高考数学一轮复习 9.9 空间距离教案

1、9.9 空间距离知识梳理1.点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.2.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直线与平面的距离.3.两个平面平行，它们的公垂线段的长度叫做这两个平面的距离.4.两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.5.借助向量求距离（1）点面距离的向量公式平面的法向量为n，点P是平面外一点，点M为平面内任意一点，则点P到平面的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.（2）线面、面面距离的向量公式平面直线l，平面的法向量为n，点M、Pl，平面与直线l间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.平面，平面的法向量为n，点M、P，平

2、面与平面的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.（3）异面直线的距离的向量公式设向量n与两异面直线a、b都垂直，Ma、Pb，则两异面直线a、b间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.点击双基1.ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角ABDC，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为A. B. C. D.1解析：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求.易证CE=1.选D.答案：D2.在ABC中，AB=15，BCA=120，若ABC所在平面外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到的距离是 A.13B.11C.9D.7解析：作PO于点O，连结OA、OB

3、、OC，PA=PB=PC，OA=OB=OC.O是ABC的外心.OA=5.PO=11为所求.选B.答案：B3.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是A. aB. aC. aD. a解析：A到面MBD的距离由等积变形可得.VAMBD=VBAMD.易求d=a.答案：D4.A、B是直线l上的两点，AB=4，ACl于A，BDl于B，AC=BD=3，又AC与BD成60的角，则C、D两点间的距离是_.解析：CD=.答案：5或5.设PARtABC所在的平面，BAC=90，PB、PC分别与成45和30角，PA=2，则PA与BC的距离是_；点P到BC的距离是_

4、.解析：作ADBC于点D，PA面ABC，PAAD.AD是PA与BC的公垂线.易得AB=2，AC=2，BC=4，AD=，连结PD，则PDBC，P到BC的距离PD=.答案： 典例剖析【例1】 设A（2，3，1），B（4，1，2），C（6，3，），D（，4，8），求D到平面ABC的距离.解：设平面ABC的法向量n=（x，y，z），n=0，n=0，即令z=2，则n=（3，2，2）.cosn，=.点D到平面ABC的距离为d，d=|cosn，|=.思考讨论求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量n的坐标，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐

5、标，那么P到平面的距离d=|cosn，|.【例2】 如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、O、O1分别是A1B、AC、A1C1的中点，且OHO1B，垂足为H.（1）求证：MO平面BB1C1C；（2）分别求MO与OH的长；（3）MO与OH是否为异面直线A1B与AC的公垂线?为什么?求这两条异面直线间的距离.（1）证明：连结B1C，MO是AB1C的中位线，MOB1C.B1C平面BB1C1C，MO平面BB1C1C.（2）解：MO=B1C=a，OH是RtBOO1斜边上的高，BO=a，OH=a.（3）解：MO不是A1B与AC的公垂线，MOB1C，AB1C为正三角形，MO与AC成60角.

6、ACBD，ACOO1，AC面BOO1.OH面BOO1，OHAC，OHA1C1.OHO1B，A1C1O1B=O1，OH面BA1C1，OHA1B.OH是异面直线A1B与AC的公垂线，其长度即为这两条异面直线的距离.特别提示在立体几何的计算或证明中，常需要计算直角三角形斜边上的高，据面积关系得它等于直角边的积除以斜边，应作为常识记熟并可直接应用.立体几何问题求解，总体上可分为几何法与代数法，要注意选择最简方法求解.本题（3）利用代数向量方法解答也比较简单.【例3】 如图所求，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点.求：（1）与所成的角；（2）P点到

7、平面EFB的距离；（3）异面直线PM与FQ的距离.解：建立空间直角坐标系，使得D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），则由中点坐标公式得P（，0，）、Q（，0）.（1）=（，0，），=（，a），=（）+0+（a）=a2，且|= a，|= a.cos，=.故得两向量所成的角为150.（2）设n=（x，y，z）是平面EFB的单位法向量，即|n|=1，n平面EFB，n，n.又=（a，a，0）， =（0，a，a），即有得其中的一组解n=（，）， =（，0，）.设所求距离为d，则d=|n|= a.（3）设e=（x1，y

8、1，z1）是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则由=（，0，），=（，a），得求得其中的一个e=（，），而 =（0，a，0）.设所求距离为m，则m=|e|=| a|=a.【例4】 如图，已知二面角PQ为60，点A和点B分别在平面和平面内，点C在棱PQ上，ACP=BCP=30，CA=CB=a.（1）求证：ABPQ；（2）求点B到平面的距离；（3）设R是线段CA上的一点，直线BR与平面所成的角为45，求线段CR的长度.（1）证明：在平面内作BDPQ于D，连结AD.ACP=BCP=30，CA=CB=a，CD公用，ACDBCD.ADC=BDC=90，即ADPQ.于是PQ平面ABD，则ABPQ.（2）

9、解：由（1）知，ADB是二面角PQ的平面角，ADB=60.又PQ平面ABD，平面ABD.过B作BEAD于点E，则BE即为B到平面的距离.BE=BDsin60=BCsin30sin60= a.（3）解：连结ER，BE，BRE是BR与所成的角，即BRE=45，则有BR= a.易知ABD为正三角形，AB=AD=BD=a.在ABC中，由余弦定理得cosBCA=.在BCR中，设CR=x，由余弦定理得（a）2=x2+a22ax，求得x1=，x2=（舍去，CRAC=a），故CR=.闯关训练夯实基础1.平面内的MON=60，PO是的斜线，PO=3，POM=PON=4，那么点P到平面的距离是A. B. C. D

10、. 解析：cosPOM=cosPOHcosMOH，= cosPOH.cosPOH=.sinPOH=.PH=POsinPOH=3=.答案：A2.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，则E到A1B的距离是A. aB. aC. aD. a解析：连结A1E、BE，过E作EHA1B于H，在A1BE中易求EH=a.答案：D3.已知l1、l2是两条异面直线，、是三个互相平行的平面，l1、l2分别交、于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l1与成30角，则与的距离是_；DE=_.解析：由直线与平面所成角的定义及平行平面距离定义易得与间距离为6.由面面平行的性质定理

11、可得=，=，即=.DE=2.5.答案：6 2.54.（B）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则直线DA1与AC间的距离为_.解析：设n=+是A1D和AC的公垂线段上的向量，则n=（+）（）=1=0，=1.又n=（+）（+）=+=0，=1.n=+.故所求距离为d=|AA1|= .答案： 5.ABCD是正方形，边长为7 cm，MNAB且交BC于点M，交DA于点N，若AN=3 cm，沿MN把正方形折成如图所示的二面角AMND，大小为60，求图中异面直线MN与BD间的距离.解：由题意易证MN平面ABD，MN与BD的距离可转化为点N到平面ABD的距离，作NEAD，易证NE平面ABD，故可求N

12、E=.6.已知正方体ABCDA1B1C1D1的边长为a，E、F分别是棱A1B1、CD的中点.（1）证明：截面C1EAF平面ABC1.（2）求点B到截面C1EAF的距离.（1）证明：连结EF、AC1和BC1，易知四边形EB1CF是平行四边形，从而EFB1C，直线B1CBC1且B1CAB，则直线B1C平面ABC1，得EF平面ABC1.而EF平面C1EAF，得平面C1EAF平面ABC1.（2）解：在平面ABC1内，过B作BH，使BHAC1，H为垂足，则BH的长就是点B到平面C1EAF的距离，在直角三角形中，BH=.培养能力7.已知直线l上有两定点A、B，线段ACl，BDl，AC=BD=a且AC与BD

13、成120角，求AB与CD间的距离.解法一：在面ABC内过B作BEl于B，且BE=AC，则ABEC为矩形.ABCE.AB平面CDE.则AB与CD的距离即为B到DE的距离.过B作BFDE于F，易求BF=a.解法二：建系如图，则A（0，0，b），C（a，a，a），D（a，0，0），设AB与CD的公垂线的一个方向向量n=（x，y，z），利用n=0，n=0，求出n，则d=a.8.（2003年东城区一模题）如图，正三棱柱ABCA1B1C1各棱长都等于a，E是BB1的中点.（1）求直线C1B与平面A1ABB1所成角的正弦值；（2）求证：平面AEC1平面ACC1A1；（3）求点C1到平面AEC的距离.（1）解

14、：取A1B1中点M，连结C1M，BM.三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，C1MA1B1，C1MBB1.C1M平面A1ABB1.C1BM为直线C1B与平面A1ABB1所成的角.在RtBMC1中，C1M=a，BC1=a，sinC1BM=.（2）证明：取A1C1的中点D1，AC1的中点F，连结B1D1、EF、D1F.则有D1FAA1，B1EAA1.D1FB1E.则四边形D1FEB1是平行四边形，EFB1D1.由于三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，B1D1A1C1.又平面A1B1C1平面ACC1A1于A1C1，且B1D1平面A1B1C1，B1D1平面ACC1A1.EF平面ACC1A1.EF平面AE

15、C1，则平面AEC1平面ACC1A1.（3）由（2）知，EF平面AC1，则EF是三棱锥EACC1的高.由三棱柱各棱长都等于a，则EC=AE=EC1=a，AC1=a.EF=a.V=V，设三棱锥V的高为h，则h为点C1到平面AEC的距离.则Sh=SEF，即a2h=a2a.h=a，即点C1到平面AEC的距离是a.探究创新9.（2003年南京质量检测题）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，点M在边BC上，AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形.（1）求证：点M为边BC的中点；（2）求点C到平面AMC1的距离.（1）证明：AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，AMC1M且AM=C1

16、M.ABCA1B1C1是正三棱柱，CC1底面ABC.C1M在底面内的射影为CM，AMCM.底面ABC为边长为a的正三角形，点M为BC边的中点.（2）解：过点C作CHMC1，由（1）知AMC1M且AMCM，AM平面C1CM.CHAM，CH平面C1AM，由（1）知，AM=C1M=a，CM=a且CC1BC.CC1= a.CH=a.点C到平面AMC1的距离为a.思悟小结求空间距离的方法可分为直接法、转化法、向量法.1.直接法是直接作出垂线，再通过解三角形求出距离.2.转化法则是把点面距离转化为线面距离，或把线面距离转化为面面距离，再转化为点面距离.3.向量法是把距离求解转化为向量运算.教师下载中心教学

17、点睛首先要让学生理解点到平面的距离、异面直线的距离以及线面距离及面面距离，而后结合题目向学生总结求距离的常用方法，如：直接法、转化法、向量法.对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况.拓展题例【例1】 线段AB与平面平行，的斜线A1A、B1B与所成的角分别为30和60，且A1AB=B1BA=90，AB=6，A1B1=10，求AB与平面的距离.解：如图，作AG于点G，BH于点H，连结A1G、B1H、GH，因为A1AAB，A1GGH.同理，B1HGH.作B1CA1G于点C，则B1C=GH=AB=6，AA1G=30，BB1H=60.设B1H=x，则CG=B1H=x，AG=BH=x，A1G=3x=x+A1C=x+8.所以x=4，AG=BH=4.当A1、B1分居平面AH两侧时，类似可得AG=BH=2.【例2】 （2003年烟台诊断性测试）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分别是AB