精华：特殊平行四边形知识归纳和题型精讲

1、平行四边形常见题型精讲例1已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm求AD的长及点A到BD的距离AE的长 例2 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DFAE于F，若AE=BC 求证：CEEF 例3如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EFEC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长例4、如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F(1)求证：AB=CF；(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由 二菱形例1 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是A

2、B上一点，DF交AC于E 求证：AFD=CBE 例2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F求证：四边形AFCE是菱形 例3、如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形.例4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,EAD=2BAE。求证：AM=BE。 例5 （10湖南益阳）如图，在菱形ABCD中，A=60,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OEAB，垂足为E(1)求线段的长例6、（2008四川自贡）如图，四边形ABCD是菱形，DEAB交BA的延长线于

3、E，DFBC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想例7、（2008山东烟台）如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：BDEBCF； （2）判断BEF的形状，并说明理由；（3）设BEF的面积为S，求S的取值范围.三正方形 例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DGAE于G，DG交OA于F求证：OE=OF 例2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1l2，作BMl1于M，DNl1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点求证：四边形PQMN

4、是正方形例3、（2008海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PEPD；（2）设AP=x, PBE的面积为y. 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值. ABCPDE例4（2006年河南省）如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DEAB，试判断ADE的形状，并给出证明例5：（2008深圳）如图，在梯形ABCD中，ABDC， DB平分ADC，过点A作AEBD，交CD的延长线于点E，且C2E（1）求证：梯形A

5、BCD是等腰梯形（2）若BDC30，AD5，求CD的长例题讲解例一.分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法解：设AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在RtABD中，由勾股定理：，解得x=6 则 AD=6cm（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式： AEDB ADAB，解得 AE 4.8cm例二分析：CE、EF分别是BC，AE等线段上的一部分，若AFBE，则问题解决，而证明AFBE，只要证明ABEDFA即可，在

6、矩形中容易构造全等的直角三角形 证明： 四边形ABCD是矩形， B=90，且ADBC 1=2 DFAE， AFD=90 B=AFD又 AD=AE， ABEDFA（AAS） AF=BE EF=EC此题还可以连接DE，证明DEFDEC，得到EFEC菱形 例1 证明：四边形ABCD是菱形， CB=CD， CA平分BCD BCE=DCE又 CE=CE， BCECOB（SAS） CBE=CDE 在菱形ABCD中，ABCD， AFD=FDCAFD=CBE例2 证明： 四边形ABCD是平行四边形， AEFC 1=2又 AOE=COF，AO=CO， AOECOF EO=FO 四边形AFCE是平行四边形又 EF

7、AC， AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)例6、解：DEDF 证明如下：连结BD四边形ABCD是菱形CBDABD(菱形的对角线平分一组对角)DFBC，DEABDFDE(角平分线上的点到角两边的距离相等)例7 、正方形 例1 分析：要证明OE=OF，只需证明AEODFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到AOE=DOF=90，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到EAO=FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得 证明： 四边形ABCD是正方形， AOE=DOF=90，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）又 DGAE， EAO+AEO=EDG+AE

8、O=90 EAO=FDO AEO DFO OE=OF例2 分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证ABMDAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP即可证出MN=NP从而得出结论证明： PNl1，QMl1， PNQM，PNM=90 PQNM， 四边形PQMN是矩形 四边形ABCD是正方形 BAD=ADC=90，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角） 1+2=90又 3+2=90， 1=3 ABMDAN AM=DN 同理 AN=DP AM+AN=DN+DP即 MN=PN 四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）例3 （1）证法一： 四边形ABCD是正方形

9、，AC为对角线， BC=DC, BCP=DCP=45. PC=PC， PBCPDC （SAS）. PB= PD， PBC=PDC. 又 PB= PE ， PE=PD. ABCDPE12H （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时， PB=PE， PBE=PEB， PEB=PDC， PEB+PEC=PDC+PEC=180， DPE=360-(BCD+PDC+PEC)=90， PEPD. ）（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PEPD.（iii）当点E在BC的延长线上时，如图. PEC=PDC，1=2， DPE=DCE=90， PEPD.综合（i）（ii）（iii）, P

10、EPD. ABCPDEF（2） 过点P作PFBC，垂足为F，则BF=FE. AP=x，AC=， PC=- x，PF=FC=. BF=FE=1-FC=1-()=. SPBE=BFPF=(). 即 (0x). . 0， 当时，y最大值. （1）证法二：ABCPDEFG123 过点P作GFAB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示. 四边形ABCD是正方形， 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，AGP和PFC都是等腰直角三角形. GD=FC=FP，GP=AG=BF，PGD=PFE=90. 又 PB=PE， BF=FE， GP=FE， EFPPGD （SAS）. PE=PD. 1=2. 1+3=2+3=90. DPE=90. PEPD. （2） AP=x， BF=PG=，PF=1-. SPBE=BFPF=(). 即 (0x). . 0， 当时，y最大值. (注：用其它方法求解参照以上标准给分.)例4 【解析】ADE是等边三角形 理由如下：AB=CD，梯形ABCD为等腰梯形， B=C E为BC的中点， BE=CE 在ABE和DCE中， ABEDCE AE=DE ADBC，