高中数学 第二章 函数 2.3 函数的单调性学案 北师大版必修

1、2.3 函数的单调性核心必知1函数在区间上增加(减少)的定义在函数yf(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1x2A，当x1x2时：(1)都有f(x1)f(x2)，就称函数yf(x)在区间A上是增加的(2)都有f(x1)f(x2)，就称函数yf(x)在区间A上是减少的 2函数的单调区间如果yf(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的3函数的单调性如果函数yf(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数yf(x)在这个子集上具有单调性4单调函数如果函数yf(x)在整

2、个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数问题思考1在增加的和减少的函数定义中，能否把“任意x1，x2A”改为“存在x1，x2A”？提示：不能，如图，虽然存在12使f(1)f(2)，但f(x)在1,2上并不是增加的2函数f(x)的单调减区间能否写成(，0)(0，)?提示：不能，如x11，x21满足x1x2，但有f(x1)1f(x2)1，不符合减少的要求3函数区间端点对函数单调区间有作用吗？是否应考虑？提示：函数在某一点处的单调性并无意义所以不存在单调性问题在书写函数的单调区间时，区间端点开或闭一般可不予考虑若端点处函数有意义，包括不包括端点均可；但若函数在

3、区间端点处无定义，则必须写成开区间讲一讲试判断函数f(x)在其定义域上的单调性，并加以证明尝试解答函数定义域为x|x1，又f(x)1，可由反比例函数y图像得其图像如图所示：由图像知，函数在(，1)和(1，)上为减函数，证明如下：设x1，x2(1，)，且x1x2，则f(x1)，f(x2).f(x2)f(x1).1x1x2，x1x20，x210，x110.f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)f(x)在(1，)上为减函数，同理可证f(x)在(，1)上为减函数综上f(x)在(，1)和(1，)上为减函数判断函数的单调性通常利用定义法和图像法两种而证明单调性一般要用定义法，其一般步骤为：(1)设元

4、：设x1，x2为区间上的任意两个变量，且x1x2；(2)作差：计算f(x1)f(x2)；(3)变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)；(4)判号：结合题设判定差的符号；(5)定论：结合单调性的定义下结论练一练1试讨论函数f(x)(a0)在其定义域内的单调性解：函数的定义域是(，0)(0，)(1)设x1x20，则由已知f(x)(a0)，有f(x1)f(x2).x1x20，x1x20.当a0时，有0，即f(x1)f(x2)；当a0时，有0，即f(x1)0时，f(x)(a0)在(，0)上是减函数；当a0时是减函数，当a0时，在区间(，0)，(0，)上是减函数；当a3的解集巧思解答本题关键是巧用

5、f(xy)f(x)f(y)(1)对x，y恰当赋值，用f(2)表示f(8)(2)将不等式转化成f(x)f(g(x)的形式再利用单调性进一步转化成关于x的不等式组妙解(1)由题意得f(8)f(42)f(4)f(2)f(22)f(2)3f(2)3.(2)原不等式可化为：f(x)3f(x2)，f(8)3，3f(x2)f(8)f(x2)f(8(x2)f(x)f(8(x2)的解集即为所求f(x)是(0，)上的增函数，解得2x.原不等式的解集为.1下列函数中，在区间(0,3)上为增函数的是()Ay3xByx21Cy Dy|x|解析：选B可知，y3x在(0,3)上为减函数，y在(0,3)上为减函数，y|x|x

6、在(0,3)上为减函数2函数f(x)x2的单调增区间为()A(，0 B0，)C(，) D(0，)解析：选A由f(x)x2的图像知，A正确3函数y(k2)x1在实数集上是减函数，则k的范围是()Ak2 Bk2Ck2 Dk2解析：选Df(x)(k2)x1在R上是减函数k20，即k2.4如图所示是定义在5,5)上的函数yf(x)的图像则该函数的单调增区间是_，减区间是_答案：2,1和3,5)5，2和1,35若f(x)是R上的增函数，且f(x1)f(2)，则x的取值范围是_解析：由题得x12，得x3，故x的范围为x|x3答案：x|x36用增函数定义证明f(x)axb(a0)是(，)上的增函数证明：设x

7、1，x2(，)，且x1x2，则f(x2)f(x1)ax2b(ax1b)ax2ax1a(x2x1)x1x2，x2x10，又a0，f(x2)f(x1)a(x2x1)0，f(x)是(，)上的增函数一、选择题1下列函数在(，0)上为增函数的有()y|x|；y；y；yx.ABC D解析：选C当x(，0)时，y|x|x，在(，0)上为减函数，故不正确，排除A、D.又y1，在(，0)上为常函数，故不正确，排除B.2设函数f(x)是(，)上的减函数，则()Af(a)f(2a) Bf(a2)f(a)Cf(a2a)f(a) Df(a21)0，a21a，f(x)是(，)上的减函数，f(a21)f(a)3下列说法不正

8、确的有()函数yx2在(，)上具有单调性，且在(，0)上是减函数；函数y的定义域为(，0)(0，)，在其上是减函数；函数ykxb(kR)在(，)上一定具有单调性；若x1，x2是f(x)的定义域A上的两值，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，则yf(x)在A上是减函数A1个 B2个C3个 D4个解析：选D对于中函数yx2，在R上不具有单调性，故不正确；中函数y在(，0)(0，)上不具有单调性故不正确；中函数当k0时，其在R上不具有单调性，故不正确；中由于x1，x2不是任意的两个值，不满足定义，故其不正确4若对于任意实数x总有f(x)f(x)，且f(x)在区间(，1上是增函数，则()Aff(1)

9、f(2)Bf(1)ff(2)Cf(2)f(1)fDf(2)ff(1)解析：选Df(x)f(x)，f(2)f(2)，又f(x)在(，1上是增函数，而21，f(2)ff(1)，即f(2)ff(1)二、填空题5函数f(x)的减区间是_解析：函数f(x)的图像如图实线部分所示，则减区间是(0,1答案：(0,16若函数f(x)x22ax1在1,2上单调递减，则a的取值范围是_解析：函数f(x)的图像的对称轴为xa，可知其图像开口向下，f(x)在1,2上单调递减，a1.答案：(，17函数f(x)在区间2,4上的最大值为_，最小值为_解析：f(x)1，函数f(x)在2,4上是增函数，f(x)minf(2)，f(x)maxf(4).答案：8已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，则a的取值范围是_解析：由题意得，解得：0a.答案：三、解答题9已知函数f(x)|x22|，试作出该函数的图像，指出它的单调区间，并求函数在1,3上的最值解：函数f(x)|x22|作出函数的图像如图所示由图可知函数f(x)|x22|的单调增区间为，0和，); 单调减区间为(，)和0，在区间1,3上，由图像可知函数的最小值为f()0，最大值为f(3)7.10已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f，f(0)0.(1)求实数a、b的值，并确