电路的复频域分析.ppt

1、第六章 动态电路的复频域分析,6.1 拉普拉斯变换及其性质 6.2 拉普拉斯反变换 6.3 电路基本定律及电路元件的复频域形式 6.4 应用拉普拉斯变换分析动态电路 6.5 网络函数 6.6 固有频率,本章要介绍的拉普拉斯变换方法是研究线性非时变动态电路的基本工具。采用拉普拉斯变换的分析方法，称为复频域分析，即s域分析。,6.1拉普拉斯变换及其性质,6.1.1 拉普拉斯变换的定义,设时域函数f(t)在区间 0， )内的定积分为,式中，s=+j为复频率。若该定积分在s某一域内收敛，则由此积分确定的复频域函数可表示为,复频域函数F(s)定义为时域函数f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或称F(s

2、)为f(t)的象函数,F(s) = f(t),简记成,已知象函数F(s)求对应原函数f(t)的变换，称拉普拉斯反变换（简称拉氏反变换），其积分公式为,简记为,f(t)=-1F(s),表6.1.1 一些常用时间函数的拉氏变换,表6.1.1 一些常用时间函数的拉氏变换,6.1.2 拉普拉斯变换的基本性质,若f1(t)= F1(s)，f2(t)= F2(s),a1f1(t)+a2f2(t) = a1f1(t)+a2f2(t) = a1F1(s)+a2F2(s),则对任意常数a1及a2（实数或复数）有,一、线性性质,即拉氏变换满足齐次性和可加性。,应用：,对电阻电压、电流进行拉氏变换，并由线性性质可得

3、, uR = RiR = R iR,电阻元件电压电流关系的复频域形式。,它表明，电阻电压的象函数与电阻电流的象函数之间的关系也服从欧姆定律。,例6.1.4 试求电阻元件电压电流关系的复频域形式。,解:时域中线性电阻元件,二、微分性质,若f(t) = F(s)，则, ,拉氏变换的微分性质表明，时域中的求导运算，对应于复频域中乘以s的运算，并以f(0-)计入原始值, ,推广：,例6.1.5 试求电容元件电压电流关系的复频域形式。,解：在时域中线性非时变电容元件,对电容电压、电流进行拉氏变换，并根据微分性质和线性性质可得, iC = = C = CsUC(s)-uC(0-),则电压电流关系的电容元件

4、的复频域形式为,若f(t) = F(s)，则,三、积分性质, ,拉氏变换的积分性质表明，时域中由0到t的积分运算，对应于复频域中除以s的运算,例6.1.6 试求电感元件电压电流关系的复频域形式。,解：在时域中线性非时变电感元件,对电感电压、电流进行拉氏变换，并由积分性质和线性性质可得, iL = ,= + ,电感元件的复频域形式为：,从微分和积分性质可看出，在应用拉氏变换时，直接用时域中的0-时的原始值，而不必考虑0+时的初始值。,四、时移性质,若f(t) = F(s)，则,f(t-) = F(s),拉氏变换的时移性质表明，若原函数在时间上推迟(即其图形沿时间轴向右移动 )，则其象函数应乘以延

5、时因子e-s,例6.1.7 图示单个矩形脉冲波形f(t)，其幅度为A，试求f(t)的拉氏变换F(s)。,解 ：矩形脉冲f(t)可表示为,故根据时移性质，有, ,五、频移性质,若f(t) = F(s)，则, =F(s-),拉氏变换的频移性质表明，若原函数乘以指数因子et,则其象函数应位移（即其图形沿实轴向右移动）。,例6.1.9 试求 及 的拉氏变换。,根据频移性质可求得,解 ：,六、初值定理,若f(t) = F(s)，且 存在，则,若f(t) = F(s)，且 存在，则,七、终值定理,利用初值定理和终值定理，可以不经过反变换而直接由象函数F(s)来确定原函数f(t)的初值和终值。,例6.1.1

6、0：,根据终值定理,八、卷积定理,若f1(t)= F1(s)，f2(t)= F2(s)，且t 0时f1(t) = f2(t) = 0则,f1(t)f2(t) = F1(s)F2(s),卷积定理表明，时域中两原函数的卷积，对应于复频域中两象函数的乘积。,解:,6.2 拉普拉斯反变换,拉普拉斯反变换可以将频域响应返回至时域响应。,拉普拉斯反变换的定义：,拉普拉斯反变换的计算较复杂，一般多采用部分分式展开的方法间接求得。（适用于有理式）,设F(s)可以表示为如下的有理分式，m 和n 为正整数。,展开定理的第一步是把有理函数真分数化（真分式化）,若mn 称有理函数是真分数式,其中A(s)是P(s)除以

7、Q(s)的商，是一个多项式，其对应的时间函数是(t)，(1)(t)， (2)(t) 等的线性组合。,B(s)是P(s)被Q(s)所除而得的余式，则B(s)/ Q(s)为真分式,所以F(s)对应的原函数为,例6.2.1 试求 的原函数。,解：将F(s)真分式化得,设：F(s)为真分式，并将分母多项式Q(s)用因式连乘的形式来表示，即：,如果 pj(j1，2，r)是Q(s)的r重根，则称pj为F(s)的r阶极点。,pj(j=1，2，n)为方程Q(s)=0的根，称为Q(s)的零点。,当spj时，F(s)，所以pj也称为F(s)的极点。,若pj是多项式Q(s)的单根，则称pj为F(s)的单极点。,6.

8、2.2 单极点有理函数的拉氏反变换,F(s)的极点均为单极点时， F(s)的部分分式展开式为,Kj(j=1，2，n)为待定常数,方法二,方法一,f(t) = -1F(s) = -1,拉氏反变换并进行线性组合，可得：,一、 极点均为实数情况,例6.2.2 试求 的原函数f(t)。,F(s)的各极点分别为p1 = -1，p2 = 2，p3 = 3,解,f(t) = -1F(s) = -1,二、极点为复数情况（共轭复根）,若F(s)有 单极点，则必有 单极点。,则F(s)将包含,K1和K2一般也是共轭复数，即：,如果,则,拉氏反变换为：,f(t)=,例6.2.3 试求 的原函数f(t)。,则F(s)

9、的部分分式展开式为,f(t)= -1,6.2.3 重极点有理函数的拉氏反变换,若F(s)有一个r阶极点p1，其他为单极点，则F(s)的部分分式展开式为：,其中：,f(t) = -1F(s) = -1,例6.2.4 试求 的原函数f(t),解：,可得：,f(t)= -1,6.3 电路基本定律及电路元件的复频域形式,KCL(t) KVL(t) 支路关系(t),KCL(s) KVL(s) 支路关系(s),6.3.1基尔霍夫定律的复频域形式,6.3.2电路元件电压电流关系的复频域形式,一、电阻元件电压电流关系的复频域形式,二、电容元件电压电流关系的复频域形式,二、电容元件电压电流关系的复频域形式,复频

10、域诺顿模型,时域模型,复频域戴维南模型,附加电压源,附加电流源,1/sC具有电阻的量纲，称为运算容抗,sC称为运算容纳,三、电感元件电压电流关系的复频域形式,复频域诺顿模型,时域模型,复频域戴维南模型,sL具有电阻的量纲，称为运算感抗,1/sL称为运算感纳,四、耦合电感元件电压电流关系的复频域形式,(a) 时域模型,复频域形式为,(b) 复频域模型,若用倒电感矩阵表示耦合电感元件,(a) 时域模型 (b) 复频域模型,6.4 应用拉普拉斯变换分析动态电路,6.4.1电路的复频域形式及运算阻抗和运算导纳,将电路中所有元件都用复频域模型表示，所有电压和电流都用相应的象函数表示，这样的电路就成为原电

11、路的复频域模型，称为运算电路(operational circuit),例：RLC并联电路,(a) 时域电路,(b) 运算电路,一个处于零状态的无源一端口运算电路，端口电压象函数U(s)与电流象函数I(s)之比称为运算阻抗(operational impedance)Z(s)，即,与之对偶的为运算导纳(operational admittance)Y(s),例：RLC串联运算电路,RLC串联运算电路的运算导纳为,注意：尽管运算阻抗Z(s)和运算导纳Y(s)都是有关象函数的比值，但它们都不是象函数，只是复变数s的函数。,6.4.2用运算法分析线性非时变动态电路,运算法分析线性非时变动态电路的主要

12、步骤可归结为：,(3) 将求得响应的象函数反变换求出响应的原函数。,(1) 将时域电路变换为运算电路,（2）建立电路的复频域代数方程，并求解方程。,例6.4.1 图(a)所示电路，已知电压源为单位阶跃uS(t)，电流源为单位冲激iS(t)，电阻R1=10，R2=5，电容C=1F，电路处于零状态uC(0-)=0V。试求t 0时的uC(t)。,根据KCL求得节点方程,(a) 时域电路,(b) 运算电路,解得象函数:,对UC(s)进行拉氏反变换求得原函数,uC = -1,另外根据零状态响应是输入的线性函数，此题也可分别求出冲激响应和阶跃响应后再叠加。,例6.4.2 在图(a)所示电路中，iL(0-)

13、=1A，uC(0-)=1V，uS= (t)V，R1=R2=1，L=1H，C=1F，试求t 0 时的u(t)。,根据KVL求得电路的网孔方程,解方程可求得响应象函数,反变换求得原函数,u(t) = -1,例6.4.3 在图(a)所示电路中，开关S在t=0时闭合，S闭合前电路处稳定状态。已知R1=RS=1，R2=2，L1=2H，L2=1H，M=1H，uS=(t)V。试求t 0 时的i1和i2。,根据KVL得电路的回路方程,代入具体参数的耦合电感电压方程为,解得：,求得待定常数,例6.4.4 图所示二端口电路处于零状态，试求该二端口电路的短路导纳矩阵,二端口电路可分解为(a)、(b)所示两个二端口电

14、路的并联,例6.4.5 在图所示电路中，开关S在t=0时断开，S断开前电路处稳定状态。已知R1=30，R2= R3=5，L=0.1H，C=10-3F，uS=140V。试求t 0 时的uC。,解: 由于开关S断开前电路处于稳定状态，可求得电路原始状态iL(0-)=4A，uC (0-)=20V,可得：,由等效运算电路，可求得uC的象函数,求得待定常数,例6.4.6 图(a)所示电路，开关S在t=0时打开，S打开前电路处于稳定状态。已知C=0.1F， G=100S，iS=4cos1000tA，试求t 0 时的uC。,解：根据KCL求得电路的节点方程,求得待定常数,uC=暂态分量+稳态分量,从工程技术

15、上看，经过45，暂态过程已结束，电容电压uC(t)进入稳态响应，即：,例6.4.7 图(a)所示电路，开关S在t=0时闭合，S闭合前电路处于稳定状态。已知iS=10A，C1=0.3F，C2=0.2F，R1=(1/2)，R2=(1/3)，试求t 0 时的uC和iC1，iC2。,根据KCL求得电路的节点方程,求得待定常数,可得：,可得iC1的象函数,求得待定常数,同理可得iC2的象函数,本例所求与例5.6.7相同，且已知两电容电压在t=0时发生强迫跳变，由t=0- 时的uC1(0-)=5V，uC2(0-)=0V，跳变到t=0+ 时的uC1(0+)=uC2(0+)=3V。使电容中出现冲激电流而产生的

16、结果。,但在应用运算法的计算过程中不需要特别考虑是否发生电容电压的强迫跳变，这是因为运算方法使用的是t=0- 时刻的原始值，而不是t=0+ 时刻的初始值。因此，在分析含有电容电压和电感电流发生强迫跳变的电路时，复频域分析方法要比时域分析方法方便,例6.4.8 在图(a)所示电路中，开关S在t=0时由1切换到2，S切换前电路处稳定状态。已知iS1=1A，iS2=5A，R1=R3=1，R2=0.5，L1=1H，L2=2H，M=1H，试用节点分析法求t 0 时的u2。,解:开关S切换前电路处稳定状态，可得iL1(0-)=1A，iL2(0-)=0,根据电路标出的参考方向有电感矩阵和倒电感矩阵,可得：,

17、求得响应象函数,从该例可看出在列写电路的节点方程时，如果电路中含有耦合电感元件，那么使用倒电感矩阵比电感矩阵更为方便。,6.5 网络函数,6.5.1网络函数的定义和分类,一个零状态的运算电路，输入激励的象函数为W(s)，零状态响应的象函数为Y(s)，则网络函数(network function)H(s) 定义为零状态响应象函数Y(s)与激励象函数W(s)之比，即,驱动点阻抗（或入端阻抗）,驱动点导纳（或入端导纳）,6.5.1网络函数的定义和分类,转移阻抗,转移导纳,转移电压比,转移电流比,例6.5.1 图示为电流源IS(s)激励下的RLC并联运算电路。设电压U(s)和电流IL(s)都是零状态响

18、应象函数，试求阻抗函数U(s)/IS(s)和电流比IL(s)/IS(s)。,(a),解:由图(b)有电路的节点方程为,由图(c)可得,例6.5.2 图(a)所示时域电路中，,试求网络函数H(s)= IL(s)/US(s),(a),(b),解: 用回路分析法可得复频域电路回路方程为,解得:,从上两例可看出,网络函数H(s)都是s的实系数有理函数，函数中的分子多项式和分母多项式的系数取决于电路拓扑结构和各元件的参数。,例 6.5.3 图(a)所示电路，称为PID调节器。试求网络函数H(s)=Uo(s)/Ui(s)。,(a),(b),解 :由运算电路图(b)，对节点列写电流方程为,从H(s)的表达式

19、可以看出，输出电压对输入电压实现比例、积分和微分运算，因此称为PID调节器。,例 6.5.4 图示电路中，已知二端口电路N的a参数矩阵为,试求网络函数H(s)=U2(s)/U1(s)。,解：将图示电路分解成N1、N、N2三部分，可分别求出N1和N2的a参数矩阵为,则整个二端口电路a参数矩阵为,令I2(s)=0，得到网络函数H(s)=U2(s)/U1(s)为,6.5.2网络函数的零点和极点,网络函数可以表示成s的实系数有理函数，即,或：,式中zi(i=1，2，m)是分子多项式的零点，当s=zi时，H(s)=0，称为网络函数的零点(zero),pj(j=1，2，n)是分母多项式的零点，当s= pj

20、时，H(s)=，称为网络函数的极点(pole)。,例如网络函数为,H(s)的零点为,极点为p1 1，p2 2+j2，p3 2j2,网络函数的零点和极点都是实数和复数，可标示在s复平面上。通常用“”表示零点，用“”表示极点，从而得到网络函数的零点、极点分布图，简称极零图,注：如遇到重零点和重极点的情况，可在代表零点和极点的符号旁注一个表示重数的数字,6.5.3网络函数与冲激响应,由网络函数的定义可得：,电路的零状态响应象函数等于网络函数与激励象函数的乘积,-1,即：网络函数就是冲激响应的象函数。 或者说网络函数的拉氏反变换就是冲激响应，,在时域分析中已经知道，冲激响应就是t 0+ 时的零输入响应

21、，反映了时域响应中自由分量的特性。现在可通过对网络函数极点的分析，来判断冲激响应的特性，进而判断电路的性质。,若网络函数为真分式且分母为单根，则电路的冲激响应为,冲激响应h(t)与H(s)的极点在s复平面上的位置有关,(1) 网络函数的极点全都在s复平面的开左半平面上，冲激响应随时间增长而趋于零，电路是渐近稳定的。,若极点中有共轭复极点，则,由于i 0 (i=1，2，n)，故,渐近稳定电路的极点与冲激响应,(2) 网络函数的极点有一个（实极点）或一对（共轭复极点）在s复平面的开右半平面上，冲激响应随时间增长而发散并趋于无穷大，电路是不稳定的。,不稳定电路的极点与冲激响应,(3) 网络函数的极点

22、全都在s复平面的闭左半平面上，且位于虚轴上的为单极点，冲激响应随时间增长趋于一恒定常数或等幅振荡，电路是临界稳定或振荡的。,在这种情况下，与虚轴上的单极点相对应，在冲激响应中将含有K1cos(1t+1)或K2，故,稳定电路的极点与冲激响应,(4) 网络函数的极点全都在s复平面的闭左半平面上，且位于虚轴上的为重极点，冲激响应将随时间增长而趋于无穷大，电路是不稳定的。,在这种情况下，与虚轴上的重极点相对应，在冲激响应中将含有(K1+K2t+)cos(1t+1) 或K1+K2t+， 故,。,另外，冲激响应衰减（或发散）的快慢和振荡的快慢也与网络函数的极点在s复平面的位置密切相关。极点越靠近虚轴，冲激

23、响应的衰减（或发散）越慢；极点越靠近实轴，冲激响应的振荡越慢。,6.6 固有频率,网络函数是和零状态响应相联系的。本节将要讨论的固有频率则是与零输入响应相联系的。固有频率反映了电路本身所具有的特性，仅由电路的拓扑结构及元件参数决定，而与输入激励和电路的状态无关。虽然网络函数和固有频率联系的对象不同，但它们彼此之间并非毫无关系。事实上，通过网络函数来确定固有频率有时更为简便。,6.6.1固有频率的定义,一、电路变量的固有频率,在线性非时变电路中，若电路变量y的零输入响应方程的特征根si（i=1，2，n）为单根,有零输入响应为,则称si为电路变量y(t)的一阶固有频率。,一般地，如果零输入响应表达

24、式为,则称si为电路变量y(t)的ri阶固有频率。,则称s1为电路变量y的四阶固有频率。,电路变量的固有频率确定了该电路变量零输入响应的性质，因而从电路变量的固有频率也可获知电路是否稳定。,（1）若电路中各电路变量的固有频率全都位于s复平面的开左半平面，则电路是渐近稳定的；,（3）若在虚轴上有高阶固有频率或在s复平面的开右半平面上有固有频率，则电路是不稳定的。,（2）若固有频率除位于s复平面的开左半平面外，有一些位于虚轴上，但位于虚轴上的这些固有频率全都是一阶的，则电路是振荡的（临界稳定的）；,二、电路的固有频率,电路中所有电路变量固有频率的集合，称电路的固有频率。,例6.6.1 在图示电路中

25、，C1=C2=C3=1F，G1=G2=1S，试求电路的固有频率。,由于电容C1，C2和C3构成回路，只有两个电容电压是独立的。,则: uC3(0)=U10U20,在零输入情况下，电路的节点矩阵方程为,解：设uC1(0)=U10，uC2(0)=U20,在零输入情况下，电路的节点矩阵方程为,电路变量uC1和uC2都有1/3和1两个固有频率。,但是,uC3只有1/3一个固有频率,6.6.2电路固有频率数,如果电路中有n个固有频率（k阶固有频率算作k个固有频率），那么就有n个待定系数Ki需要由电路的初始状态确定。从前面分析已知，组成电路初始状态的初始值为独立电容电压和独立电感电流，因此，要确定n个待定

26、系数Ki，电路中就必须有总数为n的独立电容电压和（或）独立电感电流。反之亦然。由此可得出结论:,电路固有频率数 = 电路独立储能元件数,这个数目也称为电路的复杂度,电路中影响电路状态的变量（电容电压或电感电流）的独立性问题可分无源电路和有源电路两种情况进行讨论。所谓有源电路是指含有受控源或负值RLC元件的电路，否则称无源电路。,(b)如果含有一个全电容回路，其中将有一个电容电压受其它电容电压或电压源的制约。因此，如果电路中有nC个电容元件，同时含有lC个相互独立的全电容回路，则,独立电容电压数 = nC lC,(a)如果电路中不含全电感割集（全部由电感或电感和独立电流源构成的割集），则每一个电

27、感电流都是独立的。,(b)如果含有一个全电感割集，其中将有一个电感电流受其它电感电流或电流源的制约。因此，如果电路中有nL个电感元件，同时含有qL个相互独立的全电感割集，则,独立电感电流数 = nL qL,(2) 有源电路,例6.6.2 考察图示有源电路，试确定电路固有频率的个数。,解: 由图示电路，有KVL路方程,如果 1，则有一个固有频率,解 :由图示电路，有网孔方程,例6.6.3 考察图示有源电路，试确定电路固有频率的个数。,其中:,解得:,从上两式可见，如果L1L2，则电路有两个固有频率；如果L1=L2，则只有一个固有频率，因为此时Ia(s)=Ib(s)，于是iL1=iL2=iL3，三个电感电流只有一个是独立的。,6.6.3零固有频率,如果电路的某一固有频率si = 0