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1、在处理产、供、销的经济活动中，会经常遇到物资调拨的运输问题。如粮棉油、煤炭、钢铁、水泥、化肥、木材等物资要由若干个产地调运到若干个销售地。问题是，怎样制定合理的调用方案才能使总运输费用最少？本章将专门讨论这类特殊形式的线性规划问题。,导 言,第五章 运输问题,例 某食品公司经销的主要商品之一是糖果，它下面设有三个加工厂。某个的产量分别为A17t， A24t， A39t该公司把这些糖果分别运往四个地区的门市部销售，各地区每天的销售量为： B13t， B26t， B35t， B46t 。已知从各个加工厂到各销售部门每吨的运价见下表：,5.1 运输问题的数学模型,问：该食品公司应如何调运，在满足各部

2、门销售的情况下，使总的运费支出为最少？,产销平衡的运输问题,无论全国或一个地区，在各种生产或生活物资调运中都可以提出入上述问题类似的例子。 现在把问题概括一下，在线性规划中我们研究这样一类运输问题：,5.1 运输问题的数学模型,产销平衡的运输问题,设有某种物资要从m个产地（或称发点）Ai(i=1，2，m)运往n个销地（或称收点）Bj(j=1，2，n) ，Ai的产量为ai，Bj的销量为bj，把Ai运到Bj的单位运价设为cij，问怎样编制调运方案才能使总运费最少？ 假设从Ai运到Bj的物资数量为xij，总运费为S，总产量=总销量。那么这个运输问题的数学模型是：,5.1 运输问题的数学模型,产销平衡

3、的运输问题,产销平衡的运输问题,5.1 运输问题的数学模型,运输问题的数学模型是:,产销平衡表,产销平衡的运输问题,5.1 运输问题的数学模型,运输问题的数学模型是:,C=(c11，c12，c1n，c21，c22，c2n，cm1，cm2，cmn) B=（a1，a2，am，b1，b2，bn)T X =(x11，x12，x1n，x21，x22，x2n，xm1，xm2，xmn)T,5.1 运输问题的数学模型,其矩阵形式为,产销平衡的运输问题,（1）产量大于销量的情形,5.1 运输问题的数学模型,产销不平衡运输问题的转化,其运输问题的数学模型是,由于总量大于总销量，所以多余物资应储存在产地。社某产地A

4、i的多余存储量为xi,n+1，于是运输问题的约束条件方程组为：,则,5.1 运输问题的数学模型,产销不平衡运输问题的转化,5.1 运输问题的数学模型,可将不平衡的运输问题（5.3）化为如下的平衡运输问题,产销不平衡运输问题的转化,令,（2）产量大于销量的运输问题 这时可增加一个设想的发点Am+1，发出量为,并令该发点到收点B的运价C.（，），同样可将不平衡的运输问题转化为平衡的运输问题。 如无特别说明，本章仅限于对平衡问题的运输问题求解的讨论。 同一般的线性规划问题一样，运输问题的最优解也一定能在它的基本可行解中找到。由于运输问题（.）的约束系数矩阵的前行之和恰好等于后行之和，即矩阵的行向量组

5、线性相关，因此的秩必小于+,5.1 运输问题的数学模型,产销不平衡运输问题的转化,5.1 运输问题的数学模型,产销不平衡运输问题的转化,根据以上讨论可知，运输问题（5.2）的基矩阵应由m+n-1个线性无关的列向量组成，这些列向量是约束方程Ax=b中去掉多余方程后剩下的m+n-1个方程的系数列向量，因此在研究运输问题的基时只要在A中找到m+n-1个线性无关的系数列向量就可以了。 运输问题中的约束方程和变量个数一般比较多。例如m=25,n=500时，就有525个约束方程和12500个变量，这样的问题即使使用电子计算机求解也很困难。但根据运输问题具有的特殊结构，有专门为其设计的求解方法，这里不作介绍

6、。对小规模的运输问题的求解，可通过表上作业法和图上作业法去完成。,5.1 运输问题的数学模型,因此秩（A）=m+n-1。同样可得A的增广矩阵 =（a,b）的秩也等于m+n-1。所以（5.2）式的m+n个等式约束中有一个是多余的，于是增广矩阵 的任意一行都可用其余m+n-1行线性表出。这样，运输问题（5.2）中去掉任一个等式约束后就成为标准形式的线性规划问题，便可用单纯形或对偶单纯形方法求解。,产销不平衡运输问题的转化,5.2 运输问题的表上作业法,对于小规模的运输问题其求解过程可以在表上进行。,5.2 运输问题的表上作业法,表中共有mn个格子，每个格子对应一个变量 求解运输问题的首要任务是，在

7、表上找到m+n-1个格子对应的一组变量，,是一组变量。 为此，先引入以下概念和结论。,定义5.1,5.2 运输问题的表上作业法,称变量组的集合,是一个闭回路。其中i1,i2,is互不相同，j1,j2,js互不相同,称其中每个变量为闭回路的顶点。 例如，变量组 中的i1=4,i2=3,i3=1,j1=5,j2=1 ,j3=3 各互不相同，若在表格中把相邻两个顶点，第一个顶点与最后一个顶点用直线段连接起来，就可在下表5.2中画出这个闭回路。,X45,X41,X31,X33,X13,X15,定义5.1,5.2 运输问题的表上作业法,X11,但变量组x11,x12,x22,x24,x44,x42,x2

8、1不能构成一条闭回路，因为x42不是拐角点。,X12,X22,X24,X44,X42,X42,若变量组 是一个闭回路，则这个变量组对应矩阵A中的列向量组线性相关。 证明矩阵A中的每列只有两个元素为，其余都是。变量xij对应中的列向量是,5.2 运输问题的表上作业法,定理5.1,5.2 运输问题的表上作业法,定理5.1,通过计算闭回路中变量对应中的列向量，得,这表明变量组对应矩阵中列向量组线性相关。,变量组 对应矩阵中列向量组,根据以上结论，给出了从表格上判断运输问题的方法。m+n-1个变量是否为一组基变量就看表中m+n-1个变量是否含有闭回路。于是可从表格上方便的求出运输问题的初始基本可行解来

9、.,5.2 运输问题的表上作业法,定理5.2,线性无关的充要条件是该变量组不含有闭回路。,求解运输问题的表上作业法可按以下步骤进行。,一 、编制初始调运方案,方法一 最小元素法 令,（1）若aibj，则取xij=ai,而xik=0(k=1,2,j-1,j+1,n),将ai填入(i,j)格内。这时 xi1+xi2+xi,j-1+xij+xi,j+1+xin=xij=ai,5.2 运输问题的表上作业法,求解运输问题的表上作业法的步骤：,编制初始调运方案就是求运输问题的初始基本可行解，方法有两种,（2）若aibj，则取xij=bj,而xsj=0(s=1,2,i-1,i+1,m),将bj填入(i,j)

10、格内。这时 x1j+x2j+xij+xmj=xij=bj,例5.1用最小元素法求下列运输问题的初始调运方案,5.2 运输问题的表上作业法,一 、编制初始调运方案,求解运输问题的表上作业法的步骤：,初始基本可行解为 x12,x13,x14,x22,x31,x32,x35=1,5,3,4,3,0,5, 相应运价为： c12,c13,c14,c22,c31,c32,c35=20,5,9,10,1,15,4, 由此表上作业得初始调运方案的总运费为S=1x20+5x5+3x9+4x10+3x1+0 x15+5x4=135（元）,5.2 运输问题的表上作业法,一 、编制初始调运方案,求解运输问题的表上作业

11、法的步骤：,1,5,3,4,3,0,5,解,1,5,2,3,4,4,1,5,1,6,7,方法二 左上角法(也称西北角法） 令,（1）若a1b1，则取x11=a1,而x1k=0(k=2,3, n),将a1填入(1,1)格内。这时 x11+x12+x1n=x11=a1,（2）若a1b1，则取x11=b1,则取x11=b1 ，而xs1=0(s=2,3,m),将b1填入(1,1)格内。这时 x11+x21+xm1=b1,5.2 运输问题的表上作业法,一 、编制初始调运方案,求解运输问题的表上作业法的步骤：,例5.2用左上角法求下列运输问题的初始调运方案,5.2 运输问题的表上作业法,一 、编制初始调运方案,求解运输问题的表上作业法的步骤：,5.2 运输问题的表上作业法,一 、编制初始调运方案,求解运输问题的表上作业法的步骤：,解,1,3,6,2,5,1,3,1,4,4,4,5,0,