第四章 第三节.ppt

1、第三节 平面向量的数量积,1.平面向量的数量积 (1)定义,|a|b|cos,(2)向量的投影 设为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是_； 向量b在a方向上的投影是_. (3)平面向量数量积的几何意义 数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向 上的投影_的乘积.,|a|cos ,|b|cos ,|b|cos ,2.平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角. 则 (1)ea=ae=|a|cos . (2)ab_.,ab=0,(3)当a与b同向时，ab=|a|b|. 当a与b反向时，ab=-|a|b|, 特别地，aa_或者|a|_.

2、 (4)cos =_. (5)ab_.,|a|2,|a|b|,3.数量积的运算律 (1)交换律：ab=ba. (2)数乘结合律：(a)b=_=_. (3)分配律：a(b+c)=_.,(ab),a(b),ab+ac,4.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a与b的夹角为，则,x1x2y1y2,x1x2+y1y2=0,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( ) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算 的运算结果是向量.( ) (3)由ab=0可得a=0或b=0.( )

3、 (4)由ab=ac及a0不能推出b=c.( ) (5)在四边形ABCD中， 则四边形ABCD为 矩形.( ),【解析】(1)正确.由向量的投影的定义可知正确. (2)正确.由数量积及向量线性运算的定义易得正确. (3)不正确.因为当ab时也有ab=0，而不必a=0或b=0. (4)正确.向量的数量积不满足消去律. (5)不正确.由 可得四边形为平行四边形；由 得四边形的对角线垂直，此四边形一定是菱形，故不能判定为矩形. 答案:(1) (2) (3) (4) (5),1.若非零向量a，b，c满足ab，且ac，则c(a2b) ( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)0 【解析】选D.由ab及

4、ac，得bc，则c(a2b)ca2cb0.,2.已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于( ) (A)9 (B)4 (C)0 (D)-4 【解析】选A.ab(1x,4). 由a(ab)，得1x80. x9.,3.已知向量a=(1,2)，b=(2,-3),若向量c满足(c+a)b，c(a+b)，则c=( ) 【解析】选D.设c=(m,n)，则a+c=(1+m,2+n)，a+b=(3,-1), 对于(c+a)b，则有-3(1+m)=2(2+n)， 又c(a+b)，则有3m-n=0， 则有,4.已知向量a，b满足|b|2，a与b的夹角为60，则b在a上的投影是_. 【解析】

5、b在a上的投影是|b|cosa，b2cos 601. 答案:1,5.已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，则a与b的夹角为_. 【解析】由|a|b|2，(a2b)(ab)2， 得ab2，cosa，b 又a，b0， 所以a，b 答案:,考向 1 平面向量数量积的概念及运算 【典例1】(1)(2012天津高考)在ABC中，A=90，AB=1,AC=2，设点P，Q满足 则=( ) (2)(2012北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边 上的动点.则 的值为_， 的最大值为_.,【思路点拨】,【规范解答】(1)选B.由题意可得,(2)方法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x,y

6、轴建 立直角坐标系，设E(t，0)，0t1，则D(0,1)，B(1，0)，C(1，1)，,方法二： 答案:1 1,【拓展提升】向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab=|a|b|cosa,b. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则ab=x1x2+y1y2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解.,【变式训练】(1)若向量a=(1,1)，b=(2，5)，c=(3，x)满足条件(8a-b)c=30，则x=( ) (A)6 (B)5 (C)4 (D)3 【解析】选C.

7、8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3)， 所以(8a-b)c=(6,3)(3,x)=30.即：18+3x=30，解得：x=4，故选C.,(2)已知两个单位向量e1，e2的夹角为 若向量b1=e1-2e2, b2=3e1+4e2，则b1b2=_. 【解析】b1b2=(e1-2e2)(3e1+4e2)=3|e1|2-2e1e2-8|e2|2. 又e1,e2= |e1|=1,|e2|=1, b1b2=3-2cos -8=3-1-8=-6. 答案:-6,考向 2 平面向量的垂直与夹角 【典例2】(1)若向量a=(1,2),b=(1，-1)，则2a+b与a-b的夹 角等于( ) (2)已知a与b

8、为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b 与向量ka-b垂直，则k=_. (3)设两个向量a,b，满足|a|2，|b|1，a与b的夹角为 若向量2ta7b与atb的夹角为钝角，求实数t的范围.,【思路点拨】(1)先求2a+b与a-b的坐标，再利用数量积的坐标运算求夹角. (2)向量a+b与向量ka-b垂直等价于(a+b)(ka-b)=0，展开用数量积公式求得k的值. (3)利用向量的夹角为钝角与两向量的数量积小于0且两向量不共线反向解题.,【规范解答】(1)选C.2a+b=(3,3)，a-b=(0,3)， 设2a+b与a-b的夹角为，,(2)(a+b)(ka-b)， (a+b)(ka-b

9、)=0， 即ka2+(k-1)ab-b2=0.(*) 又a,b为两个不共线的单位向量， (*)式可化为k-1=(1-k)ab， 若1-k0，则ab=-1，这与a，b不共线矛盾； 若1-k=0，则k-1=(1-k)ab恒成立. 综上可知，k=1时符合题意. 答案:1,(3)由向量2ta7b与atb的夹角为钝角，得 即(2ta7b)(atb)0， 化简即得2t215t70， 解得7t 当夹角为时，也有(2ta7b)(atb)0， 但此时夹角不是钝角，,设2ta7b(atb)，0，,【互动探究】本例题(1)中若条件不变，问题改为“为何值时，a+b与a-b的夹角为90”，则如何求？ 【解析】由条件得a

10、+b=(+1,2-1)， a-b=(0,3)， 若a+b与a-b的夹角为90， 则(a+b)(a-b)=3(2-1)=0， 解得= 即当= 时，向量a+b与a-b的夹角为90.,【拓展提升】平面向量数量积的应用 (1)根据平面向量数量积的性质：若a,b为非零向量，cos (夹角公式)，abab=0等，所以平面向量的数量 积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等 于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量 不共线时两向量的夹角为钝角.,【变式备选】已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61. (1)求a与b的夹角. (2

11、)求|a+b|和|a-b|. (3)若 作ABC，求ABC的面积.,【解析】(1)由(2a3b)(2ab)61， 得4|a|24ab3|b|261. |a|4，|b|3，代入上式求得ab6，,(2)可先平方转化为向量的数量积. |a+b|2(a+b)2|a|22ab|b|2 422(6)3213， |a+b| 同理，|a-b|,考向 3 平面向量的模及应用 【典例3】(1)已知向量a(cos ，sin )，向量b( ， 1)，则|2a-b|的最大值、最小值分别是( ) (2)(2012新课标全国高考)已知向量a,b的夹角为45，且 |a|=1,|2a-b|= 则|b|=_.,(3)在平面直角坐

12、标系xOy中，已知点A(1,2)，B(2,3)，C(2,1). 求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； 设实数t满足 求t的值.,【思路点拨】(1)运用三角函数的知识解决. (2)将|2a-b|的平方展开，代入|a|,ab的值，将所得看作关于|b|的方程，解方程即可. (3)将平行四边形两条对角线的长转化为向量的模长或两点间的距离问题解决；利用向量的坐标运算解决.,【规范解答】(1)选D.由于|2a-b|2=4a2+b2-4ab 84( cos sin )88cos( )， 易知088cos( )16， 故|2a-b|的最大值和最小值分别为4和0.,(2)a,b的夹角为45，|a

13、|=1， ab=|a|b|cos 45= |b|， |2a-b|2=4-4 |b|+|b|2=10， |b|= 答案:,方法二：设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则E为BC的中点，E(0，1). 又E(0，1)为AD的中点，所以D(1，4). 故所求的两条对角线的长分别为,【拓展提升】解决向量长度问题的方法 (1)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量的平行四边形 法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解. (2)代数法：即利用公式 或|a|2=aa把长度问题转 化为数量积的运算来解决.,【变式训练】(1)若a,b,c均为单位向量，且ab=0,(a-c)(b-c)

14、0，则|a+b-c|的最大值为( ) (A) -1 (B)1 (C) (D)2,【解析】选B.由向量a,b,c都是单位向量，可得a2=1，b2=1，c2=1，由ab=0及(a-c)(b-c)0，可以知道(a+b)c c2=1，因为|a+b-c|2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc， 所以有|a+b-c|2=3-2(ac+bc) =3-2(a+b)c， 故|a+b-c|1.,(2)设在平面上有两个向量a(cos ，sin )(0 360)，b( ). 求证：向量ab与ab垂直； 当向量 ab与a b的模相等时，求的大小. 【解析】因为(ab)(a-b)|a|2|b|2(cos2 sin2

15、)( )0， 故ab与a-b垂直.,由| ab|a b|，两边平方得3|a|22 ab |b|2|a|22 ab3|b|2， 所以2(|a|2|b|2)4 ab0，而|a|b|， 所以ab0，则 即cos(-120)0， -120k18090，kZ， 即k180210，kZ， 又0360，则30或210.,【满分指导】平面向量与三角函数综合题的规范解答 【典例】(12分)(2013青岛模拟)已知向量 其中xR， (1) 求x值的集合. (2)设函数f(x)=(a-c)2，求f(x)的最小正周期及其单调增区间.,【思路点拨】,【规范解答】(1),【失分警示】(下文见规范解答过程),1.(2012

16、湖南高考)在ABC中，AB=2，AC=3， 则BC=( ) 【解析】选A.,2.(2013昆明模拟)已知平面向量a=(3,1)，b=(x,-6)，设a 与b的夹角的正切值等于 则x的值为( ),【解析】选C.a=(3,1)，b=(x,-6)，设a与b的夹角等于，,3.(2012广东高考)对任意两个非零的平面向量 定义 若两个非零的平面向量a,b，满足a与b的夹角,【解析】选D.,4.(2013济宁模拟)若|b|=2|a|0,c=a+b,且ca，则向量a与b的夹角为_. 【解析】由于ca,所以ca=0，即(a+b)a=0,所以|a|2+ab=0.设a与b夹角为，则 因此 答案:,1.已知向量 在ABC中， D为BC边的中点，则| |=( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】选A. =(m-n)2=m2+n2-2mn =3+4-2 2cos =1.| |=1.,2.已知向量p(2，x1)，q(x，3)，且pq，若由x的 值构成的集合A满足Ax|ax2，则实数a构成的集合是( ) (A)0 (B) (C) (D)0, 【解析】选D.pq，2x3(x1)0， 即x3，A3. 又x|ax2