高中数学 2.2 几种常见的平面变换 2.2.4 逆变换与逆矩阵旋转变换教学案 苏教版选修

1、22.4旋转变换对应学生用书P141旋转变换将一个图形F绕某个定点O旋转角度所得图形F的变换称为旋转变换其中点O称为旋转中心，角度称为旋转角2旋转变换矩阵像这样的矩阵，称为旋转变换矩阵旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状对应学生用书P14点在旋转变换作用下的象例1在直角坐标系xOy内，将每个点绕原点O按逆时针方向旋转135的变换称为旋转角是135的旋转变换(1)试写出这个旋转变换的坐标变换公式和相应的矩阵；(2)求点A(4,8)在这个旋转变换作用下的象A.思路点拨根据其坐标变换公式写出旋转变换对应的矩阵后求解精解详析(1)该变换的坐标变换公式为：，该变换对应的矩阵为：.(2

2、)由(1)知，当x4，y8时，x6，y2，所以点A(4,8)在这个旋转变换作用下的象为A(6，2)由旋转角的大小，写出旋转变换矩阵是解决这类问题的关键逆时针旋转时，为正值，顺时针方向旋转时，为负值1求出ABC分别在M1，M2，M3对应的变换作用下的图形这里A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)解析：在M1下，AA(0,0)，BB(2,0)，CC(1，1)在M2下，AA(0,0)，BB(0,2)，CC(1,1)在M3下，AA(0,0)，BB(，)，CC(0，)图形分别为2在直角坐标系xOy内，将每个点绕坐标原点O按顺时针方向旋转60的变换称为旋转角为60的旋转变换，求点A(1,0)在这个旋转变

3、换作用下得到的点A的坐标解：由题意得旋转变换矩阵为，故对应的坐标变换公式为.令x1，y0得.所以所求的点A的坐标为.曲线在旋转变换作用下的象例2已知曲线C：x2y22，将曲线C绕坐标原点逆时针旋转60后，求得到的曲线C的方程思路点拨先求出旋转变换矩阵，再根据变换公式求曲线方程精解详析旋转变换对应的矩阵M，设P(x0，y0)为曲线C上任意的一点，它在矩阵M对应的变换作用下变为P(x，y)则有 ，故因为点P(x0，y0)在曲线C：x2y22上，所以xy2，即 222，xy2.从而曲线C的方程为x2y22.理解与掌握旋转变换对应的变换矩阵和坐标变换公式是解答该类问题的关键，对于特殊图形的旋转变换，也

4、可根据数形结合直接得出，如本例中，曲线C是以原点为圆心的圆，所以它不管旋转多少度，所得的图形仍是其自身3将双曲线C：x2y21上的点绕原点逆时针旋转45，得到新图形C，试求C的方程解：根据题意，得旋转变换矩阵M，任意选取双曲线x2y21上的一点P(x0，y0)，它在变换作用下变为P(x，y)，则有那么又因为点P在曲线x2y21上，所以xy1，即有(xy)2(yx)21，整理可得2xy1，所以所求C的方程为xy.4已知椭圆：1，试求该曲线绕逆时针方向旋转90后所得到的曲线，画出示意图解：设椭圆与坐标轴的交点分别为A(2,0)，B(0，)，C(2,0)，D(0，)(如图所示)因为绕原点逆时针旋转9

5、0的变换所对应的矩阵为M.所以 ， ， ， .故点A，B，C，D在旋转变换M的作用下分别变为点A(0，2)，B(，0)，C(0,2)，D(，0)，从而椭圆曲线：1在逆时针旋转90后所成的曲线为椭圆曲线 ：1.1若点A在矩阵对应的变换作用下得到的点为(1,0)，求.解：由 ，得(kZ)(kZ)2k(kZ)2设点P的坐标为(1，2)，T是绕原点逆时针旋转的旋转变换，求旋转变换T对应的矩阵A，并求点P在旋转变换T作用下得到的点P的坐标解：由题意知旋转变换矩阵A设P(x，y)，则 即P.3已知曲线C：xy1.(1)将曲线C绕坐标原点逆时针方向旋转45后，求得到的曲线C的方程；(2)求曲线C的焦点坐标和

6、渐近线的方程解：(1)由题设知，M.由 ，得解得代入xy1，得曲线C的方程为y2x22.(2)由(1)知曲线C的焦点为(0,2)，(0，2)，渐近线方程为yx.4求直线yx绕原点逆时针旋转后所得的直线的方程解：直线yx的倾斜角为，绕原点逆时针旋转后所得的直线的倾斜角为，故所求的直线方程为x0.5将抛物线E：y24x绕它的顶点逆时针旋转60，得到曲线E.求曲线E的焦点坐标和准线方程解：已知抛物线y24x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程l：x1.旋转变换对应的矩阵为.设点P(x，y)为变换前坐标系中任意一点，经变换后得到P(x，y)，(1)将x1，y0代入(1)式得由(1)消去y，并将x1代入，

7、得xy2.曲线E仍为抛物线，它的焦点坐标F，准线方程l：xy20.6已知椭圆1经过矩阵M对应的变换作用下变为椭圆1，求变换矩阵M.解：将椭圆1变换为椭圆1，可以伸压变换，可以是反射变换(关于原点成中心反射或关于直线yx与yx成轴对称)，还可以是旋转变换(绕原点旋转90)，其中反射与旋转较为方便，所以矩阵M可以是或或或等7已知椭圆C：x2y2xy3，将曲线C绕原点O顺时针旋转，得到椭圆C.求：(1)椭圆C的标准方程；(2)椭圆C的焦点坐标解：(1)矩阵A，设椭圆C上的点P(x，y)变换后为P(x，y)，则 ，故代入x2y2xy3中，得(xy)2(xy)2(x2y2)3.椭圆C的方程为1.(2)椭圆C的焦点坐标为(0，2)，椭圆C的焦点坐标为F1(，)，F2(，)8已知点A(3,4)，点A绕原点逆时针旋转60后得到的对应点为B，求