高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程课堂导学案新人教B版选修

1、2.2.1 椭圆及其标准方程课堂导学三点剖析一、求椭圆的标准方程【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和是10;(2)两个焦点的坐标是(0,-2)、(0,2),并且椭圆经过点(,).解:(1)椭圆的焦点在x轴上,设它的标准方程为=1(ab0).2a=10,2c=8,a=5,c=4.b2=a2-c2=52-42=9.所求椭圆的标准方程为=1.(2)椭圆的焦点在y轴上,设它的标准方程为=1(ab0).由椭圆的定义知,2a=+ =2,a=.又c=2,b2=a2-c2=10-4=6.所求椭圆的标准方程为=1.温馨提示 求椭

2、圆的标准方程就是求a2及b2(ab0),并且判断焦点所在的坐标轴.当焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为=1;当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为=1.二、应用椭圆的定义解题【例2】一动圆与已知圆O1：（x+3）2+y2=1外切与圆O2：（x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.解析:两定圆的圆心半径分别为O1（-3，0），r1=1；O2（3，0），r2=9设动圆圆心为M（x，y），半径为R由题设条件知：|MO1|=1+R，|MO2|=9-R|MO1|+|MO2|=10由椭圆的定义知：M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a=5，c=3，b2=a2-c2=25-9=16故动圆圆心的轨迹方程为

3、 =1.温馨提示 两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件.三、利用椭圆的标准方程解题【例3】 椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为（0，2）则k=_.解析:将椭圆方程化为标准方程可得x2+=1，由其中一个焦点为（0，2），知a2=，b2=1，且a2-b2=c2即-1=4得k=1.温馨提示 先将椭圆方程化为标准形式，再由其中一个焦点确定a2，b2，最后通过a、b、c之间的关系确定k的值.各个击破类题演练 1求经过两点P1(,),P2(0,)的椭圆的标准方程.解法一:因为焦点位置不确定,故应考虑两种情形.(1)焦点在x轴上时:设椭圆的方程为+=1(ab0).依题意

4、知解得.,方程组无解.(2)焦点在y轴上时:设椭圆的方程为+=1(ab0).依题意可得,解得.所求椭圆的标准方程为=1.解法二:设所求椭圆方程的一般式为Ax2+By2=1(A0,B0).依题意可得解得所求椭圆的方程为5x2+4y2=1.标准方程为=1.变式提升 1椭圆短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为，求此椭圆的标准方程.解析：由题意知：b2=9所求椭圆的标准方程为=1类题演练 2若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1,0),A(1,0)的距离和为定值m,试求P点的轨迹方程.解:|PA|+|PA|=m,|AA|=2,|PA|+|PA|AA|,m2.(1)当m=2时

5、,P点的轨迹就是线段AA.其方程为y=0(-1x1).(2)当m2时,由椭圆的定义知,点P的轨迹是以A、A为焦点的椭圆.2c=2,2a=m,a=,c=1,b2=a2-c2=-1.点P的轨迹方程为=1.变式提升 2已知B、C是两个定点，|BC|=6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.解析：如右图，建立坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合.由已知|AB|+|AC|+|BC|=16，|BC|=6，有|AB|+|AC|=10，即点A的轨迹是椭圆，且2c=6,2a=16-6=10.c=3,a=5,b2=52-32=16.但当点A在直线BC上，即y=0时,A、B、C三点不能构成三角形，点A的轨迹方程是=1(y0).类题演练 3方程x=所表示的曲线为_.答案：表示椭圆