2015考研数学线性代数零基础入门讲义_W

1、 考研361友情提供，QQ：1003310261，网址：在线 考研数学网络课堂系列线性代数2015 考研数学线性代数零基础入门讲义 主讲：朱长龙 朱长龙：朱长龙老师是中国科学院数学研究所博士，著名考研界青年专家，具有多年考研辅导与学习策划的经验。对数学教学有着深厚的探讨和研究，特别是近年来对考研数学的实际教学， 已形成独特的教学方法和风格，学生都评价朱老师在亲切的讲解中引意出哲理，在计算的推理中开阔知识视野。 欢迎使用在线 目录 第一讲 行列式1第二讲 矩阵7第三讲 线性方程组18第一讲 行列式 【教学目的】理解行列式运算的定

2、义，掌握并会运用通过化三角形行列式和按行（列）展开定理计算简单的数值型行列式。 【教学重点】行列式的性质、行列式按行（列）展开定理 【教学难点】求行列式某行（列）的式或代数式的和 一、矩阵的概念与方阵 定义 由m n 个数aij (i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n) 排成的m 行n 列的数表 a11a12La1n a21a22La2nLLLLam1am 2 L amn称为m 行 n 列矩阵, 简称m n 矩阵. 为表示它是一个整体, 总是加一个括弧, 并用大写黑体字母表示它, 记为 a11A = a21 La12 a22LLa1n La2n L (1) am1am2Lamn

3、 这 m n 个数称为矩阵 A 的元素, aij 称为矩阵 A 的第i 行第 j 列元素. 一个 m n 矩阵 A 也可简记为 A = Amn = (aij )mn 或A = (aij ) . 特别地，当m = n 时，这个矩阵也叫n 阶方阵，简记为 An . 二、方阵的行列式运算 定义 由n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵 A 的行列式, 记作| A | 或det A.注: 方阵与行列式是两个不同的概念, n 阶方阵是n2 个数按一定方式排成的数表,而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值（实数或复数）. 1三、 n 阶行列式的定义1. 排列与逆

4、序 定义 1 由自然数1,2,L, n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个n 级排列(简称为排列)。 例如，1234 和 4312 都是 4 级排列，而 24315 是一个 5 级排列. 定义 2 在一个n 级排列(i1i2 Lit Lis Lin ) 中，若数it is ,则称数it 与is 构成一个逆序. 一个n 级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数, 记为 N(i1i2 Lin ).根据上述定义,可按如下方法计算排列的逆序数: 设在一个 n 级排列 i1i2 Lin 中,比 it (t = 1,2,L, n) 大的且排在 it 前面的数由共有 ti 个, 则ti 的逆序的个数

5、为ti , 而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数. 即 nN (i1i2 Lin ) = t1 + t2 +L+ tn = ti .i=1定义 3 逆序数为奇数的排列称为奇排列, 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 注：任何排列，每对换一次其中的两个元素，改变一次奇偶性。 【例】计算排列 32514 的逆序数. 【例】求排列n(n -1)(n -1)L321的逆序数, 并讨论其奇偶性. 2. n 阶行列式的定义 ij定义 4 由n2 个元素a (i, j = 1,2,L, n) 组成的记号 a11a12La1n a21a22La2nLLLLan1an2Lann12n称为n 阶行

6、列式, 其中横排称为行, 竖排称为列, 它表示所有取自不同行、不同列的n 个元素乘积 a1 j a2 j Lanj 的代数和, 各项的符号是: 当该项各元素的行标按自然顺序排列后, 若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号; 是奇排列则取负号. 即 2a11 a21Lan1a12 a22Lan 2La1nLa2n =LLLann(-1) N ( j j L j ) aaLa1 2n1 j1 2 j2njnj1 j2 L jn其 中 j1 j2L jn表示对所有 n 级排列 j1 j2 L jn 求和. 行列式有时也简记为 det (aij ) 或| aij | ，这 1里数aij称为行列式的元素

7、，称 (-1) N ( j1 j2L jn ) a1 j a2 j2 Lanjn 为行列式的一般项. 注: (1) n 阶行列式是 n! 项的代数和, 且冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素本身所带的符号)各占一半; (2) a aLa的符号为(-1)N ( j1 j2L jn ) (不算元素本身所带的符号); 1 j1 2 j2njn(3) 一阶行列式 | a |= a, 不要与绝对值记号相混淆. 【例 1】计算下列行列式 a11a12a13（1） a11a21a12 a22（2） a21a311a22 a3223a23 a33【例 2】计算三阶行列式 405- 106l1【例 3】证明n

8、阶行列式 l1l 2= llLl ， O1 2nlnl2= (-1)Nlnn(n-1)2 l1l2 Lln ，其余未写出的元素都是0 . 【例 4】计算上三角形行列式 a110L0a12 a22L0La1nLa2n .LLLann3123x - 212x31x23x12x3【例 5】 f (x) =四、行列式的基本性质 ，问 f (x) 中 x4的系数是多少？ 性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即 D = DT .性质 2 交换行列式的两行(列),行列式变号. （1） 互换奇数次，变号；互换偶数次不变。 （2） 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。性质 3 行列式的某一行（列

9、）中所有元素的公因子可外提。 （1） 如果行列式有一行（列）为零，则行列式等于零。 （2） 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零 性质 4若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如, a11La12LLa1nLLD = bi1 + ci1bi 2 + ci 2 L bin + cinaLLLLan1则 an2. Lnna11LD = bi1Lan1a12Lbi2Lan2L a1nLLLbinLLL anna11L+ ci1Lan1a12Lci2Lan2L a1nLLLcinLLL ann= D1 + D2 . 性质 5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数 k 后加到另

10、一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变. 注: 以数 k 乘第 j 行加到第i 行上,记作 ri + krj ; 以数 k 乘第 j 列加到第i 列上，记作 ci + kcj . 【例 1】将下列行列式化为上三角行列式，并计算。 4（1）1101 （2）12131210353202232310231-1- 30-15a11a1k00ak1akk00ccbb111k111ncn1cnkbn1bnn【例 2】证明： D =，则 D = D1D2 ， D1 = det(aij ) =a11a1kak1akk， D2 =det(bij ) =b11b1n. bn1bnn五、行列式按行（列）展开定理

11、ij定义 在 n 阶行列式 D 中,去掉元素 aij 所在的第i 行和第 j 列后,余下的n -1 阶行列式, 称为 D 中元素aij 的式, 记为 M ij , 再记 Aij= (-1)i+ j M称 Aij 为元素aij 的代数式. a1100a21【例】证明：（1） a22a2n= a A，其中 A 为a 的代数式. 11 111111an1an 2ann（2） 一个 n 阶行列式 D , 若其中第 i 行所有元素除aij 外都为零，则该行列式等于aij 与它的代数式的乘积，即 D = aij Aij定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数式乘积之和, 即 D = ai1A

12、i1 + ai2 Ai2 +L+ ain Ain(i = 1,2,L, n),或D = a1 j A1j + a2 j A2 j +L+ anj Anj( j =1,2,L, n).推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数式乘积之和等于 5 考研361友情提供，QQ：1003310261，网址：在线 考研数学网络课堂系列线性代数零,即 ai1 Aj1 + ai2 Aj 2 +L+ ain Ajn = 0,i j,或a1i A1j + a2i A2 j +L+ ani Anj = 0,i j.【例 1】用行列

13、式按行（列）展开定理计算下列行列式。 1101231-123101213121035320223（1） 3- 521110- 5-123- 41-13- 3【例 2】设 D =（2）- 30-15, D 中元素aij 的式和代数式依次记作 M ij 和 Aij , 求 A11 + A12 + A13 + A14 及 M11 + M 21 + M 31 + M 41 . 6第二讲 矩阵 【教学目的】掌握矩阵的线性运算，会计算矩阵的乘法及方阵的行列式，理解矩阵的初等变换， 会通过矩阵的初等变换求逆矩阵。 【教学重点】矩阵的初等变换、逆矩阵 【教学难点】伴随矩阵 一、几类特殊矩阵与行（列）向量 所有

14、元素均为零的矩阵称为零矩阵, 记为0 . 如果两个矩阵具有相同的行数与相同的列数，则称这两个矩阵为同型矩阵. 定义 如果矩阵 A, B 同型矩阵, 且对应元素均相等, 则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记为 A = B . 只有一行的矩阵 A = (a1 a2 Lan )称为行矩阵或行向量. 为避免元素间的混淆，行矩阵也记作 A = (a1 , a2 ,L, an )只有一列的矩阵 b1 B = b2 M 称为列矩阵或列向量. n 阶方阵 bm l0L0 10l2L0L LL L 0称为n 阶对角矩阵,对角矩阵也记为 0L ln n 阶方阵 A = diag (l1, l2 ,L, ln ) .

15、 7 10L0 01L0 L 0L0LL1 称为n 阶单位矩阵, n 阶单位矩阵也记为 E = En （ 或 I = In ） 当一个 n 阶对角矩阵 A 的对角元素全部相等且等于某一数 a 时，称 A 为n 阶数量矩阵, 即 a0L 0A =aL0 0 . L L L L 00La 行列式| A | 的各个元素的代数式 Aij 所构成的矩阵 A11A* = A12A21 LA22LAn1 A n2 . LLLL AALA 1n2nnn 称为矩阵 A 的伴随矩阵. 二、矩阵的运算 1. 矩阵的线性运算 定义 1 设有两个m n 矩阵 A = (aij ) 和 B = (bij ) ,矩阵 A

16、与 B 的和记作 A + B , 规定为 a11 + b11a12 + b12La1n + b1n a + ba+ bLa+ bA + B = (aij + b )= 212122222n2n .ij nmLLLL a+ ba+ bL a+ b m1m1m2m2mnmn 注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和, 即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵. 设矩阵 A = (aij ), 记 称- A 为矩阵 A 的负矩阵, 显然有 8- A = (-aij ) , 由此规定矩阵的减法为 A + (-A) = O . A - B = A + (-B) . 定义 2

17、 数k 与矩阵 A 的乘积记作kA 或 Ak , 规定为 21 ka11kA = Ak = (ka ) =ka12 ka22Lka1n ka2n ij LLL . kakaL kam1m2mn 数与矩阵的乘积运算称为数乘运算. 矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律: 设 A, B, C, O 都是同型矩阵, k , l 是常数, 则 (1) A + B = B + A;(2) (A + B) + C = A + (B + C) ; (3) A + O = A;(4) A + (-A) = O;(5) 1A = A;(6) k(l)A =(klA);(7) (

18、k + l)A = kA+ lA;(8) k(A + B) = kA+ kB.注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算. 2. 矩阵的乘法 定 义 设 A) a11a 2s=a12 a2sLa1s a2s B = (b ) b11b 21=b12 b22Lb1n Lb2n = (aij m s LL,ij s nL LL.L am1am2Lams bs1bs 2Lbsn 矩阵 A 与矩阵 B 的乘积记作 AB , 规定为 c11c12Lc1n cLc AB = (c ) 21=c222n Lij m n LL, cm1cm2L cmn 9s其中 cij = ai1b1 j + ai

19、2b2 j +L+ aisbsj = aik bkj ，( i =1,2,L, m; j =1,2,L, n).k =1记号 AB 常读作 A 左乘 B 或 B 右乘 A . 注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算. 若C = AB ，则矩阵C 的元素cij 即为矩阵 A 的第i 行元素与矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积的和. 即 b1 j b C = (a , a ,L, a )2 j = a b+ a b+L + a b . iji1i 2is M i1 1 ji 2 2 jis sj b sj 矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的): （1

20、） (AB)C = A(BC);（2） (A + B)C = AC + BC;（3） C(A + B) = CA + CB;（4） k(AB) = (kA)B = A(kB).注: 矩阵的乘法一般不满换律, 即 AB BA;- 24 24 例如, 设 A = 1- 2, B = - 3 - 6, 则 - 24 24 = - 16 -32 ,AB = 1- 2 - 3 - 6816 24 - 24 0 0- 3而BA = - 61- 2 = 0 0,于 是 AB BA; 且 BA = O从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从 AB = O 必然推出 A = O 或 B =

21、 O.此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从 AC = BC 必然推出 A = B.例如, 设 1 2 1 0 1 1A = 03, B = 0 4, C = 0 0 , 1 2 1 1 1 1 1 0 1 1则AC = = = = BC, 0 3 0 0 0 0 0 4 0 010但 A B.定义 如果两矩阵相乘, 有 AB = BA,则称矩阵 A 与矩阵 B 可交换.简称 A 与 B 可换. 注：对于单位矩阵 E , 容易证明 Em Amn = Amn , Amn En = Amn .或简写成 EA = AE = A.可见单位矩阵 E 在矩阵的乘法中的作用类似于数 1. 更进一步我们

22、有 命题 1 设 B 是一个n 阶矩阵，则 B 是一个数量矩阵的充分必要条件是 B 与任何n 阶矩 阵 A 可换. 命题 2 设 A, B 均为n 阶矩阵，则下列命题等价: （1） AB = BA;（2） (A + B)2 = A2 + 2AB + B2（3） (A - B)2 = A2 - 2AB + B2（4） (A + B)(A - B) = (A - B)(A + B) = A2 - B2 10 12301【例 1】 A = , B = ，计算 AB a1 【例 2】设 A, B 分别是n 1和1 n 矩阵，且 A = a2 ，B = (b ,b ,b ) ，计算 AB 和 BA 12

23、n【例 3】证明： AA* = A* A = A E3. 线性方程组的矩阵表示设有线性方程组 an n.其中， A* 为 A 的伴随矩阵. 11a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn = b1, x + a xa21 122 2LL+L+ a2n xn = b2,(1)am1x1 + am2 x2 +L+ amnxn = bm ,若记 a11a12La1n x1 b1 xA = a21a22La2n X = x ,b = b , LL, 2 2 b aaa L L LL m1m2mn n m 则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式： AX = b(2) 其中矩阵 A 称

24、为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程. 如果 x j = c j ( j = 1,2,L, n) 是方程组(1)的解, 记列矩阵 c1 c C = 2 ,L cn 则 Ah = b ， 这时也称C 是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵C 是矩阵方程(2)的解, 即有矩阵等式AC = b 成立, 则 x = h, 即 xj = c j ( j = 1,2,L, n) 也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为 Ax = 0.将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方

25、程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利. 4. 矩阵的转置 定义 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为 A 的转置矩阵, 记作 AT (或 A ). 即若 12 a11A = a21 La12 a22LLa1n La2n L, am1am2L amn 则 a11A =T a12 La21 a22LLam1 Lam2 .L aaL a 1n2nmn 矩阵的转置满足以下运算规律(假设运算都是可行的): (1) ( AT )T = A;(2) ( A + B)T = AT + BT ;(3) (kA)T = kAT ;(4)( (AB)T = BT AT .4

26、 aaa ) 11121naaa定义 设 A =21222n 是一个n 阶矩阵，如果 AT = A ，即 aaa n1n 2nn aij = a ji (i, j =1, 2, n) ，则称 A 为对称矩阵； 5. 方阵的幂 定义 设方阵 A = (aij )nn , 规定 A0 = E,647k个48Ak = A A L A,k为自然数.Ak 称为 A 的 k 次幂. 方阵的幂满足以下运算规律（假设运算都是可行的）： (1) Am An = Am+n(m, n为非负整数);(2) (Am )n = Amn.注: 一般地, (AB)m Am Bm , m 为自然数 13方阵的多项式 kk -1

27、10设 f (x) = a xk + axk -1 + a x +a 是 x 的k 次多项式， A 是n 阶矩阵，则 f ( A) = a Ak + aAk -1 + a A + a E ，称为矩阵 A 的k 次多项式(注意常数项应变为 kk -110 na0 En ). 【例】a = (1,2,1)T ， b = (2, -1,2)T ， A = ab T ，求 A101 . 6. 方阵乘积的行列式 定义 由n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵 A 的行列式, 记作| A | 或det A.注: 方阵与行列式是两个不同的概念, n 阶方阵是n2 个数按一定方式排

28、成的数表,而n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值（实数或复数）. 方阵 A 的行列式| A | 满足以下运算规律(设 A, B 为n 阶方阵, k 为常数): (1) | AT |=| A | (行列式性质1);(2) | kA |= kn | A |;(3) | AB |=| A | B | . 进一步 A B = AB = B A【例 1】设 A 为n 阶方阵，证明 A* = 210 n-1 A.【例 2】设 A = 120 ，矩阵 B 满足 ABA* = 2BA* + E ，则 B 001 三、逆矩阵 1. 逆矩阵的概念 在数的运算中, 对于数a 0, 总存在唯一一个数

29、a-1 ,使得 a a-1 = a-1 a = 1.数的逆在解方程中起着重要作用，例如，解一元线性方程 ax = b当 a 0 时，其解为 14= x = a -1b对一个矩阵 A ，是否也存在类似的运算？在回答这个问题之前，我们先引入可逆矩阵与逆矩阵的概念. 定义 1 对于n 阶矩阵 A ,如果存在一个n 阶矩阵 B ,使得 AB = BA = E,则称矩阵 A 为可逆矩阵,而矩阵 B 称为 A 的逆矩阵. 命题 若矩阵 A 是可逆的, 则 A 的逆矩阵是唯一的. 定义 2 如果n 阶矩阵 A 的行列式| A | 0 ,则称 A 为非奇导的,否则称为奇异的. 2. 伴随矩阵及其与逆矩阵的关系

30、 定理 1 n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是其行列式| A | 0 . 且当 A 可逆时, 有 A-1 = 1 A*,| A |其中 A* 为 A 的伴随矩阵. 3. 逆矩阵的运算性质 (1) 若矩阵 A 可逆, 则 A-1 也可逆, 且( A-1 )-1 = A;(2) 若矩阵 A 可逆,数k 0, 则 (kA)-1 = 1 A-1 ; k(3) 两个同阶矩阵可逆矩阵 A , B 的乘积是可逆矩阵, 且 (AB)-1 = B-1 A-1;(4) 若矩阵 A 可逆, 则 AT 也可逆, 且有 ( AT )-1 = ( A-1 )T ;(5) 若矩阵 A 可逆, 则| A-1 |=| A |

31、-1 . 【例 1】设矩阵 A 满足 A2 + A - 5E = O ,其中 E 为单位矩阵，则( A + 2E )-1 = ab -1【例 2】求二阶矩阵 A = c 的逆矩阵 A . d 四、初等变换与初等矩阵 1. 初等变换的定义 15用消元法解线性方程组，其消元步骤是对增广矩阵进行 3 类行变换，推广到一般，即 (1) kri 或 kci , k 0 ； (2) ri + krj 或ci + kcj ； (3) ri rj , ci cj . 注：i）用初等变换求解线性方程组时，只能用行变换； ii）初等变换均可逆； 2. 初等矩阵 （1） 定义 将单位矩阵做一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵。 初等倍乘矩阵Ei (c) = diag(1,1,c,1,1) ， Ei (c) 是由单位矩阵第 i 行( 或列) 乘 c ( c 0 )而得到的； 11 i行 ij初等倍加矩阵 E (c) = c1 j行 1Eij (c) 是由单位矩阵第i 行乘c 加到第 j 行而得到的，或由第 j 列乘c 加到第i 列而得到的； 1011 i行 初等对换矩阵 E = ij110Eij 是由单位矩阵第i, j 行(或列)对换而得到的. （2） 初等矩阵的作用 16 j行 1对 A 实施一次初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵 如： a11a12