的最大值；（3）在（ 2）的条件下，MN取得最大值时，若点P 是抛物线在 x 轴下方图像上任意一点，以为边作平行四边形，设平行四边形的面积为S1 ， ABN的面积为 S2 ，且BCCBPQCBPQS16S2 ，求点 P 的坐标 .7最新资料推荐yCO ABx【答案】 解：（ 1）设直线BC的解析式为ymxn ，将 B（ 5，0）， C（ 0，5）代入有：5mn0解得：m1所以直线的解析式为yx 5n5n5BC再将B（5， 0），C（ 0， 5）代入抛物线y x 2b

17、x c 有：255bc0解 得 ：b6所 以 抛 物 线 的 解 析 式 为 ：c5c5y x 26 x5（2）设 M的坐标为（ x， x26x5 ），则 N的坐标为（ x， x5 ），MN= ( x 5) ( x26x5)=x 25x当 x525时， MN有最大值为24yCNO ABxQP1M P28最新资料推荐（3）当 yx26x50 时，解得 x11， x25故 A（ 1,0 ）， B（ 5,0 ），所以 AB=4由（ 2）可知， N的坐标为（5 ， 5 ）22 S2145522则 S16S230，那么 SCBP15在 y 上取点 Q(-1 ， 0) ，可得S CBQ15故 QP BC则

18、直线 QP的解析式为yx1当 x26x 5x 1时，解得 x12 ， x2 3所以P 点坐标为（ 2， 3 ），（ 3 ，4 ），第四题“准线” “焦点”频现身， “居高临下”明“结构”（例题）（ 2012 四川资阳， 25， 9 分）抛物线 y1 x2x m 的顶点在直线 y x 3 上，过点4F( 2,2) 的直线交该抛物线于点M、N两点（点 M在点 N的左边），MA x 轴于点 A，NB x 轴于点 B（ 1）(3分) 先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含 m 的代数式表示） ，再求 m 的值；（ 2） (3分) 设点 N的横坐标为 a ，试用含 a 的代数式表示点 N的纵坐标，并说

19、明 NF；NB（ 3） (3分 ) 若射线 NM交 x 轴于点 P，且 PA PB 100 ，求点 M的坐标99最新资料推荐（第 25 题图）答案：解 （1） y1x2xm1( x2) 2(m1)4m1)4顶点坐标为 ( 2 ,顶点在直线 yx3 上， 2+3= m 1 ，得 m =2（ 2）点 N在抛物线上，点 N的纵坐标为 1 a2a24即点 N(a , 1 a2a 2 )4过点 F 作 FC NB于点 C，在 Rt FCN中， FC= a +2， NC=NB- CB= 1 a2a , NF 2 NC 2FC 2 ( 1 a2(a 2) 2 = ( 1 a24a) 2a)2(a24a) 4

20、44而 NB 2 = ( 1 a2a 2)2 ( 1 a2a)2(a24a)444 NF 2 NB 2 ， NF=NB（ 3）连结 AF、BF由 NF=NB，得 NFB= NBF，由（ 2）的结论知， MF=MA， MAF= MFA, MA x 轴，NB x 轴， MA NB, AMF+ BNF=180 MAF和 NFB的内角总和为360 , 2MAF+2NBF=180， MAF+ NBF=90 ,+=180，+=90又+=90MAB NBAFBAFABFABMAF FBA= MAF= MFA又 FPA= BPF， PFA PBF， PFPB ， PF 2PA PB =100PAPF910最新

21、资料推荐过点F作轴于点, 在Rt中，=PF2FG28，= + = 14，FG xGPFGPG=PO PG GO33 P( 14 , 0)3设直线：kxb，把点 （ 2 , 2）、点 ( 14,0) 代入y kxb解得= 3，PF yFPk4= 7 ，直线 PF： y3 x73b242解方程 1x2x 23x7，得 x = 3 或 x =2（不合题意，舍去）442当 x = 3 时， y = 5 ， M（ 3 ,5 ）44变式一 25已知抛物线y=ax2+bx+c（a 0）顶点为 C（1，1）且过原点 O过抛物线上一点 P（ x， y）向直线 y=5 作垂线，垂足为 M，连 FM（如图）4（ 1

22、）求字母 a，b， c 的值；（ 2）在直线 x=1 上有一点 F(1 ， 3 ) ，求以 PM为底边的等腰4三角形 PFM的 P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（ 3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（ 1， t ），使PM=PN恒成立？若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由解：（ 1）抛物线 y=ax2+bx+c（a0）顶点为 C（1，1）且过原点 O，可得 - b =1， 4ac b2 =1， c=0，2a4a a=-1， b=2，c=0（ 2）由（ 1）知抛物线的解析式为y=-x 2+2x，故设 P 点的坐标为（ m，-m2 +2m），则 M点的坐标（ m， 5 ），

23、4 PFM是以 PM为底边的等腰三角形 PF=MF，即（ m-1）2+（-m2+2m- 3 ）2 =（m-1） 2+（ 3 - 5 ）244411最新资料推荐 -m2+2m-3 = 1 或-m2+2m- 3 =- 1 ，4242314 2时，即 -4m2+8m-5=0 =64-80=-16 0此式无解23=-121当 -m+2m-42时，即 m-2m=-4 m=1+ 3 或 m=1- 322、当 m=1+ 3 时， P 点的坐标为（ 1+3 ， 1 ）， M点的坐标为（ 1+3 ， 5 ）22424、当 m=1- 3 时， P 点的坐标为（ 1-3 ， 1），M点的坐标为（ 1-3 ， 5），

24、22424经过计算可知 PF=PM， MPF为正三角形， P 点坐标为：（ 1+ 3 ， 1 ）或（ 1-3 ， 1）2424（ 3）当 t= 3 时，即 N与 F 重合时 PM=PN恒成立4证明：过 P 作 PH与直线 x=1 的垂线，垂足为 H，在 Rt PNH中，222222，PN=（x-1 ） +（t-y）=x -2x+1+t-2ty+y25225y+25，PM=（4-y ） =y -216P 是抛物线上的点， y=-x 2+2x； PN2=1-y+t 2-2ty+y 2 =y2- 5 y+ 25 ， 2 16 1-y+t 2-2ty+y 2=y2 - 5 y+ 25 ，21612最新

25、资料推荐移项，合并同类项得： - 3 y+2ty+ 9 -t 2 =0，216 y（ 2t- 3 ）+（ 9 -t 2） =0 对任意 y 恒成立2 16 2t- 3 =0 且 9 -t 2=0，2 16 t= 3 ，故 t= 3 时， PM=PN恒成立44存在这样的点变式二（ 2012 山东潍坊， 24，11 分）如图12，已知抛物线与坐标轴分别交于A（2 ， 0）、B（ 2，0）、C（ 0，1）三点，过坐标原点O的直线 ykx 与抛物线交于M、N两点分别过点 C、D（ 0，2 ）作平行于x 轴的直线 l 1、l 2 （ 1）求抛物线对应二次函数的解析式；（ 2）求证以 ON为直径的圆与直线

26、 l 1 相切；（ 3）求线段 MN的长（用 k 表示），并证明 M、N 两点到直线 l 2 的距离之和等于线段 MN 的长yNAOBMxCl 1Dl 2图 12【答案】 解：（ 1）设抛物线对应二次函数的解析式为y ax2bx c ，04a2bca14由 04a2bc ，解得b0 1cc1所以 y1x214（ 2）设 M（ x1， y1），N（ x2， y2），因为点 M、 N在抛物线上，所以 y11 x121 ， y21 x221 ，所以 x224( y21) ；44又 ON 2 = x2 2y2 2 = 4( y21) y2 2 = ( y2 2)2 ，所以 ON= y22 ，又因为 y

27、21，所以 ON= y22 设 ON的中点为 E，分别过点 N、 E 向直线 l1作垂线，垂足为P、 F，13最新资料推荐则 EF= OCNP = 2 y2 ，22所以 ON=2EF，即 ON的中点到直线 l 1 的距离等于 ON长度的一半，所以以 ON为直径的圆与直线 l 1 相切（ 3）过点 M作 MH NP交 NP于点 H，则MN 2MH 2NH 2 = (x2x1 ) 2 + ( y2 y1 )2 ，又 y1=kx1，y2=kx2，所以 ( y2 y1 ) 2 = k 2 ( x2x1 )2 ，所以 MN 2(1 k2 )( x2x1 )2 ；又因为点M、 N既在 y=kx 的图象上又在抛物线上，所以 kx1 x21 ，即 x24kx 40 ，4所以 x =4k16k216 =2k 2 1k 2 ，2所以 ( x2x1 )2 =16(1k2 ) ，所以 MN 216(1k2 )2 ，所以=2) MN 4(1k延长 NP交 l 2 于点 Q，过点 M作 MS l 2 于点 S，则 MS+NQ=1212122y12y2 = 4 x114 x21 4= 4 ( x1x2 ) 2 ，又 x12x22 = 24k 24(1k 2 )16k 28 ，所以 MS+NQ= 4k 222 = 4(1k 2 ) =MN即 M、 N两点到直线 l 2 的距离之和等于线段MN的长y