函数的奇偶性(2)

1、.函数的奇偶性【学习目标】1. 理解函数的奇偶性定义；2. 会利用图象和定义判断函数的奇偶性；3. 掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤1函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=f(x)，那么 f(x)称为偶函数 .奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=-f(x)，那么 f(x)称为奇函数 .要点诠释：（ 1）奇偶性是整体性质；（ 2）x 在定义域中， 那么 -x 在定义域中吗？ - 具有奇偶性的函数， 其定义域必定是关于原点对称的；（ 3） f(-x)=f(x)的等价形式为：f(-x)=-f

2、(x)的等价形式为：f ( x)f (x)f (x)1( f ( x)0) ，0,f ( x)f ( x)f (x)0，f (x)1( f ( x)0) ；f ( x)（ 4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0 ；（ 5）若 f(x) 既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.2. 奇偶函数的图象与性质（ 1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（ 2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则

3、这个函数是偶函数.3. 用定义判断函数奇偶性的步骤（ 1）求函数 f ( x) 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（ 2）结合函数f ( x) 的定义域，化简函数f ( x) 的解析式；（ 3）求 f (x) ，可根据f ( x) 与 f (x) 之间的关系，判断函数f ( x) 的奇偶性 .若 f ( x) =- f ( x) ，则 f (x) 是奇函数；若 f ( x) = f (x) ，则 f ( x) 是偶函数；若 f ( x)f ( x) ，则 f ( x) 既不是奇函数，也不是偶函数；若

4、f ( x) f ( x) 且 f ( x) =- f ( x) ，则 f ( x) 既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法.（ 1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f ( x) 与 f ( x) 之一是否相等 .（ 2）验证法： 在判断 f ( x) 与 f ( x) 的关系时， 只需验证 f ( x)f (x) =0 及 f ( x)1是否成立即f ( x)可 .（ 3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称 .（ 4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和

5、仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（ 5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断. 在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数. 分段函数不是几个函数，而是一个函数. 因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f ( x) 与 f ( x) 的关系 . 首先要特别注意 x 与 x 的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f ( x) 与 f (x) 对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较 .要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数

6、在其对称区间a,b和 -b ， -a 上具有相同的单调性，即已知f ( x) 是奇函数，它在区间a,b上是增函数 （减函数），则 f ( x) 在区间 -b ，-a 上也是增函数 （减函数）；偶函数在其对称区间 a,b和 -b，-a 上具有相反的单调性， 即已知 f ( x) 是偶函数且在区间a,b 上是增函数 （减函数），则 f ( x) 在区间 -b，-a 上也是减函数（增函数） .【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性例 1. 判断下列函数的奇偶性：(1) f ( x) ( x1)1- x；(2)f(x)=x2-4|x|+3；1 x(3)f(x)=|x+3|-|x-3|；(4)f ( x)

7、1- x2| x；2 | -2- x2x(x0)(6)f ( x)1r)(5) f ( x)； g( x) - g ( x)( xx2x( x 0)2【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.【答案】（1）非奇非偶函数； （ 2）偶函数；（ 3）奇函数；（ 4）奇函数；（ 5）奇函数；（ 6）奇函数【解析】 (1) f(x) 的定义域为-1,1 ，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)对任意 x r，都有 -x r，且 f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则 f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(3) xr， f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=

8、-f(x)， f(x)为奇函数；.1-x 20-1x1x-1,00,1(4) q2x且x -4x+20f (x)1- x21- x22) - 2x(xf (- x)1- (-x) 21- x2- x- f (x) ， f(x) 为奇函数；x(5) xr， f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)， f(x) 为奇函数；(6)q f (-x)1 g (-x) - g-(- x)1- f (x) ， f(x)为奇函数 .2 g(- x) - g( x)2. 函数的定义域关于原点对称是【总结升华】 判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域

9、函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域， 否则就会做无用功 . 如在本例 （ 4）中若不研究定义域， 在去掉 | x2 |的绝对值符号时就十分麻烦 .举一反三：【变式 1】判断下列函数的奇偶性：(1)f ( x)3x；(2)f (x)| x 1| x 1| ；(3) f (x)2x22x ；x23x1x 22x1(x0)(4)f (x)0(x0) .x22x1 (x0)【答案】（1）奇函数；（ 2）偶函数；（ 3）非奇非偶函数； （ 4）奇函数【解析】 (1)f ( x) 的定义域是 r ，又 f ( x)3(x)3xf (x) ，f

10、 ( x) 是奇函数x)23x2(3（ 2） f (x) 的定义域是r ，又 f ( x) |x 1| |x1| | x 1| x1|f ( x) ，f ( x) 是偶函数（ 3） f ( x) ( x) 2( x) 1 x2x 1f ( x)f ( x)且 f (x)f ( x) ， f ( x) 为非奇非偶函数（ 4）任取 x0 则 -x0 ， f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取 x0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0 时， f(0)=-f(0)x r 时， f(-

11、x)=-f(x) f(x)为奇函数 .【高清课堂：函数的奇偶性356732 例 2（ 1）】【变式 2】已知 f(x) ， g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x) 为奇函数， f(x)g(x) 为偶.函数 .证明： 设 f(x)=f(x)+g(x)，g(x)=f(x) g(x) 则f(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-f(x)g(-x)=f(-x) g(-x)=-f(x) -g(x)=f(x) g(x)=g(x) f(x)+g(x) 为奇函数， f(x) g(x) 为偶函数 .【高清课堂：函数的奇偶性356732 例 2（ 2）】

12、【变式 3】设函数f ( x) 和 g(x ) 分别是 r 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（） .a f (x) +|g(x)|是偶函数 b f (x) -|g(x)|是奇函数c | f ( x) | +g(x)是偶函数 d | f ( x) |- g(x)是奇函数【答案】 a例 2. 已知函数f ( x), xr ，若对于任意实数a, b都有 f (ab)f (a)f (b) ，判断 f ( x) 的奇偶性 .【答案】奇函数【解析】因为对于任何实数a, b ，都有f (ab)f (a)f (b) ，可以令a, b 为某些特殊值，得出f ( x)f ( x) .设 a0, 则 f (

13、b)f (0) f (b) ，f (0) 0 .又设 ax, bx ，则 f (0) f ( x)f ( x) ，f (x)f ( x) ，f ( x) 是奇函数 .【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解. 在这里，由于需要判断f ( x) 与f (x) 之间的关系，因此需要先求出f (0) 的值才行 .举一反三：【 变 式 1 】已 知 函 数 f ( x), x r， 若 对 于 任 意 实 数x1 , x2 ， 都 有f (x1x2 ) f ( x1x2 )2 f ( x1 ) f (x2 ) ，判断函数f (x) 的奇偶性 .【答案】偶函数【解析 】令x10, x2x

14、, 得f ( x)f (x)2 f (0) f (x) ，令x2 0, x1 x, 得f (x)f ( x)2 f (0) f ( x)由上两式得：f ( x)f (x)f ( x)f ( x) ，即 f (x)f ( x)f ( x) 是偶函数 .类型二、函数奇偶性的应用( 求值，求解析式，与单调性结合)例 3. f(x)， g(x) 均为奇函数，h (x)af ( x)bg( x)2 在0,上的最大值为5，则 h ( x) 在（ -,2 ）上的最小值为【答案】-1【解析】考虑到 f ( x), g ( x) 均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求h ( x) 与 h ( x) 的关系h

15、( x) + h (x) = af (x) bg ( x)2af ( x)bg ( x) 2q f (x)f (x), g( x)g ( x) ，h (x) h (x)4 当 x0 时， h ( x) 4h ( x) ，而 x0 ，h ( x) 5 ，h (x)1h (x) 在 (,0) 上的最小值为 -1 【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现af ( x) bg( x) 也是奇函数， 从这个思路出发， 也可以很好地解决本题过程如下： q x 0 时， h (x) 的最大值为 5， x 0 时af ( x) bg ( x) 的最大值为3，x0时 af ( x)b

16、g ( x) 的最小值为 -3 ，x 0 时， h ( x) 的最小值为-3+2=-1 举一反三：【变式 1】已知 f(x)=x 5+ax3-bx-8，且 f(-2)=10，求 f(2).【答案】 -26【解析】法一： f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 8a-2b=-50f(2)=2 5+23 a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令 g(x)=f(x)+8易证 g(x)为奇函数 g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8 f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【总结升华】本题要

17、会对已知式进行变形，得出f(x)+8=x5+ax3-bx 为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题g(2) 便能迎刃而解 .例 4.已知 f ( x) 是定义在 r 上的奇函数，当 x0 时， f ( x)x23x 1 ，求 f ( x) 的解析式x23x1, x0,【答案】 f ( x)0, x0,x23x1, x0.【解析】 q f ( x) 是定义在 r 上的奇函数，f ( x)f ( x) ，q 当 x0 时， x0 ，f (x)f ( x)( x) 23( x)1= x2 3x 1又奇函数 f ( x) 在原点有定义，f (0) 0 x23x1, x0,f (x) 0, x0,x23x

18、1, x 0.【总结升华】若奇函数f ( x) 在 x0 处有意义，则必有f (0) 0 ，即它的图象必过原点（0， 0）举一反三：【高清课堂：函数的奇偶性356732 例 3】【变式 1】（ 1）已知偶函数f ( x) 的定义域是 r，当 x0时 f ( x)x23x 1，求 f ( x) 的解析式 .（ 2）已知奇函数g( x) 的定义域是 r，当 x0时 g( x)x22x1，求 g( x) 的解析式 .x23x1(x0)x22x 1(x0)0（ x0）【答案】（ 1） f ( x)；（ 2） g( x)x23x1(x0)x22x 1(x 0)例 5. 定义域在区间 2，2上的偶函数 g

19、(x) ，当 x 0时， g(x) 是单调递减的， 若 g(1 m) g(m)成立，求 m 的取值范围【思路点拨】根据定义域知1 m， m 1， 2，但是1 m， m 在 2， 0，0， 2的哪个区间内尚不明确， 若展开讨论， 将十分复杂， 若注意到偶函数 f (x) 的性质： f ( x)f ( x) f (| x |) ，可避免讨论【答案】 1,1 ) 2【解析】由于 g( x) 为偶函数， 所以 g(1m)g(m1) ， g(m)g(| m |) 因为 x 0 时， g( x) 是单调递减的，.| m 1| m |m22m 1 m2故 g (1 m ) g (m )g(| m 1|) g

20、 (| m |)| m1|2 ， 所 以2m1 2， 解 得| m |22m21 m12故 m 的取值范围是 1, 1) 21 m，m 转化到同一单调区间上，避免了对由于【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将单调性不同导致 1 m 与 m 大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化另外，需注意的是不要忘记定义域类型三、函数奇偶性的综合问题例 6.已知 yf ( x) 是偶函数，且在0， +）上是减函数，求函数f (1x2 ) 的单调递增区间【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减” 。【答案】 0， 1和（，1【解析】 f

21、 ( x) 是偶函数，且在0，+）上是减函数，f ( x) 在（， 0上是增函数设 u=1 x2，则函数f (1x2 ) 是函数 f (u) 与函数 u=1 x2 的复合函数当 0 x 1 时，u 是减函数，且 u 0，而 u 0 时， f (u) 是减函数，根据复合函数的性质， 可得 f (1x2 )是增函数当 x 1 时，u 是增函数，且 u0，而 u 0 时， f (u) 是增函数，根据复合函数的性质， 可得 f (1x2 )是增函数同理可得当1 x 0 或 x 1 时， f (1x2 ) 是减函数所求的递增区间为0， 1和（，1【总结升华】（ 1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两

22、类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题（ 2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错确定x 的取值范围时，必须考虑相应的u的取值范围本例中，x 1 时， u 仍是减函数，但此时u 0，不属于f (u) 的减区间，所以不能取x 1，这是应当特别注意的例 7.设 a 为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1， xr，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值 .【思路点拨】对a 进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。【答案】当a=0

23、 时，函数为偶函数；当a 0 时，函数为非奇非偶函数.当 a- 1 时， f (x) |min3 - a; a 1 时， f ( x) |min 3 a; - 1 a 1 时， f (x) |min a2 1 .242422【解析】当 a=0 时， f(x)=x 2+|x|+1 ，此时函数为偶函数；当 a 0 时， f(x)=x 2+|x-a|+1 ，为非奇非偶函数 .(1) 当 xa 时， f (x) (x1) 23- a24 a1 时，函数 f ( x)在 a，上的最小值为 f (-1)3- a,224且 f(- 1 ) f(a). 2 a1 时，函数 f (x)在 a,上单调递增，2f

24、(x)在 a,上的最小值为 f(a)=a2+1.(2) 当 xa 时， f (x) x2 - xa 1(x1)2a3124 a时，函数 f (x)在 -, a上单调递减，2f (x)在 -，a 上的最小值为f (a)a21 a1时， f ( x)在 - ，a上的最小值为f ( 1)3a，且 f ( 1)f (a).2242综上： a- 1 时， f ( x) |min3 - a; a1 时， f (x) |min3a;2424- 1a1 时， f (x) |mina21.22举一反三：【变式 1】 判断 f ( x) | xa | | x a | (ar) 的奇偶性【答案】当 a0时，函数f

25、( x) 既是奇函数，又是偶函数；当a 0时，函数 f (x) 是奇函数【解析】对a 进行分类讨论若 a0 ，则 f ( x) | x | | x | 0 q xr ， 定义域 r 关于原点对称，函数 f (x) 既是奇函数，又是偶函数当 a0 时， q f ( x) | x a | | xa | | x a | | x a | f ( x) ，f ( x) 是奇函数综上，当 a0 时，函数f ( x) 既是奇函数，又是偶函数；当 a0 时，函数f ( x) 是奇函数例 8. 对于函数f ( x) ，若存在 x0r ，使 f ( x0 )x0 成立，则称点（ x0，x0）为函数 f ( x)

26、的不动点（ 1）已知函数f (x)( ax2bx b)(a0) 有不动点（ 1，1），（ 3， 3），求 a， b 的值；（ 2）若对于任意的实数b，函数 f ( x)( ax2bxb)(a 0) 总有两个相异的不动点，求实数a 的取.值范围；（ 3）若定义在实数集r 上的奇函数g ( x) 存在（有限） n 个不动点，求证：n 必为奇数【答案】（ 1） a=1， b=3 ；（2）（ 0， 1）；（ 3）略【解析】（ 1）由已知得x=1 和 x= 3 是方程 ax2+bx b=x 的根，1b 13由违达定理aa=1， b=3b3a（ 2）由已知得： ax2+bx b=x（ a 0）有两个不相等

27、的实数根，2即 b2+(4a 2)b+1 0 对于任意的实数b 恒成立也就是函数 f (b)b2(4a 2)b1 的图象与横轴无交点又二次函数f (b) 的图象是开口向上的抛物线，从而2=(4a2) 2 4 0，即 |4a 2| 2， 0 a 1满足题意的实数a 的取值范围为（0， 1）（ 3） g( x) 是 r 上的奇函数，g(x)g(x) .令 x=0 ，得 g (0)g(0) ， g (0)0（ 0， 0）是 g(x) 的一个不动点设（ x0， x0）（x0 0）是 g( x) 的一个不动点，则 g ( x0 ) x0 又 g( x0 )g(x0 )x0 ，（ x0 ， x0）也是 g

28、(x) 的一个不动点又 x0 x0， g (x) 的非零不动点是成对出现的又（ 0， 0）也是 g( x) 的一个不动点，若g( x) 存在 n 个不动点，则n 必为奇数【总结升华】本例是一个信息迁移问题，解这类问题关键在于准确理解新定义，充分利用新定义分析解决问题本例的“不动点”实质是关于x 的方程 f ( x)x 的解的问题本例（3）的解决主要是结合奇函数关于原点的对称性从而得到有关的结论.【巩固练习】1 函数 f ( x) x1 ( x 0) 是 ( )xa奇函数b偶函数c既是奇函数又是偶函数d既不是奇函数又不是偶函数2若函数 y x2bxc 是偶函数，则有()a. b r, crb.b

29、r, c0c.b0, c0 d. b0, cr3设函数 f (x)ax32bx1，且 f (1)3, 则 f(1)等于（）a.-3 b.3c.-5d. 54若偶函数f ( x) 在,1上是增函数，则下列关系式中成立的是( )a f ( 3)f ( 1) f (2)b f ( 1)f (3 )f ( 2)22c f ( 2)f (1)f (3 )d f (2)f (3)f (1)225如果奇函数f ( x) 在区间 3,7上是增函数且最大值为5 ，那么 f (x) 在区间7, 3上是 ( )a增函数且最小值是5b增函数且最大值是5c减函数且最大值是5d减函数且最小值是56设 f (x) 是定义在

30、 r 上的一个函数，则函数f (x)f ( x)f (x) ，在 r 上一定是 ()a奇函数b偶函数c既是奇函数又是偶函数d非奇非偶函数 .7设函数 f ( x) 的图象关于y 轴对称，且f ( a) b ，则 f (a).8如果函数 f ( x)x2a 为奇函数，那么a =.x9设函数 f (x) 是定义在 r 上的奇函数，且 f(2)0， f ( x) 在 0,1 上单调递减，在 1,上单调递减，则不等式 f (x)0的解集为10若函数 f ( x)( k2) x2(k1)x3 是偶函数，则f ( x) 的递减区间是 _.11函数 f ( x) 在 r上为奇函数，且f (x)x 1, x0

31、 ，则当 x0 ， f ( x)_.12已知函数 f xx a x a a 0 ， h xx2xx0f x , h x 的奇偶2xx，试判断x0性 .13设函数f ( x) 是偶函数， 且在,0 上是增函数， 判断 f ( x) 在 0,上的单调性， 并加以证明 .14定义在 r 上的偶函数f ( x) 满足：对任意 x1, x2 0,( x1f ( x2 ) f ( x1 )成立，x2 ) ，有0x2x1试比较f ( 2), f (1), f (3) 的大小 .【巩固练习】1函数 f (x)x2| x |的图象 ()关于原点对称b关于y轴对称c关于 x 轴对称d不具有对称轴a2已知函数 f ( x)( m1) x2(m2) x(m 27m12) 为偶函数，则 m 的值是 ()a. 1 b.2c.3d.43设函数 f (x)ax32bx1，且 f ( 1)3, 则 f (1)等于（）a.-3 b.3c.-5d. 54如果奇函数f ( x) 在区间 3,7上是增函数且最大值为5，那么 f (x) 在区间 7, 3上是 ( )a增函数且最小值是5b增函数且最大值是5c减函数且最大值是5d减函数且最小值是55设 f