解析几何竞赛题求解的几种常见策略

1、.解析几何竞赛题求解的几种常见策略陈硕罡吴国建（浙江省东阳中学322100）解析几何作为高中数学的重要内容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般有一或两道填空题和一道解答题，分值在 30 分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性

2、不言而喻。下面笔者结合自己的教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与同仁们探讨。一、用函数 (变量 )的观点来解决问题函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。抓住问题中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的坐标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示出来，从而变成一个函数的问题， 这就是解决问题的函数观点。在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量（很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为了解决解析几何的一种重要方法。【例1】（ 2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线 y26x 上的两个动点 a(x1, y1

3、) 和 b(x2 , y2 ) , 其中 x1x2 且x1x24 . 线段 ab 的垂直平分线与 x 轴交于点 c , 求 abc 面积的最大值 .【分析】通过对题目的分析可以发现线段ab 中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把ab 中点的纵坐标作为主变量，这样只要把abc 的面积表示成以ab 中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。【解析】设线段ab 的中点 m 坐标为（ (2, y0 ) ，则则直线 ab 的斜率： ky1y2y1y263x xy12y22y yy2112066线段 ab 的中垂线方程：yy0y0 ( x2) ，易知线段ab 的中垂线与 x 轴的

4、交点为定点c (5,0)3直线 ab 的方程： yy03 (x2) ，联立抛物线方程消去x 可得： y22 y0 y2y02120（1），y0由题意， y1, y2 是方程（ 1）的两个实根，且y1y2 ，所以4 y024(2 y02 12)02 3y0 23弦长 | ab |1( y0 )2| y1y2 |(1y02)( y1y2 )24 y1 y2 2(9y02 )(12y02 )393点 c(5， 0)到直线 ab 的距离： h|cm |9 y02则 s abc1 | ab | h1(9 y02 )(12y02 )9y0211 (9y02 )(9y02 )(242 y02 )23321

5、1( 9 y029 y0224 2 y02 )31473233当 且 仅 当9 y0224 2y02， 即 y05 ， 点 a( 635 , 57), b( 635 , 5 7)或33a( 6335 ,57), b( 6335 ,57) 时等号成立，所以abc 面积的最大值为147 。3【评析】在解答过程中用韦达定理代入消元转化，蕴含了“设而不求”的解题策略，把面积s 表示为中点坐标 y0 的函数，同时注意 y0的取值范围，体现了函数问题首先关注定义域，在对函数求最值的过程中运用了基本不等式，其实也可设.9 y02t, t9, 21) ，转化为一个 t 的三次函数，利用导数求最值也是一种常用技

6、巧。【例 2】（ 2009全国高中数学联赛试题）设直线l : y kxm （其中 k ， m 为整数）与椭圆x2y2a ， b ，与161 交于不同两点22uuuruuur12双曲线 xy1 交于不同两点 c ， d ，问是否存在直线l ，使得向量 acbd 0 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不4 12存在，请说明理由【分析】通过分析可以看出本题的根本变量是直线方程中的k , m , 所以其余各量均可用 k, m ，所以我们这里可用一个二元函数uuuruuurf (k, m)0 .f (k ,m) 来表示 acbd ，本题就转化为解二元方程ykxm【解析】由x2y2消去 y 化简整理得

7、:34k2 x28kmx4m248016121设 ax1 ，y1 ， b x2 ，y2，则 x1x28km, 18km 24 34k 24m2480 34k2ykxmk2x2m2由x2y2消去 y 化简整理得 : 32kmx1204121设 cd x4，y42km ,x3 ，y4222uuur，则 x3x43 k 222km4 3km120 uuur因为 acbd0 ，所以x4x2x3x10，此时y4y2y3y10 由 x1x2x3x4 得8km2km 34k 23k 2所以2km0或41由上式解得k 0 或 m034k 23k 2当 k0 时，由和得23 m2 3 因 m 是整数，所以m 的

8、值为3，2 ，1， 0 ， 1， 2 ， 3当 m0 ，由和得3k3 因 k 是整数，所以 k1， 0， 1于是满足条件的直线共有9 条【评析】如果题目中的主变量需要用两个变量来表示时，可先把这个因变量表示为一个两元函数，如题设中有其他条件能找到这两个变量间的关系，那只需用一个两来表示另一个量，这时就可转化为一元函数，这也体现了解析几何中“设而不求”的思想；如题设条件不能直接给出两变量者之间的关系，我们可直接对二元函数进行处理.二、用平面几何的知识来解决问题解析几何是用坐标法把几何问题代数化，用代数的方法来解决几何问题，但说到底解析几何还是几何。在解决某些解析几何问题的时候，如果其平面几何背景

9、非常明显的时候，我们往往可以借助平面几何知识来快速准确解决问题。【例 3】 (2012 全国高中数学联赛试题)抛物线 y22 px( p0) 的焦点为 f，准线为 l ， a 、 b 是抛物线上的两个动点，且满足afb设线段的中点 m 在 l 上的投影为 n ，则 | mn | 的最大值是 _3| ab |【分析】根据梯形的中位线定理和抛物线的定义，|mn=|af|+|bf| ，结合afb，可用余弦定理得出等量关系。3【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得mnafbf . 在afb 中 ,由余弦定理得2222( afbf )23 af bfabafbf2 af bf cos3( afbf

10、)23( af bf )2( afbf )2mn .222当且仅当afbf 时等号成立 .故mn的最大值为 1.ab【评析】一些解析几何客观题，往往需要借助圆锥曲线的定义和平面几何的一些性质进行解题。【例 4】（ 2005 全国高中数学联赛试题）过抛物线y=x 2 一点 a(1,1).作抛物线的切线交x 轴于 d，交 y 轴于 b，c 在抛物线上， e 在线段 ac 上， ae1，f 在线段 bc 上， bf2，且 ecfc1+ 2= 1，线段 cd 与 ef 交于 p，当 c 在抛物线上移动时，求p 的轨迹方程。【分析】通过初略计算可知d 为 ab 的中点，而题设中有很多的线段比例关系，可考

11、虑用三角形的面积之比来解决问题。【解析】 ab的方程为 y2 x 1, b(0,1), d ( 1 ,0), 故 d是 ab 的中点 .cd ,t1cacb2令11 ,t 212 , 则 t1t2 3.cpcecf因为 cd为 abc 的中线，s cab2s cad2s cbd .所以 1 ce cf s t1t 2 ca cb sp 是abc 的重心 .cefcabs2scepcads2scfp1(11)t1 t23,3 ,cbd2t1t 22t1t 22t1t 22设 p( x, y), c (x, x2 ), 因点c异于 ，则x0 1,故重心p的坐标为00a0 1 x01 x0, (x2

12、1 1 x02x02, 消去 x0 , 得 y12.x3), y33(3x 1)333故所求轨迹方程为y1 (3x1) 2 ( x2).33【评析】 从函数的观点进行分析， 易发现点 c 的横坐标 x0 为主变量， p 点的横坐标和纵坐标均表示成x0 的函数， 在消去参数 x0就得到点 p 的轨迹方程，思路虽然简单，但由于本题所含字母较多，进行代数运算时运算量大且容易出错。如果我们能够分析其平面几何背景，运用平面几何的知识，就能比较快速准确的解决问题当解析几何题目。三、用极坐标知识来解决解析几何问题解析几何中的坐标法是指建立直角坐标系，用这个点在两坐标轴上的射影x, y 来确定。而极坐标是用角

13、度和距离（很多时候就是长度）这两个量来确定一个点的位置，其几何意义很明显，如果在题目中涉及到的量能用角度和距离非常方便的表示出来，那么建立一个极坐标系进行运算，会比我们在直角坐标系下运算快速有效的多。a 、b 是椭圆 x2y2uuur uuur11 2 为【例 5】（ 2008 江苏省数竞赛试题）1 上的两个动点，满足 oa ob0 。（ 1）求证：294| oa |ob |uuuruuur定值；（ 2）动点 p 在线段 ab 上，满足 opab 0 ，求证：点 p 在定圆上。uuuruuur0 可 知 oaob , 所 以aob90| oa |,| ob |【 分 析 】 由 oaob, 而

14、能用距离（长度）直接给表示出来，这里的问题都可以用角度和距bp离来表示，可以考虑建立极坐标系来解决。ax 轴正半轴为极轴建立极坐标系【解析】（ 1）如图以原点为极点，o设 | oa | a,| ob |b, aox，则点 a(a cos , asin) ，则点 b(b cos(), b sin()(bsin,b cos) ，22点 a 、 b 在 椭 圆 上 ， 把 点 坐 标 带 入 椭 圆 方 程 可 得 ：a2 (cos2sin 2) 11cos2sin 294a294同理可得：1sin 2cos2，两式相加可得：1111 13b294a2b2为定值。9 4 36uuuruuur0 知

15、opab ，所以 | op | | ab | | oa | | ob | op | |oa | | ob |ab（2）由 opabb2| ab |a2.1136 为定值，所以p 在以 o 为圆心，半径36 的定圆上。11313a2b2【评析】本题也可利用oaob ，设他们的斜率分别为k,1，以 k 为主变量进行运算，但| oa |,| ob | 用 k 来表示比较麻烦。k如能观察到用角度和距离两个量非常简洁的表示| oa |,| ob | ，选用极坐标系，则解题可事半功倍。【例 6】 (2012 全国高中数学联赛试题)在平面直角坐标系xoy 中，菱形 abcd 的边长为 4，且 ob od 6

16、 （）求证：| oa | | oc | 为 定 值 ；（ 2 ） 当 点 a在 半 圆 (x2)2y24（ 2x 4 ）上运动时，求点 c 的轨迹 【分析】根据图中的菱形和等腰三角形的性质可知o、a 、c 三点共线，结合菱形的对角线垂直可知边长关系，第（1）小题用平面几何方法可快速求解，由点 o、a 、c 三点共线知三点的角度是一样的，只有长度不一样，加上（1）的结论可知，|ao| 与 |oc|的长度之积为定值 20，第（ 1）小题可以用极坐标( ,)求解。【解析】（ 1）因为 obod , abadbccd所以 o, a, c 三点共线，如图,bd ,bd垂直平分线段ac ,设垂足为k ,连

17、结则于是有oa oc( okak )( okak )2ak2ok2bk22222624220 (定值 )( ob)( abbk )obab（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 a( 1,), c(2 ,)(44) ，则由（ 1）的结论可得：1 2 20 （* ）而点 a 所在的半圆的极坐标方程为：4cos (44)5所以 14cos，带入（ * ）可得：2()4cos4在转化为直角坐标：x2 cos5, y2 sin5tan5,5故点 c 的轨迹为线段 x5(5 y5) 。高中数学竞赛中的解析几何题的解题策略多种多样，还有很多方法和技巧，比如说用直线的参数方程来求解某些有关定

18、点到动点距离的问题会比较方便，用曲线的参数方程在化两元为一元的问题上有很多的优势等，我们只有掌握一些常用的技巧和方法，在做题的时候根据题设和结论的背景和特征，选择合适的方法，才能快速准确的解决解析几何问题。【同步练习】x2y24，并且 3a24b2uuuruuur11(ab0) ,fabk ,的一条动弦，其斜率0, afbf ，、已知椭圆方程：过椭圆左焦点3a2b243求 的取值范围。【解析】由 3a24b20 知 a2c,b3c，所以椭圆方程可化为：3x24 y212c2设直线 ab ： xmyc，联立椭圆方程消去x 可得： (3 m24) y 26mcy9c20uuuruuury1 ，设

19、a( x1, y1 ), b( x2 , y2 ) ，则由 afbf 得y2.结合： y1y26mc, y1y29c2消去 y1 , y2 得：3m23m244(1 ) 24m244 36 , 16 3m243434k29121m2再解关于的不等式组可得：137或37737132abx2y21(a b0)的左右顶点， q 为椭圆的右准线与x轴的交点，过q 的直线与椭圆交、分别为椭圆、如图，已知2b2a于点 c、d （ c 在 q， d 之间），直线ad 与 bc 相交于点 p，求点 p 的轨迹方程。【解析】记椭圆的右焦点为f，连接cf、 df 、pf，其中 df 交椭圆与点 g，pf 交 dq 与 e根据椭圆的第二定义：cqcf （ 1）dq dffq 为dfc 中dfc 的外角平分线，cfqqfgdfa （ 2）而 afacaq ，fbacqb所以 a 、f、 b、 q 为调和点列。而 d 、 e、 c、 q 四点共线，所以 d 、e、 c、 q 也是调和点列。则 de