高中数学 第二章 统计 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布学案（含解析）新人教A版必修

1、22.1用样本的频率分布估计总体分布频率分布表及频率分布直方图提出问题美国历届总统中，就任时年纪最小的是西奥多罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是特朗普，他于2017年就任，当时70岁，下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2017年的特朗普，共45任)给出了历届美国总统就任时的年龄：57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48,70问题1：上述45个数

2、据中最大值与最小值的差是多少？提示：704228.问题2：若将上述数据分成下列几组：41.5,46.5)，46.5,51.5)，51.5,56.5)，56.5,61.5)，61.5,66.5)，66.5,71.5)各组中数据个数分别是多少？提示：各组数据的个数分别为4,11,14,9,4,3.问题3：我们初中学过的频数分布图和频数分布表能清楚地知道数据分布在各个小组的个数，那么如何刻画各个小组数据在样本容量中所占的比例大小呢？提示：利用频率分布表和频率分布直方图导入新知1用样本估计总体的两种情况(1)用样本的频率分布估计总体分布(2)用样本的数字特征估计总体数字特征2频率分布直方图的画法3频率

3、分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到了频率分布折线图(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数也在增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它反映了总体在各个范围内取值的百分比化解疑难四种图表的区别与联系名称区别频率分布表从数量上比较准确地反映样本的频率分布规律频率分布直方图反映样本的频率分布情况频率分布折线图直观地反映了数据的变化趋势总体密度曲线虽客观存在，但要准确画出难度较大，只能用样本频率分布估计样本容量越大，估计越准确这四种图表都是描述样本数据分布情况，估计总体频率

4、分布规律的，其联系如下：茎叶图提出问题甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩(单位：分)如下：甲组：76 90 84 86 81 87 86 82 85 83；乙组：82 84 85 89 79 80 91 89 79 74；问题1：从甲、乙两组得分情况能否得出甲、乙两组哪组的成绩更整齐？提示：能甲组的成绩更整齐问题2：上述两组数据能否用图形直观地分析？提示：能导入新知茎叶图的概念茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数茎叶图可用来分析单组数据，也可以对两组数据进行比较茎叶图不仅能够保留原始数据，而且能够展示数据的分布情况化解疑难对茎叶图的理解茎叶图又称“枝叶图”，它的思路是将数

5、组中的数按位数进行比较，将高位数字作为一个主干(茎)，将低位数字作为分枝(叶)，列在主干的一侧，这样就可以清楚地看到每个主干后面有几个数，每个数具体是多少例如，上例中甲、乙两个小组的英语口语测试成绩可用茎叶图表示为：它的中间部分像一棵植物的茎，两边部分像这棵植物茎上生长出来的叶子列频率分布表、画频率分布直方图例1考察某校高二年级男生的身高，随机抽取40名高二男生，实测身高数据(单位：cm)如下：171 163 163 166 166 168 168 160 168 165171 169 167 169 151 168 170 160 168 174165 168 174 159 167 156

6、 157 164 169 180176 157 162 161 158 164 163 163 167 161(1)作出频率分布表；(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图解(1)最低身高151，最高身高180，它们的极差为18015129.确定组距为3，组数为10，列表如下：分组频数频率150.5,153.5)10.025153.5,156.5)10.025156.5,159.5)40.1159.5,162.5)50.125162.5,165.5)80.2165.5,168.5)110.275168.5,171.5)60.15171.5,174.5)20.05174.5,177.5)10.0

7、25177.5,180.5)10.025合计401(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示类题通法绘制频率分布直方图应注意的问题(1)在绘制出频率分布表后，画频率分布直方图的关键就是确定小矩形的高一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度是不一致的，合理的定高方法是“以一个恰当的单位长度”(没有统一规定)，然后以各组的“”所占的比例来定高如我们预先设定以“”为1个单位长度，代表“0.1”，则若一个组的为0.2，则该小矩形的高就是“”(占两个单位长度)，如此类推(2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30100个左右时，应分成512组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面

8、积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和为1.活学活用有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：20，15)，7；15，10)，11；10，5)，15；5,0)，40；0,5)，49；5,10)，41；10,15)，20；15,20，17.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；(3)求样本数据不足0的频率解：(1)频率分布表如下：分组频数频率20，15)70.03515，10)110.05510，5)150.0755,0)400.20,5)490.2455,10)410.20510,15)200.115,2017

9、0.085合计2001.00(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示：(3)样本数据不足0的频率为：00350.0550.0750.20.365.频率分布直方图的应用例2(1)某班50名学生在一次百米跑测试中，成绩全部介于13 s与19 s之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13 s且小于14 s；第二组，成绩大于等于14 s且小于15 s；第六组，成绩大于等于18 s且小于等于19 s，如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图设成绩小于17 s的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15 s且小于17 s的学生人数为y，则从频率分布直方图(如图所示)中分析

10、出x和y分别为()A0.9,35B0.9,45C0.1,35 D0.1,45(2)为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形的面积之比为24171593，第二小组的频数为12.第二小组的频率是多少？样本容量是多少？若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？解(1)选A由频率分布直方图知x0.340.360.180.020.9，0.360.340.7，y35.(2)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此第二小组的频率为0.08.又

11、因为第二小组的频率，所以样本容量150.由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为100%88%.类题通法频率分布直方图的意义(1)频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各组内的频率大小(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.(3)样本容量活学活用(山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5,30，样本数据分组为17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A56 B60C120 D140解

12、析：选D由频率分布直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04)2.50.7，故每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140.故选D.茎 叶 图例3(1)甲、乙两个班级各随机选出15名同学进行测验，成绩的茎叶图如图所示(单位：分)，则甲班、乙班的最高成绩分别是_，从图中看，_班的平均成绩较高.(2)某中学高一(2)班甲、乙两名同学自入高中以来每场数学考试成绩情况如下：甲同学得分：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110；乙同学得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101,107.画出两人数

13、学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较解(1)由茎叶图知甲班的最高成绩为96分，乙班的最高成绩为92分，再根据茎叶图的分布特点知，乙班的成绩分布集中在下面，故乙班的平均成绩较高(2)甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示.从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是98；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是87，因此乙同学发挥较稳定，总体得分情况比甲同学好答案：(1)96,92乙类题通法画茎叶图的步骤第一步，将数据分为“茎”(高位)和“叶”(低位)两部分；第二步，将表示“茎”的数字按大小顺序由上到下排成一列；第三步，将各个数据的“叶”按次序写在其茎的左

14、、右两侧活学活用如图是2017年某大学校园歌手大奖赛中七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(图中m为数字09中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有()A.a1a2Ba2a1Ca1a2Da1，a2的大小与m的值有关解析：选B根据茎叶图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，甲的平均分为a18084，乙的平均分为a28085，故a2a1.典例如图所示是某公司(共有员工300人)2017年员工年薪情况的频率分布直方图，由此可知，员工中年薪在10万元12万元之间的共有_人解析由所给图形，可知员工中年薪在10万元12万元之间的频率为1(0.020

15、.080.080.100.10)20.24，所以员工中年薪在10万元12万元之间的共有3000.2472(人)故填72.答案72易错防范解本题容易出现的错误是审题不细，对所给图形观察不细心，认为员工中年薪在10万元12万元之间的频率为1(0.020.080.10)20.60，从而得到员工中年薪在10万元12万元之间的共有3001(0.020.080.10)2180(人)的错误答案 成功破障某校高一(2)班共有64名学生，下图是该班某次数学考试成绩的频率分布直方图，根据该图可知，成绩在110120分之间的同学人数大约为()A10B11C13 D16解析：选C通过直方图可知，成绩在110120分的

16、频率是0.2，所以分数在110120分之间的同学大约有640.212.813(人)随堂即时演练1某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示数据的分组依次为：20,40)，40,60)，60,80)，80,100若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A45B50C55 D60解析：选B20,40)内的频率为0.005200.1；40,60)内的频率为0.01200.2；低于60分的频率为0.10.20.3，总人数为50.2如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据图可知()A.甲运动员的成绩好于乙运动员B乙运动员的成绩好于甲运动员C甲、乙两名运动员的成绩没有明显

17、的差异D甲运动员的最低得分为0分解析：选A由茎叶图可以看出甲的成绩都集中在3050分，且高分较多；而乙的成绩只有一个高分52分，其他成绩比较低，故甲运动员的成绩好于乙运动员的成绩3如图是一个班的语文成绩的茎叶图(单位：分)，则优秀率(90分以上)是_，最低分是_.解析：由茎叶图知，样本容量为25,90分以上的有1人，故优秀率为4%，最低分为51分答案：4%514某地为了了解该地区10 000户家庭的用电情况，采用分层抽样的方法抽取了500户家庭的月平均用电量，并根据这500户家庭的月平均用电量画出频率分布直方图如图所示，则该地区10 000户家庭中月平均用电度数在70,80)的家庭有_户解析：

18、根据频率分布直方图得该地区10 000户家庭中月平均用电度数在70,80)的家庭有10 0000.012101 200(户)答案：1 2005随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位：cm)，按照区间160,165)，165,170)，170,175)，175,180)，180,185分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示(1)求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm以上的学生人数；(2)将身高在170,175)，175,180)，180,185区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数解：(1)由频率分布直方图可知5(0

19、.010.020.04x0.07)1，解之得x0.06.身高在170 cm以上的学生人数为100(0.0650.0450.025)60(人)(2)A组人数为1000.06530(人)，B组人数为1000.04520(人)，C组人数为1000.02510(人)，由题意可知抽样比k，故应从A，B，C三组中分别抽取303(人)，202(人)，101(人)课时达标检测一、选择题1一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.125，则该组样本的频数为()A2B4C6 D8答案：B2学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查结果显示这些同学的支出都在10,50(单位：元)之间，其中支

20、出在10,30)(单位：元)之间的同学有33人，其频率分布直方图如图所示，则支出在40,50(单位：元)之间的同学人数是()A100 B120C30 D300答案：C3为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图据此可估计该校上学期400名教师中，使用多媒体进行教学次数在16,30)内的人数为()A.100 B160C200 D280答案：B4某校100名学生的数学测试成绩频率分布直方图如图所示，分数不低于a即为优秀，如果优秀的人数为20人，则a的估计值是()A130 B140

21、C133 D137答案：C5为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10 000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000位居民中再用分层抽样抽出100位居民做进一步调查，则在2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是()A25 B30C50 D75答案：A二、填空题6下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，若乙的平均分是89，则污损的数字是_.解析：设污损的叶对应的成绩是x，由茎叶图可得895838387x99，所以x93，故污损的数字是3.答案：37如图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图形中的数据填空(1)样本数据落在范围6,10)内的频率为_；(2)样本数据落在范围10,14)内的频数为_解析：(1)样本数据落在范围6,10)内的频率为00840.32.(2)样本数据落在范围10,14)内的频数