高二数学上学期期末复习备考讲练 专题03 直线与方程导学案 理

1、专题03 直线与方程一、学习目标 1.掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式；掌握直线的方程的几种形式及其相互转化，以及 直线方程知识的灵活运用；掌握两直线位置关系的判定，点到直线的距离公式及其公式的运用；2.充分理解解析思想（坐标法），加强数形结合思想的培养和应用意识的培养；3.积极主动，认真研究，以极大的热情投入学习中去。二、知识梳理（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180。（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表

2、示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，； 当时，； 当时，不存在。过两点的直线的斜率公式： 注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式： 直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：（）直线两

3、点，截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。一般式：（A，B不全为0）注意：各式的适用范围 特殊的方程如：平行于x轴的直线：（b为常数）； 平行于y轴的直线：（a为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 平行直线系平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：（C为常数） 过定点的直线系（）斜率为k的直线系：，直线过定点；（）过两条直线，的交点的直线系方程为（为参数），其中直线不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当，时，；注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有无

4、数解与重合（8）两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则 （9）点到直线距离公式：一点到直线的距离（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。三、典型例题 例1.过点A(5，4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形的面积为5，求直线l的方程【解析】由题意知，直线l的斜率存在设直线为y4k(x5)，交x轴于点，交y轴于点(0,5k4)，S|5k4|5，得25k230k160(无实根)，或25k250k160，解得k，或k，所以所求直线l的方程为2x5y100，或8x5y200.【方法规律】求直线的方程，可先设方程，然后根据条件求系数。变

5、式练习1过点P(1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程【答案】x1，x0，或xy10，xy20.例2.已知直线l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，求m的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.【解析】法一当m0或2时，两直线既不平行，也不垂直；当m0且m2时，直线l1，l2的斜率分别为：，.(1)若l1l2，则1，解得m.(2)若l1l2，则由，得m1或m3.又当m3时，l1与l2重合，故m3舍去故l1l2时，m1.法二(1)l1l2，m23m0，m.l1l2，3m(m2)0且2m6(m2)，故m1.【方法规律】已知两

6、直线的方程中都含有参数，求不同的位置关系时参数的取值，可以利用平行(或垂直)的条件列方程求解变式练习2已知点A(2,2)和直线l：3x4y200.(1)求过点A，且和直线l平行的直线方程；(2)求过点A，且和直线l垂直的直线方程【答案】(1). 3x4y140 (2).4x3y20例3.一条光线经过P(2,3)点，射在直线l：xy10上，反射后穿过点Q(1,1)(1)求入射光线的方程；(2)求这条光线从P到Q的长度.【解析】(1)设点Q (x，y)为Q关于直线l的对称点且QQ交l于M点kl1，kQQ1.QQ所在直线方程为y11(x1)，即xy0. 由解得l与QQ的交点M的坐标为. 又M为QQ的

7、中点，由此得解之得 Q点的坐标为(2，2)设入射光线与l的交点为N，则P、N、Q共线又P(2,3)，Q(2，2)，得入射光线的方程为，即5x4y20.(2)l是QQ的垂直平分线，从而|NQ|NQ|，|PN|NQ|PN|NQ|PQ|. 即这条光线从P到Q的长度是.【方法规律】利用入射线与反射线的性质，转化为点关于直线l的对称问题，即求Q点关于直线l的对称点变式练习3求直线l1：2xy40关于直线l：3x4y10的对称直线l2的方程.【答案】2x11y160.例4.点P(2，1)到直线l：(13)x(1)y250的距离为d，求d的最大值【解析】直线l的方程可化为xy2(3xy5)0，由解得直线l过

8、定点A.如图，d|PA|.当PAl时，d取最大值|PA|. |PA|，d的最大值为.变式练习4直线l1过点P(1,2)，斜率为，把l1绕点P按顺时针方向旋转30得直线l2，求直线l1和l2的方程【解析】设直线l1的斜率为k，倾斜角为.由题意，知直线l1的方程是y2(x1)，即x3y60. k1tan 1，l1的倾斜角1150.如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30，得到直线l2的倾斜角215030120，直线l2的斜率k2tan 120，l2的方程为y2(x1)，即xy20.四、课堂练习1.直线（12a）x2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，则实数a的值为（ ） A B C D【答案】B【

9、解析】直线（12a）x2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，3（12a）2=0，故选B2.已知点A(0,2)，B(2,0)若点C在函数yx2的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A4 B3 C2 D1 【答案】A3.过点A(-2，)和B（，4）的直线与直线平行，则的值为 。 【答案】-8【解析】因为直线平行，斜率相等，所以过点A(-2，)和B（，4）的直线斜率为，所以。4.已知两条直线与的交点，求：（1）过点且过原点的直线方程；（2）过点且垂直于直线的直线的方程。【答案】（1） （2）【解析】（1）由题意，直线l1：3x+4y-2=0与直线l2：2x+y+2=0联立，解得x=-

10、2,y=2，则交点P的坐标为（-2，2）所以，过点P（-2，2）与原点的直线的斜率为，直线方程为y-2=-1(x+2)，化简得x+y=0；（2）直线l3：x-2y-1=0的斜率为k= 过点P（-2，2）且垂直于直线l3：x-2y-1=0的直线l的斜率为-2所以，由点斜式所求直线的方程y-2=-2（x+2）即所求直线的方程为2x+y+2=0.五、课后练习1.已知直线，则之间的距离为 （ ） A.1 B. C. D. 【答案】B 【解析】由题知，所以之间的距离.故选B.2.若A(2,3)，B(3，2)，C三点共线，则m的值为()A. B C2 D2【答案】A【解析】由，得m.3如图，在同一直角坐标

11、系中，表示直线yax与yxa正确的是()【答案】C【解析】当a0时，A，B，C，D均不成立；当a0时，只有C成立4.直线过点 (3,2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为 。 【答案】或 5.已知光线从点M(-1,0)射出，经直线x-y-1 =0反射，其反射光线通过点N(0,1),则入射光线所 在直线方程为 。【答案】x+3y+1=0【解析】先求点N关于直线x-y-1 =0对称后的点N（2，-1），则连接点N和M即为入射光线所在的直线方程，由两点式可得直线方程为x+3y+1=0。6.经过两条直线2xy20和3x4y20的交点，且垂直于直线3x2y40的直线方程为_【答案】2x3y20【解析】由方程组得交点A(2,2)，因为所求直线垂直于直线3x2y40，故所求直线的斜率k，由点斜式得所求直线方程为y2(x2)，即2x3y20. 7. 已知直线，(1)求点关于对称的点；(2)求关于点对称的直线方程【答案】(1). (2).8