高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理二课件新人教B版必修5.ppt

1、第一章,解三角形,1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理(二),学习目标 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题. 2.能根据条件，判断三角形解的个数. 3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是 . (1)在ABC中，若 ，则A90. (2)在ABC中，若sin 2Asin 2B，则ab. (3)在ABC中，若sin Asin B，则AB；反之，若AB， 则sin Asin B. (4)在ABC

2、中，.,解析对于(1)，由正弦定理可知，sin Bcos B，sin Ccos C，BC45，故A90，故(1)正确. 对于(2)，由sin 2Asin 2B可得AB或2A2B， ab或a2b2c2，故(2)错误. 对于(3)，在ABC中，sin Asin BabAB，故(3)正确. 对于(4)，因为 ， 所以 ，故(4)正确. 答案(2),预习导引 1.正弦定理的常见变形 (1)sin Asin Bsin C . (2) . (3)a ，b ，c . (4)sin A ，sin B ，sin C .,2Rsin C,abc,2R,2Rsin A,2Rsin B,2.三角变换公式 (1)sin

3、(). (2)sin(). (3)sin2 .,sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos ,要点一利用正弦定理判断三角形的形状 例1在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状.,解方法一在ABC中，根据正弦定理： 2R(R为ABC外接圆的半径). sin2Asin2Bsin2C， ( )2( )2( )2，即a2b2c2.,A90，BC90. 由sin A2sin Bcos C，得sin 902sin Bcos(90B)， sin2B . B是锐角，sin B ，B45，C45. ABC是等腰直角

4、三角形.,方法二在ABC中，根据正弦定理，得sin A ，sin B ， sin C (R为ABC外接圆的半径). sin2Asin2Bsin2C， a2b2c2，ABC是直角三角形且A90. A180(BC)，sin A2sin Bcos C， sin(BC)2sin Bcos C. sin Bcos Ccos Bsin C0， 即sin(BC)0.BC0，即BC. ABC是等腰直角三角形.,规律方法依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径： (1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2)利用正弦定理把已知条

5、件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论.在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.,跟踪演练1在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，试判断ABC的形状.,解在ABC中，由正弦定理得 ， 又a2tan Bb2tan A， ， sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B. 2A2B或2A2B，即AB或AB . ABC为等腰三角形或直角三角形.,要点二利用正弦定理求最值或范围 例2在锐角ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a2bsin A，求

6、cos Asin C的取值范围. 解设R为ABC外接圆的半径. a2bsin A，2Rsin A4Rsin Bsin A， sin B .B为锐角，B .,令ycos Asin Ccos Asin(BA) cos Asin( A) cos Asin cos Acos sin A,规律方法在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法： (1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量. (2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题.,跟踪演练2在ABC中，若C2B，求 的取值范围. 解因为ABC，C2B， 所以A3B0，所以0B ，所

7、以 cos B1. 所以12cos B2，故1 2.,要点三正弦定理与三角变换的综合应用 例3已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ac2b，且2cos 2B8cos B50，求角B的大小，并判断ABC的形状.,解2cos 2B8cos B50， 2(2cos2B1)8cos B50. 4cos2B8cos B30， 即(2cos B1)(2cos B3)0.,解得cos B 或cos B (舍去). 0B，B .ac2b. 由正弦定理得sin Asin C2sin B2sin .,化简得 sin A cos A ， sin(A )1. 0A，A . A，C，即ABC. AB

8、C是等边三角形.,规律方法借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.,跟踪演练3已知方程x2(bcos A)xacos B0的两根之积等于两根之和，且a、b为ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状.,解设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得 bcos Aacos B.,由正弦定理得2Rsin Bcos A2Rsin Acos B(R为ABC外接圆的半径)， sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0. A、B为ABC的内角， 0A，0B，AB， AB0，即AB.

9、 故ABC为等腰三角形.,1.在ABC中，AC ，BC2，B60，则角C的值为() A. 45 B. 30 C.75 D.90 解析由正弦定理，得 . BC2AC ， A为锐角. A45.C75.,C,1,2,3,4,2.在ABC中，若 ，则ABC是() A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 解析由正弦定理知： ， tan Atan Btan C，ABC.,B,1,2,3,4,3.在ABC中， .,0,1,2,3,4,4.在ABC中，a2 ，b6，A30，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形.,1,2,3,4,解a2 ，b6，ab，A3090. 又因为bsin A6sin 303，absin A， 所以本题有两解，由正弦定理得：,sin B，故B60或120. 当B60时，C90，c4 ； 当B120时，C30，ca2 . 所以B60，C90，c4 或B120，C30，c2 .,1,2,3,4,课堂小结 1.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解.首先求出另一边