圆周运动中的临界问题和周期性问题

1、.圆周运动中的临界问题和周期性问题一、圆周运动问题的解题步骤：1、确定研究 象2、画出运 迹、找出 心、求半径3、分析研究 象的受力情况，画受力 4、确定向心力的来源25、由牛 第二定律fnmanm vm2 rm( 2) 2 r 列方程求解rt二、 界 常 型：1、按力的种 分 ：（1）、与 力有关的 界 ：接触面 的 力：从有到无,或从无到有 子的拉力：从无到有，从有到最大，或从有到无（2）、与摩擦力有关的 力 ：从静到 ，从 到静， 界状 下静摩擦力达到最大静摩擦2、按 道所在平面分 ：（ 1）、 直面内的 周运 （ 2）、水平面内的 周运 三、 直面内的 周运 的 界 1、 向 束之 、

2、外 道 束下的 直面内 周运 界 ：特点： 小球， 道 小球只能 生指向 心的 力mgmgoo轨道 界条件： 子或 道 小球没有力的作用：mg=mv 2/r v 临界 =rg（可理解 恰好 或恰好 不 的速度）即此 小球所受重力全部提供向心力能 最高点的条件：vrg ，当 vrg ， 球 生拉力， 道 球 生 力不能 最高点的条件：v v 临界 （ 上球 没到最高点 就脱离了 道做斜抛运 ）例 1、 子系着装有水的木桶，在 直面内做 周运 ，水的 量m=0.5kg ， 子 度 l=60cm ，求：（ g 取 10m/s2）a 、最高点水不留出的最小速度？b、 水在最高点速度 v=3m/s ，求

3、水 桶底的 力？答案：（ 1） 6m / s（ 2） 2.5n;.变式 1、如图所示，一质量为m 的小球，用长为l 细绳系住，使其在竖mg直面内作圆周运动.(1)若过小球恰好能通过最高点，则小球在最高点和最低点o的速度分别是多少？小球的受力情况分别如何？ (2) 若小球在最低点受到绳子的拉力为 10mg，则小球在最高点的速度及受到绳子的拉力是多少？2、单向约束之内轨道约束下（拱桥模型）的竖直面内圆周运动的临界问题：汽车过拱形桥时会有限速，是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度v gr 时，汽车对弧顶的压力 fn=0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥面不能对汽车产生拉力例 2、半径为 r 的光滑

4、半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，如图所示。今给小物体一个水平初速度v0rg ，则小物体将（）a. 沿球面下滑至m 点b.先沿球面下滑至某点，然后便离开斜面做斜下抛运动.按半径大于r 的新的圆弧轨道做圆周运动d.立即离开半圆球做平抛运动3、双向约束之轻杆、管道约束下的竖直面内圆周运动的临界问题物体 (如小球 )在轻杆作用下的运动，或在管道中运动时，随着速度的变化，杆或管道对其弹力发生变化这里的弹力可以是支持力，也可以是压力，即物体所受的弹力可以是双向的，与轻绳的模型不同因为绳子只能提供拉力，不能提供支持力；而杆、管道既可以提供拉力，又可以提供支持力；在管道中运动，物体速度较大时可对上壁产生

5、压力，而速度较小时可对下壁产生压力在弹力为零时即出现临界状态（一）轻杆模型如图所示，轻杆一端连一小球，在竖直面内作圆周运动(1) 能过最高点的临界条件是： v 0 这可理解为恰好转过或恰好不能转过最高点的临界条件，此时支持力nmg (2) 当 0vrg 时， 0nmg ， n 仍为支持力，且n 随 v 的增大而减小，;.(3) 当 vrg 时， n 0，此为轻杆不受弹力的临界条件(4) 当 vrg 时， n 随 v 的增大而增大，且n 为拉力指向圆心，例 3、如图所示，有一长为l 的细线，细线的一端固定在o点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的

6、c 点位于 o点正下方， 且到 o点的距离为1.9l 。不计空气阻力。(1) 求小球通过最高点a 时的速度va;(2)若小球通过最低点 b 时，细线对小球的拉力t 恰好为小球重力的6 倍，且小球经过b 点的瞬间让细线断裂，求小球落地点到c 点的距离。解：(1) 小球恰好能做完整的圆周运动，则小球通过a 点时细线的拉力刚好为零，根据向心力公式有：2m vamg=l解得 : v agl 。(2) 小球在 b 点时根据牛顿第二定律有v b2t-mg=m l其中 t=6mg解得小球在 b 点的速度大小为 vb= 5gl细线断裂后，小球从b 点开始做平抛运动，则由平抛运动的规律得:1 gt 2竖直方向上

7、 1.9l-l=2(2 分 )水平方向上 x=vbt(2 分 )解得 :x=3l(2 分 )即小球落地点到 c 点的距离为 3l。答案 :(1)gl(2)3l管道模型质点 (小球 )在光滑、 竖直面内的圆管中作圆周运动(圆管截面半径r 远小于球的圆周运动的半径r)，如图所示小球达到最高点时对管壁的压力有三种情况：(1)刚好对管壁无压力，此时重力为向心力，临界速度为vrg (2)当 vrg 时，对下管壁有压力，此时 n mgm v 2，故 0 n mg 。r;.(3) 当 vrg 时，对上管壁有压力，此时nm v 2mg 。r实际上，轻杆和管道两种约束情况可化归为同类的物理模型，即双向约束模型例

8、 4、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为r（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。 a 球的质量为 m12。， b 球的质量为m它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设 a 球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么 m1，m2，r 与 v0应满足关系式是。解：首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图4-1 所示。 a 球在圆管最低点必受向上弹力n1 ，此时两球对圆管的合力为零，m2 必受圆管向下的弹力 n 2，且 n 1=n 2。据牛顿第二定律a 球在圆管的最低点有：n1mg m1v

9、02同理 m2 在最高点有：n 2mgm2v12rr1212m2 球由最高点到最低点机械能守恒：2m2 gr2 m2v12m2v0n1n 2由上述方程可得：v0(5m2m1 ) grm2m1【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。四、水平面内圆周运动中的临界问题：解决圆周运动中临界问题的一般方法1、对物体进行受力分析2、找到其中可以变化的力以及它的临界值3、求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值4、用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、半径等）的临界值例 5、水平转盘上放有质量为m 的物快，

10、当物块到转轴的距离为r 时 ,若物块始终相对转盘静止，物块和转盘间最大静摩擦力是正压力的倍，求转盘转动的最大角速度是多o大？解：由mg m 2 rago得：r;.点评：提供的向心力的临界值决定了圆周运动角速度的临界值变式 5、物体与圆筒壁的动摩擦因数为 ，圆筒的半径为 r，若要物体不滑下，圆筒的角速度至少为多少？解：fnm2rg得fnmgr例 6、如图所示，两绳系一质量为m 0.1kg 的小球，上面绳长l 2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为 30与 45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧， 当角速度为3 rad s 时，上、下两绳拉力分别为多大？a解： 当 渐大， ac 绳与杆夹角变大，

11、但 bc 绳还没拉直。30b当 ac 绳与杆夹角为30时， bc 绳处在虚直状态。之后 再增大，45bc 绳上也会有拉力。所以bc 绳虚直为临界状态。cg1010032.4rad/so2ol cos30o3mg tan 30l sin 302m 02 0 ， bc 绳上有拉力。分析小球，由牛顿第二定律：atac cos30o tbc cos45omg30tac sin 30o tbc sin 45om2 l sin30ob3 tac2 tbc45mgtac31 n2210c1 tac2 tbc1 m 2 ltbc17 26 n22220变式 6-1：如图，长为 l 的绳子，下端连着质量为m 的

12、小球，上端接于天花板上，当把绳子拉直时，绳与竖直方向夹角=60。此时小球静止于光滑水平面上。;.g（1）当小球以l做圆锥摆运动时，绳子张力多大？桌面支持力多大？4g（2）当小球以l做圆周运动时，绳子张力多大？桌面受到的压力多大？fn1答案：（ 1）t=mgmg2fn0(2)t=4mg变式 6-2、如图所示， 一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30，一条长度为l 的绳（质量不计） ，一端的位置固定在圆锥体的顶点o 处，另一端拴着一个质量为m 的小物体（物体可看质点），物体以速率v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。1当 v6gl 时，求绳对物体的拉力；3当

13、 v2gl 时，求绳对物体的拉力。tnmg解： 物体在水平面内做匀速圆周运动，由重力g、拉力 t 、支持力n 提供向心力，当角速度很小时，物体在圆锥体上运动。t sinn cosmv2(1)l sint cosn sinmg(2)tmgn sincos由（ 2）得：mg tanv2n (tan sincos ) m代入（ 1）得：l sin由此可得，当v 增大时， n 减少。当大到一定值时，物体将离开锥面，绳与竖直方向的夹角将变大。显然当球与锥面虚接触（即n=0 ， =30 ）时的线速度值为物体的临界速度。对球分析，由牛;.t2m v02(3)2l3tmg(4)顿第二定律：2t23 mgv03

14、gl63t sinn cosmv12gl(1)v1v0l sin6t cosn sinmg(2)当，所以 n0 。nmgt cossin由（ 2）得：t (sincotcos )mg cotmv12l sin代入（ 1）得：glmv02mg cotm1mg3l sin6l331t21.03mgcotcos136mgsin232v23glv0230当，此时 n=0 ，但夹角变大，不为t sinmv2(5)l sint cosmg(6)tmgsinmv 2cosmgl sin由（ 6）得：（7），代入（ 5）得：cossin2v23gl21.5cosglgl60o 代入（ 7）得：t2mg例 7、

15、如图所示，细绳一端系着质量 m 0.6kg 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量 m 0.3kg 的物体， m 的中与圆孔距离为 0.2m ，并知 m 和水平面的最大静摩擦力为2n 。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度在什么范围m 会处于静止状态？（g 10m s2）;.53rad / s515rad / s（的范围是： 33mro即2.9 rad s 6.5 rad s）m变式 7：在以角速度匀速转动的转台上放着一质量为m 的物体，通过一条光滑的细绳，由转台中央小孔穿下，连接着一m 的物体，如图所示。设m 与转台平面间的最大静摩擦力为压力的 k 倍，且转台不转时m 不能相对转

16、台静止。求：（ 1）如果物体 m 离转台中心的距离保持 r 不变，其他条件相同，则转台转动的角速度满足什么条件，物体 m 才能随转台转动？（ 2）物体 m 随转台一起以角速度匀速转动时，物体离转台中心的最大距离和最小距离。2 30rad / sm答案：（ 1）3（2）25rad / sm例 8、 如图所示，在水平转台上放有a 、 b 两个小物块，它们距离轴心o 分别为 r a0.2m ，r b0.3m ，它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的0.4 倍，取 g10m / s2。（ 1）当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，求转台转动的角速度的范围；（ 2）要使两物块都对台

17、面发生滑动，求转台转动角度速度应满足的条件。oab010rad / s22 5rad / s答案：（ 1）3（2）;. 式 8：如 ，匀速 的水平 上，沿半径方向放置用 相 的 量均 m 的 a 、 b 两个小物 。 a 离 心的距离r1=20cm ， b 离 心的距离r2=30cm ， a 和 b 与 面 相互作用的最大静摩擦力均 重力的0.4 倍，求：（1）若 上没 力， 的角速度 足什么条件？o（2）欲使 a 、 b 与 不 生相 滑 ， 的最大角速度 多少？（3）当 a 即将滑 ， 断 ，a 、b 运 状 如何？ba230rad / s答案：（ 1） 3（ 2） 4rad/so（ 3）

18、 a 做 周运 ， b 做离心运 五、 周运 的周期性 ：利用 周运 的周期性把另一种运 （例如匀速直 运 、平抛运 ） 系起来。 周运 是一个独立的运 ，而另一个运 通常也是独立的，分 明确两个运 程，注意用 相等来 系。在 中，要注意 找两种运 之 的 系，往往是通 相等来建立 系的。同 ，要注意 周运 具有周期性，因此往往有多个答案。例 9：如 所示， 半径 r 的 垂直于 面的中心 匀速 ，其正上方h 沿 ob 方向水平抛出一个小球，要使球与 只碰一次，且落点 b ， 小球的初速度 v _， 的角速度 _。【 】小球做的是平抛运 ，在小球做平抛运 的 段 内， 做了一定角度的 周运 。

19、1解： 小球做平抛运 ，在 直方向上：h 2 gt22h 运 t grg又因 水平位移 r，所以球的速度v t r2h在 t 内， 的角度 n 2，又因 tn 2g 角速度：t 2n 2h (n 1， 2， 3 );.【 】上 中涉及 周运 和平抛运 两种不同的运 ， 两种不同运 律在解决同一 ，常常用“ ” 一物理量把两种运 系起来。 式 9-1：如 所示，小球q 在 直平面内做匀速 周运 ，当q 球 到 示位置 ，有另一小球p 在距 周最高点 h 开始自由下落.要使两球在 周最高点相碰， q球的角速度 足什么条件？【 】下落的小球p 做的是自由落体运 ，小球q 做的是 周运 ，若要想碰，必

20、 足 相等 个条件。解： 设 p 球自由落体到 周最高点的 t，由自由落体可得12h2 gt2=h求得 t=gq 球由 示位置 至最高点的 也是t，但做匀速 周运 ，周期 t，有t222ht=(4n+1) 4 (n=0 ， 1， 2， 3 )两式 立再由 t=得(4n+1)=gg所以 = 2 (4n+1)2h (n=0， 1， 2，3 )【 】由于 周运 每个周期会重复 同一个位置，故具有重复性。在做 目 ， 考 周运 的周期性六、 周运 中的 界 ：1、如 所示，水平 上放有 量 m 的物 ，当物 到 的距离 r ，r 接物 和 的 好被拉直（ 上 力 零） 。物体和 最大静摩擦力o是其下 力的倍。求： g当 角速度 1t1 。 ， 的拉力2r当 角速度 23 g ， 的拉力t2 。2r1mg答案：（ 1） 0（ 2） 2;.2、（ abd ）3、(bd);.4、在质量为m 的电动机飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到轴的距离为r ，如图所示，为了使电