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1、将军饮马问题将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题(轴对称是工具,最短距离是题 眼)。所谓轴对称是工具,即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离 是题眼,也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段 a+b 这样 的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军饮马问题,然后利用轴对称解题。 1.将军饮马故事“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目,主要转化成“两点之间线段最短问题”原题:如图,一位将军,从A地出发,骑马到河边给马饮水,然后再到B地,问怎样选择饮水的地点,才能使所走的路程最短? AB模型一:一条定直线,同侧两定点在直线l的同侧有两点A,B,在L上求一点P,使得PA+PB
2、值最小。一般做法:作点 A(B)关于直线的对称点,连接 AB,AB 与直线交点即为所求点。AB即为最短距离 。理由:A为 A 的对称点,所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=AP。所以 PA+PB=PA+PB。这样问题就化成了求 A到 B 的最短距离,直接相连就可以了。 例一:某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路,分支点为M,同时向新落成的A、B两个居民小区送电。已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米,BB1=1千米,且A1B1=4千米。(1)如果居民小区A、B位于主干线L的两旁,如图(1)所示,那么分支点M在什么地方时总路线最短?最短线路的长度是多少千米?(2
3、)如果居民小区A、B位于主干线L的同旁,如图(2)所示,那么分支点M在什么地方时总路线最短?此时分支点M与A1的距离是多少千米? A B B A A B A BLL模型二:一条定直线,一定点,一动点如图,已知直线L和定点A,在直线K上找一点M,在直线L上找一点P,使得AP+PB值最小。模型三:一定点,两条定直线如图,在OAB 内有一点 P,在 OA 和 OB 各找一个点 M、N,使得PMN 周长最短(题 眼)。 一般做法:作点 P 关于 OA 和 OB 的对称点 P1、P2。连接 P1P2。P1P2 与 OA、OB 的交点即为所求点。P1P2 即为最短周长。 理由:对称过后,PM=P1M,PN
4、=P2N。所以PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以问题就化成了求 P1 到 P2 的最短距离,直接相连就可以了。 模型四:两定点,两条定直线如图,点P,Q为MON内的两点,分别在OM,ON上做点A,B,是四边形PAQB的周长最小。练习题:1.如图,点P是AOB内一点,点M,N分别在OA,OB上运动,若AOB=30度,OP=4,则三角形周长的最小值为多少。2.如图,正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上一动点,则DN+MN的最小值是多少? ABCDMN3.如图所示,在边长为6的菱形ABCD中,DAB=600,E为AB的中点,F是ACABCDEF上一动点,则EF+BF的最小值是多少? 4
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