数学史复习整理

1、精选文档数学史是研究数学的产生、发展过程和发展规律的学科。数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。数学史的特点：1、数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识.2、与抽象性相联系的数学的另一个特点是在对宇宙世界和人类社会的探索追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向。 3、数学作为一种创造性活动，还具有艺术的特征，这就是对美的追求。学习数学史的意义：1、树立正确的世界观和数学观 2、丰富数学专业必备的知识 3、把握数学科学发展的规律 4、当代数学教育的需要为什么要从历史的角度谈谈“什么是数学史”数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化，给数学下一个一劳永逸的定义是不

2、可能的。公元前6世纪前，数学主要是关于“数”的研究。亚里士多德：数学是量的科学。公元前6世纪开始，希腊数学的兴起，突出了对“形”的研究。公元前6世纪17世纪，数学数学主要是关于数和形的研究。笛卡尔：数学是以研究顺序和度量为目的的学科。17世纪数学主要是关于“数、形、运动和变化”的研究。恩格斯：数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的学科。19世纪后期开始，数学成为研究数与形、运动与变化，以及研究数学自身的学问。20世纪80年代开始，美国学者把数学定义为“模式”的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。三次数学危机：第一次数学危机：（无理数悖论，希帕索斯悖论

3、） 直觉和经验并不可靠，推理证明才是可靠的。 第二次数学危机：（无穷小量悖论，贝克莱悖论）重建微积分基础：极限理论和实数论。第三次数学危机（集合悖论，罗素悖论）公理化集合论，对数学基础的研究。三种常见的早期计数方法：手指计数、刻痕计数、结绳计数。除了巴比伦楔形数字采用六十进制、玛雅数字采用二十进制外，其他均属十进制数。几何学的希腊文意为测地中国最早的数学经典周髀算经事实上是一部讨论西周初年天文测量中所用数学方法（测日法）的著作。古埃及人在一种纸莎（suo）草压制成的草片上书写：莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。埃及人很早及发明了象形文字记号，这是一种以十进制为基础的系统，但却没有位值的概念。单位分数

4、的广泛使用成为埃及数学一个重要而有趣的特色。古巴比伦的普林顿322泥书上记录了勾股数。（毕达哥拉斯数）向理论数学的过渡，是大约公元前6世纪在地中海沿岸开始的，那是一个崭新的、更加开放的文明历史学家成称“海洋文明”，带来了初等数学的第一个黄金时代以论证几何为主的希腊数学时代。把零作为数引入运算，这是印度人的伟大贡献。用符号“0”表示零是印度的重要发明。超越数：和e。最早的希腊数学家是泰勒斯。他领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题证明的先河。（1） 圆的直径将圆分为两个相等的部分。（2） 等腰三角形的两底角相等。（3） 两相交直线形成的对顶角相等。（4） 两个三角形，有两个角和一条边对应相等则全等。

5、（5） 内接于半圆的角必是直角。泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名。“哲学”和“数学”这两个词是毕达哥拉斯本人所创。毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这里的数仅指整数。普鲁塔克的面积剖析法证明勾股定理。P36毕达哥拉斯学派另一项几何成就是正多面体作图。其中正四面体、正六面体、正八面体归功于毕达哥拉斯学派，正十二面体、正二十面体归功于蒂奥泰德。正五边形的作图与著名的“黄金分割”问题有关。整体与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比，这就是所谓的“黄金分割”。三大几何问题：（1）化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。 （2）倍立方体，即作一立方体，使其面积等于已知立方体的两倍。

6、（3）三等分角，即分任意角为三等分。这三大问题实际上是不可解的。安提丰是古希腊“穷竭法”的始祖。芝诺四个著名的悖论：（1）两分法 （2）阿基里斯（3）飞箭（4）运动场亚里士多德的哲学思想及对数学的贡献：(1） 提出了物质第一性的认识论(2） 创立了逻辑学，为数学的理论建构奠定了基础。提出了思维的三条规律：同一律、矛盾律、排中律。 提出了几种思维基本形式：概念、判断、推理。特别提出了作为严格推理形式的演绎三段论，为推理的规范化科学化奠定了基础。据载，亚里士多德的逻辑学一直到19世纪无人能挑出它的毛病。 (3） 确定了数学中的公理化方法将概念分为了不经定义的(基本)概念，和在此基础上定义的(派生)

7、概念两类。亚里士多德把数学命题也分为两类，基本原理和定理(引申出来的命题)。他不把基本原理看作是“明显的、无须证明的、大家公认的命题”，而是“无法论证的知识原理”。他把基本原理分为公理和公设，把公理作为一切科学公有的真理，而把公设作为某一门学科的第一性原理。并认为基本原理的数目应尽可能地少(不妨碍推出所有结论)。亚里士多德的形式逻辑被后人奉为演绎推理的圣经，在当时，则为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础。欧几里得的原本公设：1、假定从任意一点到任意一点可作一直线。 2、一条有限直线可无限延长。3、以任意中心和直径可以画圆。4、凡直角都彼此相等。5、若一直线落在两直线上所构成的同旁内角

8、和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。公理：1、等于同量的量彼此相等。2、等量加等量，和相等。3、等量减等量，差相等。4、彼此重合的图形是全等的。5、整体大于部分。毕达哥拉斯的证明是用面积来证明勾股定理的。P48欧几里得原本评价：是数学史上的第一座理论丰碑，它最大的功绩是在于数学中演绎范式的确立，这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已经建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理公设或公理。这就是后来所谓的公理化思想。缺点：主要在于其逻辑结构不够严密和完整。反映在两个方面：一是对某些概念的定

9、义和运用不当，二是公设和公理不完善。还有一类缺点是对一些需要分类讨论的命题只用特例或所给图形的特定位置作了论证。阿基米德将穷竭法应用于圆的周长和面积公式。阿波罗尼斯第一次象现在这样，依靠改变截面的角度，从一个正圆锥或斜圆锥上得到三种圆锥曲线。双曲线有两支也是他首先发现的。海伦的三角形面积公式：托勒玫定理：圆内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两对对边长乘积之和。丢番图：代数之父。不定方程又称丢番图方程。费马大定理：对于任意大于2的自然数n，不存在正整数x,y,z,满足xnyn=zn。丢番图算术的另一重要贡献是创用了一套缩写符号。亚历山大女数学家希帕蒂娅是历史上第一位杰出的女数学家。与希腊数学相

10、比，中世纪的东方数学表现出强烈的算法精神，特别是中国与印度数学，着重算法的概括，不讲究命题的形式推导。所谓“算法”，不只是单纯的计算，而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带一般性的计算方法。东方数学在文艺复兴以前通过阿拉伯人传播到欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕育了近代数学的诞生。中国古代用算筹进行计算，称作“筹算”。纵式“个、百、万”，横式“十、十万千”春秋战国时期：九九乘法口诀表家喻户晓，是从“九九八十一” 开始的。墨经中记载的几何概念平行：“平，同高也”直线：“直，参也”点：“端，体之无厚而最前者也”线段：“同长，以正相尽也”重合：“正相尽”体积：“厚，有所大也”圆：“圜，一中

11、同长也” 正方形：“方，柱隅四杂也”周髀算经主要成就是分数运算、勾股定理（最为突出）及其在天文测量中的应用。九章算术出现标志中国古代数学形成了完整的体系，是中国古代第一部数学专著 。九章算术采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章。依次为：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。九章算术的数学成就：(1) 算术方面：分数四则运算法则，比例算法，盈不足数。(2)代数方面：方程术，正负术，开方术。(3)几何方面：各种平面图形的面积、多面体体积公式， 给出了“以盈补虚”的方法，体现了数形结合的思想。刘徽数学成就中最突出的是“割圆术”和体积理论。所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的

12、周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为徽率。刘徽是中算史上第一位建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。张邱建算经：百鸡问题中国最早的不定方程祖冲之的代表性数学著作是缀术。3.14159263.1415927。称为“密率”或“祖率”。祖冲之还和儿子祖暅一起圆满地利用牟合方盖，得到正确的球体积公式。祖氏原理在西方文献中称为“卡瓦列里原理”。算经十书：周髀算经 九章算术 刘徽海岛算经 祖冲之父子缀术 王孝通缉古算经 孙子算经 张邱建算经 夏侯阳算经 五曹算经 五经算术宋元四大家：秦九韶、李冶

13、、杨辉、朱世杰朱世杰 数学代表作有算学启蒙和四元玉鉴。算学启蒙是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。四元玉鉴则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创作有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积法”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）。高阶等差数列的研究在中国始于北宋的沈括。 首先阐述天元术的是李冶，朱世杰阐述了四元术。中国传统数学衰落的原因：皇朝更迭的漫长封建社会，在晚期表现出日趋严重的停滞性与腐朽性，数学发展缺乏社会动力和思想刺激。元代以后，科举考试制度中的明算科完全废除，唯以八股取士，数学家社会地位低下，研究数学没有出路，自由探讨受到束缚

14、甚至遭禁锢。同时，中国传统数学本身也存在着弱点。算筹系统使用的十进位制记数制是对世界文明的一大贡献，但筹算本身却有很大的局限性。在筹算框架内发展起来的半符号代数“天元术”和“四元术”，就不能突破筹算的限制演进为彻底的符号代数。筹式方程运算不仅笨拙累赘，而且对有五个以上未知量的方程组无能为力。另一方面，算法创造是数学进步的必要因素，但缺乏演绎论证的算法倾向于缺乏算法创造的演绎倾向同样难以升华为现代数学。而无论是笔算数学还是演绎几何，在中国的传播都由于“天朝帝国”的妄大、自守而显得困难和缓慢。婆罗摩笈多：零的运算法则：负数减去零是负数，正数减去零是正数，零减去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零

15、零除以零是空无一物，正数和负数除以零是一个以零为分母的分数。提出了正负数的乘除法则，并给出了二次方程的求根公式给出了负数的概念和记号，还有运算法则，如“负负得正”还得到边长分别为a,b,c,d的圆的内接四边形的面积公式他最重要的数学成果是解下列不定方程马哈维拉指出：一个数乘零得零，除以一分数等于乘以此数的倒数。一个数除以零为无穷大量。计算方法纲要婆什迦罗 比例法证明勾股定理b:c=m:b a:c=n:a 花拉子米代数学（代数方程求解），印度计算法系统地介绍了印度数码和10进制记数法，把阿拉伯数字推广到了全世界。阿耶波多：对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。按时代顺序列举世界上几种古老文明的

16、早期记数系统：古埃及的象形数字（公元前3400年左右）巴比伦楔形文字（公元前2400年左右）中国甲骨文数字（公元前1600年左右）希腊阿提卡数字（公元前500年左右）中国筹算数码（公元前500年左右）印度婆罗门数字（公元前300年左右）玛雅数字（约公元3世纪）自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。希腊数学有两个显著的特点：一是抽象化和演绎精神；二是与哲学密切相关。雅典时期的希腊数学都为“公理化”方法的诞生建立了基础。有人称丢番图类型的代数为“简写代数”，是真正符号代数出现之前的重要阶段中国的圆零号和印度的扁零号都是各自独立发现的。阿尔卡西：圆周率精确到了17位，打破了祖冲之的记录。数学美数学

17、是自然科学的语言，故它具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上，方法上也都具有自身的某种美，即所谓的数学美。数学美是具体、形象、生动的。简洁性：符号美、抽象美、统一美一个定理（或习题）证明（或解法）的改进，也就是简化了，将被认为是做了意见漂亮 的工作，即它是美的。实现数学的简洁性的重要手段是使用了数学符号。和谐性：和谐美、对称美、形式美和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾性。奇异性：奇异美、有限美、神秘美、常数美奇异性包括两个方面：一是奇妙，二是变异。数学美的层次：美观：简洁、对称、和谐等；好：正确、有用、具有规律的普遍性；妙：奇异性，出乎意料之外，又在情理当中；美：只有达到

18、某种境界才可能获得的整体感受，如系列对象的规律性、关系的对应、结构的精致、体系的完善数的性质：完全数如果一个数等于其真因子之和。例如6=1+2+3。所以6是完全数。盈数如果一个数小于其真因子之和。例如121+2+3+4+6，所以12是盈数。亏数如果一个数大于其真因子之和。例如81+2+4。所以8是亏数。亲和数如果两个数中，一个数与另一个数的真因子之和彼此相等，则这两个数称为是亲和数。例如220和284是一对亲和数。无理数的产生：毕达哥拉斯定理，勾股定理，商高定理、根号2的发现和证明几何发展的四个阶段：经验几何、理论几何（这一阶段是以欧几里得的几何原本为代表，标志着几何成为个独立分支）、解析几何（笛卡尔和费马是解析几何的创始