大学物理质点动力学

1、,第二章 牛 顿 定 律,一 牛顿第一定律,任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态,直到外,力迫使它改变运动状态为止.,惯性: 物体都具有保持其运动状态不变的性质,物体惯,性的大小反映了物体改变运动的难易程度.,力: 使物体运动状态发生变化的原因,二 牛顿第二定律,物体运动速度远小于光速c:,或,(1) 只适用于质点的运动,(2) 合外力与加速度之间的关系是瞬时关系,(3) 在直角坐标系中:,(4) 质点在平面上作曲线运动,在自然坐标系中:,A,a,三 牛顿第三定律,(1) 作用力和反作用力同时产生,同时存在,同时消失.,(2) 作用力和反作用力分别作用在两个物体上.,(3) 作用力和反作用

2、力总是属于同种性质的力.,2 2 物理量的单位和量纲,1、三个基本量：长度 单位：米 （m） L,质量 单位：千克 （kg） M,时间 单位：秒 （ s ） T,2、导出量：其他由基本量表示的力学物理量都称为导出量，表示为：,量纲式,2 - 3 几种常见的力,（1）万有引力：任何两个物体间都存在着互相作用的吸引力称为万有引力。其数学表达式为：,地面上或地面附近的物体所受地球的引力叫重力 mg ，,（2）弹性力：直接接触的物体间由于形变而产生的力。如绳子张力，两物体互相接触时的正压力与支持力、弹簧的弹力（ ）。,（3）摩擦力：当两物体的接触面间有相对滑动或相对滑动趋势时，在接触面的切向上产生阻碍

3、物体相对运动的力。摩擦力可分为静摩擦力和滑动摩擦力,例：一只猫跳起来想抓住一根用线吊在天花板上的垂直杆子，在此时线断了。假使此猫沿着垂直杆子继续上爬，向上爬的快慢正好使猫离地的高度保持不变，试问该杆向下运动的加速度比 g 大还是比 g 小？（猫的质量为M，杆的质量为m）,答：猫要能向上爬，必定要用爪用力地向下蹬杆子，杆产生一个反作用力N，作用在猫身上，现在猫相对地面高度不变时，即保持静止，作用在猫身上的合力为零，所以N应等于重力 Mg 。,式中， 为静摩擦力； 为最大静摩擦力； 为滑动摩擦力；N为正压力； 为静（滑动）摩擦系数。,既然杆有力N作用在猫身上，则杆也一定受猫的蹬力大小等于N，方向向

4、下，所以杆受到的两个力（mg+N）方向均向下，其向下运动的加速度就大于g 。,2 4 惯性参考系,问题出在：在非惯性系中用了牛顿第二定律,(1) 适用牛顿运动定律的参考系叫做惯性参考系,简称惯性系；反之,叫做非惯性系.,(2) 相对于惯性系作匀速直线运动的参考系都是惯性系.,应用牛顿定律求解质点运动方程的步骤:,(1) 认真分析题意,根据题意作一简图,把所有物理量标出.,(2) 正确选定对象,使用分割物体法.,(3) 受力分析,先找重力,再在其他物体与隔离体接触的地方去找隔离体所受的张力、压力和摩擦力,并把这些力按方向标在隔离图上,不要虚构出力来(追问施力者是谁).,(4) 分析物体运动情况(

5、是静止的还是运动的).,(5) 写出每一个隔离体的牛顿运动方程(矢量的),一般取加速度方向为坐标轴正向(坐标系不能建在加速运动物体上),写出分量式.当方程式数少于末知量数,加速度变换关系式可作为辅助方程.,(6) 解方程.先用符号计算,最后代入数字,以便于检查.,所以,在考虑了惯性系后,牛顿第二定律应理解为,牛顿第二定律应用举例:,一辆质量m=4kg的雪撬,沿着与水平面夹角=36.90的斜坡向下滑动,所受空气阻力与速度成正比,比例系数k未知.今测得雪撬运动的vt关系如图曲线所示.曲线与v轴交点处的切线通过B点,随着t的增加,v趋近于10m/s.求阻力系数k及雪橇与斜坡间的滑动摩擦系数(sin3

6、6.90=0.6,cos36.90=0.8).,解: 画受力图,在直角坐标系下写出牛顿运动方程的分量式,mgsin-mgcos-kv=ma,t=0时,v0=5,a0=(14.8-5)/4=2.45,时,v=10,a=0. 代入上式得,k=ma0 /(v-v0)=1.96 N.s/m,=(mgsin-kv)/mgcos=0.125,所以a表示的是vt曲线上切线的斜率,例: 一细绳跨过光滑的定滑轮，一端挂M，另一端被 人用双手拉着，人的质量m=M/2，若人相对于绳以加速度 a0 向上爬，则人相对于地的加速度（向上为正）是：,（2a0+g)/3,解: 画受力图,对每一隔离体写出牛顿运动方程,M: T

7、-Mg=MaM m: T-mg=mam,末知量T、aM和am共三个,多于方程数 由加速度变换式,am = a0 - aM,联解上面二式得,am = g +2aM,am = (2a0+g)/3,最后解得,a绳地=aM 方向如图所示.,a绳地,所以分量式为,例3：一光滑的劈，质量为 M ，斜面倾角为 ， 并位于光滑的水平面上，另一质量为 m 的小块物 体，沿劈的斜面无摩擦地滑下， 求劈对地的加速度。,解：研究对象：m 、M,设M对地的加速度,受力分析：如图,m 对M的加速度,m 对地的加速度,因此,运动方程：,对m：,对M：,以地为参照系，建立坐标如图,矢量式:,联解后得:,例4：质量为m的子弹以

8、速度 v0 水平射入沙土中， 设子弹所受的阻力与速度反向、大小与速度成正 比，比例系数为 k ，忽略子弹的重力。求：,（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；,（2）子弹进入沙土的最大深度。,解：（1）,根据牛顿第二定律，,等式两边积分,积分得,速度随时间的函数式是,（2）,两边积分,得出子弹进入沙土的最大深度是：,例5：如图所示，已知 F=4N ，m1=0.3kg ， m2=0.2kg ，两物体与水平面的摩擦系数均为0.2 。求物体m2的加速度及绳子对它的拉力（绳子和滑轮的质量均不计）。,解：m1 ，m2的受力情况如图所示，对m1,两个方程有三个（T1，a1，a2）未知数，须增加新方程

9、，一般从加速度之间找新方程。,如右图所示建立 x坐标，轮的坐标为x1，m2的坐标为x2，绳长为L，轮的半径为R，则,等式两边对时间 t 求导, 式联立方程求解，可得,(轮与物体m1的加速度相同）,例6：桌上有一质量M=1 kg的板，板上放一质量 m=2 kg的物体，物体和板之间、板和桌面之间的滑动摩擦系数均为=0.25，最大静摩擦系数均为0=0.30，以水平力F作用于板上，如图所示。求：（1）若物体与板一起以a=1 m/s-2 的加速度运动，试计算物体与板以及板与桌面之间相互作用的摩擦力。（2）若欲使板从物体下抽出，问力F至少要加到多大？,解：（1）物体与板一起运动时，选整体为研究对象，它们对

10、桌面的压力的大小等于重力，即 NM=(m+M)g ，故板与桌面间的摩擦力大小为,由于物体m与板一起以加速度a=1 m/s-2 运动，故物体与板之间的摩擦力大小为,（2）欲使板从物体下面抽出，物体m所受的摩擦力必须达到最大静摩擦力，即 ，并获得最大的加速度 ，板也必须获得不小于 a0 的加速度。板的受力情况如右图所示，对板有,将,代入可得,即欲使板从物体下面抽出，力F至少要加到16.17N 。,例7：绳长为L，摆锤质量为m的一单摆，如图所示，单摆的运动方程 ， 为细线与铅直线所成的角， 和 均为常数，求绳子的张力T。,解：当摆运动到图示角的位置时，小球m受重力及绳子的张力T，取自然坐标，其法向分

11、量的合力,例8:可以看作非弹性金属环组成的均质链条，堆放在 光滑的水平作面上（其堆放体的体积可忽略不计），它的一端从光滑的小孔由静止自由下落，没有进入小孔的链条在桌面上保持静止，试求下落的端点的运动学方程。,解：设链条落下部分的长度为y，只有这一部分有加速度，其余部分仍为静止，根据牛顿定律并注意到此时落下部分质量是变化的，设链条的线密度为 ，则有,即,上式两边同乘以 2y 化简得,即,由题意 y=0时，v=0 积分上式,即,而 ，因此,t=0时，y=0 积分上式,得链条下落端点的运动方程为,例9:一桶内盛水,系于绳的一端,并绕O点以角速度w在 竖直平面内匀速旋转。设水的质量为m，桶的质量为M，

12、圆周半径为R，问w应为多大时才能保证水不流出来？又问在最高点和最低点时绳中的张力为多大？,解：选水为研究对象，水受力如图。,（1）如图，对水受力分析有,令N=0，此时水恰好不能流出来，得,当 时，水不会流出来。,（2）把水和桶看作一个整体，其受力如图：,最高点,最低点,解得最高点和最低点绳中的张力分别是,3 1 质点和质点系的动量定理,一 冲量 质点的动量定理,由牛顿第二定律,积分得：,物体所受合外力的冲量,等于物体动量的增量质点的动量定理,2. 冲量是矢量,其方向为: 1) 恒力的冲量与该力的方向一致. 2) 合外力的冲 量的方向与物 体动量增量的 方向相同.,1. 冲量是力对时间的累积效应

13、.其中力 不一定是合外力,但在动量定理中 一定是合外力.,定义: 为力 的冲量,因此,3. 直角坐标系下分量式,二 质点系的动量定理,将两式相加,得,推广到由n个质点组成的系统,合外力,合内力,总动量,内力总是成对出现,且大小相等,方向相反,其矢量和必为零.因此,或,作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量.,质点系的动量定理,对于无限小的时间间隔,或,3 2 动量守恒定律,=恒矢量,即,动量守恒定律在直角坐标系中的分量式可表示为：,*系统根本不受外力或合外力为零,注意 （1） 动量守恒定律成立的条件：,（2） 系统在某一方向所受合外力为零，系统在该方向动量守恒。（总动量不一定守恒）,（3）

14、 系统的总动量不变是指系统内各物体动量的矢,量和不变，而不是指其中某一个物体的动量不变。,（4）在实际应用中，有时系统所受的合外力虽不为零，,但与系统的内力相比较，外力远小于内力，这时可,略去外力对系统的作用，认为系统的动量的是守恒,的。像碰撞、打击、爆炸等快速的相互作用问题中，,重力、空气阻力以及弹簧的弹性力都可略去不计。,（5）动量定理和动量守恒定律只在惯性系中才成立，,而且各物体的动量必须都应相对于同一惯性系。,（6）动量守恒定律是物理学最基本、最普遍的定理之,一。它在宏观和微观领域中都适用。,解题指导：,（1）求冲量的两种方法：,力 是时间的函数，根据定义式求冲量，即,若不知道 的函数

15、形式，而知道物体的质量及在力作用下物体的初、末速度 ，可根据动量定律求冲量， 即,但要注意： 是两矢量相减，绝对不能用代数相减。,（3）利用动量守恒定律时的注意事项：,（2）利用动量定理可求得作用力的平均值,例、一吊车底板上放一质量为10kg的物体，若吊车 底板加速上升，加速度大小为a=3+5t（SI），则开始 2秒内吊车底板给物体的冲量大小IN= ，开始2 秒内，物体动量增量的大小P=,解: 根据质点的动量定理,垂直向下,mv/t,解: 根据题意,设管壁对水的平均冲力为 ,它是水对管壁平均冲力的反作用力.根据动量原理,分量式为,y: Fy t = mvsin300 m( - v sin300

16、)= mv,x: Fx t = mvcos300 - mvcos300= 0,如图所示,有m千克的水以初速度 进入弯管,经t秒 后流出时的速度为 ,且v1=v2=v,在管子转弯处,水对管壁的平均冲力大小是 ,方向 .(管内水受到的重力不考虑),证: 取如图所示坐标.,设在时刻t已有x长的柔绳落至桌面,此时质点系(柔绳)的总动量为mv其中m=(L-x).根据质点系动量原理的微分形式,代入(1)式得,(1),正是已落到桌面上的绳重量,证毕.,而,例: 如图,矿砂从传送带A落到另一传送带B,已知 v1=4m/s,v2=2m/s.若传送带的运送量qm=2000kg/h,求矿砂作用在传送带B上的力的大小

17、和方向(不计相对传送带静止的矿砂).,解: 研究对象: 时间内落到B上的矿砂,根据质点的动量定理的微分形式,由牛顿第三定律,所求力的大小为2.21N,方向偏离竖直方向10向左下.,力对质点所作的功是:力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积.,恒力的功,变力的功：,3 4 动 能 定 理,一 功,在线元 上变力 对质点所作的元功为,变力 将质点由 a 移动 到b, 所作的总功,1. 在直角坐标系中,此式为变力作功的一般表达式.,2. 若有几个力同时作用在质点上,合力,即,合力对质点所作的功,等于各分力所作的功的代数和,3. 功率,二. 质点的动能定理,a,b,F,dr,质点的动能,用 Ek 表示

18、,则上式为,合外力对质点所作的功,等于质点动能的增量.,10功是能量变化的量度,是一过程量,动能是质点具有作功的本领.,30动能定理只适用于惯性系.,将 称作,20功是力对空间的累积效应,其中的力 不一定是合外力,但动能定理中一定是合外力的功.,解:（1）由运动学方程先求出质点的速度，依题意有,质点的动能为,根据动能定理，力在最初 4 s 内作的功为,功率为,（2）,所以在 t = 1 s 时，力的瞬时功率为,3 5 保守力与非保守力 势能,一 万有引力、重力、弹性力作功的特点,1. 万有引力作功,万有引力作的功只取决于质点m的起始和终点的位置,而与所经过的路径无关.,2. 重力作功,重力作的

19、功只取决于质点m的,起始和终点的位置,而与所经过的路径无关.,3. 弹性力,作功,弹性力作的功只取决于质点m的起始和终点的位置,而与所经过的路径无关.,二 保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式,1. 保守力作功的特点: 保守力作功只与物体的始、末位置,有关,与路径无关.具有相对性.如重力、弹性力和万有引力等.,2. 保守力作功的数学表达式,保守力将质点由 a 沿任意路径移动到 b 再由 b 沿任意路径移回到 a 点,3. 作功与路径有关的力叫做非保守力，也称耗散力.,如摩擦力等.,三 势能,由于保守力作功只与物体的始、末位置有关,为此,引入,势能概念.把与物体位置有关的能量称作物体的势能.

20、,重力势能,引力势能,弹性势能,保守力对物体作的功等,于物体势能增量的负值.,讨论: (1) 势能的相对性,势能的值与势能零点的选取有 关.势能零点可以任意选取,但在上述势能的表达式中,引力势能的零点在无限远处,弹性势能的零点取在弹簧原长时物体的位置.注意:任意两点的势能差具有绝对性.,(2) 当势能的零点确定后(例如在 b 点),质点在任一位置(设为 a 点)的势能,等于把质点由该位置移到势能为零的参考点的过程中保守力所作的功.因为,(3) 势能是属于系统的.例如,重力势能是属于地球和物体组成的系统的,常说物体的重力势能只是为叙述上的方便.,3 6 功能原理 机械能守恒定律,一 质点系的动能

21、定理,设一系统内有n个质点,作用于各质点的力所作的功分别为W1,W2,使各质点由初动能Ek10,Ek20变为末动能Ek1,Ek2,由质点的动能定理可得,W1=Ek1-Ek10,W2=Ek2-Ek20,将各式相加得,W外+W内,系统动能,即,质点系的动能的增量等于作用于质点系的外力的功与内力的功之和 - 质点系的动能定理,二 质点系的功能原理,W内=W保内+W非保内,动能和势能统称机械能,初机械能:,末机械能:,W外+W内,W保内,W外+W非保内,质点系的机械能的增量等于外力与非保守内力作功之和.,质点系的功能原理:,*非保守内力的功,若把M、m看成一系统,则 摩擦力 、 和正 压力 、 都是系

22、统的内 力,以摩擦力 和 为例,计算非保守内力的功.,由于内力总是成对出现,上式可用来计算一般内力作功.,W外+W非保内=E E0,注意：,范围：惯性系、宏观低速运动（只有动量守恒、 角动量守恒、能量守恒对宏观、微观都适用）,10 各定理、定律的表达式，适用条件，适用范围。,三 机械能守恒定律,则有,当作用于质点系的外力和非保守内力不作功时,质点系的总机械能保持不变.-机械能守恒定律,(1) 质点系机械能守恒条件:,(2) 机械能守恒是指质点系内的动能和势能之和保持不,变,但动能和势能之间可以相互转换,这种转换是通过,质点系内的保守力作功来实现的.,若 W外+W非保内= 0,W外+W非保内 =

23、 0,40 有些力学问题涉及临界现象（如弹簧下面的板刚好提离地面，小球刚好脱离圆形轨道，木块刚好不下滑等）,解题时先建立运动满足的方程，再加上临界条件（往往是某些力为零或 v 、a 为零等）,50 特别注意用高等数学来解的问题，凡有极值问题要用求导的方法。,动能定理,机械能守恒定律,功能原理,解决问题的思路按此顺序倒过来， 首先考虑用守恒定 律解决问题。 若要求力的细节则必须用牛顿第二定律。,30 有些综合问题，既有重力势能，又有弹性势能，注意各势能零点的位置，不同势能零点位置可以相同， 也可以不同。,20 由牛顿第二定律推出：,动量定理,动量守恒定律,3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞,（

24、1）完全弹性碰撞：在碰撞后，两物体的动能之和完全没有损失的碰撞。,（2）非弹性碰撞：在两物体碰撞时，由于非保守力作用，致使机械能转换为热能、声能、化学能等其他形式的能量，或者其他形式的能量转换为机械能，这种碰撞就是非弹性碰撞。,（3）完全非弹性碰撞：两物体在非弹性碰撞后以同一速度运动的这种碰撞。,碰撞问题的特点是：碰撞瞬间外力冲量可被忽略，碰撞前后的动量守恒。,3-8能量守恒定律,对于一个与自然界无任何联系的系统来说，系统内各种 形式的能量是可以相互转化的，但是不论如何转化， 能量既不能产生，也不能消灭。能量守恒定律,例、在光滑的水平桌面上，固定着如图所示的半圆 形屏障,质量为 m 的滑块以初

25、速V1 沿屏障一端的切线方向进入屏障内滑块与屏障间的摩擦系数为 . 求：当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力对它所作的功,俯视图,解：研究对象 滑块,建立坐标：自然坐标,运动方程：,法向 切向,联立：,分析：变力作功， 用动能定理必须先找出末态的V2,请思考：能否 在此分离变量 ，积分？,受力分析：,因合外力的功只有摩擦力的功, N 不作功，根据动能定理,由于末态的时刻 t 未知,然而末态时物体走过的路程 S 为 已知,所以在微分形式时就应进行变量代换,即,例：一质量M=10kg 的物体放在光滑的水平桌面 上，并与一水平轻弹簧相连，弹簧的弹性系数 k=1000 N/m 。今有一质量 m=1 kg

26、的小球以水平速度 v0=4m/s 飞来，与物体M相撞后以v1=2m/s 的速度弹回。 试问：,（1）弹簧被压缩的长度为多少？,（2）小球m与物体M的碰撞是完全弹性碰撞吗？,（3）如果小球上涂有黏性物质，相撞后可与M粘在一起，则（1）、（2）所问的结果又如何？,解：碰撞过程物体、弹簧、小球组成系统的动量守恒,（1）对物体M应用动能定理,所以弹簧被压缩的长度为：,（2）,碰撞中动能有损失，说明是非弹性碰撞,（3）小球与物体碰撞后粘在一起，以共同的速度u 运动。根据动量守恒定理，有,根据动能定理，有,此时，弹簧被压缩的长度为 x=0.04m,碰撞为完全非弹性碰撞。,例: 如图所示,已知m、M、h和k

27、以及小球的水平初速 , 小球与平板PQ的碰撞为弹性碰撞,求弹簧的最大压缩量?,解: 小球刚要与PQ碰撞时的速度 竖直方向: vy = (2gh)1/2 水平方向: vx = v0,以m和M为一系统,碰撞时满足动量守恒和动能守恒,联解得:,竖直:,水平:,例: 己知m1=10kg, 链条质量m=10kg, 长 l=40cm.开始时 l1=l2=20cm l3, 速度为零,不计摩擦及绳与滑轮的 质量,绳不伸长,求当链条全部滑到 桌面上时,系统的速度和加速度.,(其中 y0=Mg/k),解得弹簧的最大压缩量,碰撞后,以地球、弹簧和木板为一系统,机械能守恒, 设木板下降y为最大压缩量,则,解: 将地球

28、、m和m1作为一系统,则系统的机械能守 恒.设m1开始在桌面下 l0 处, 后来下降了x, 若设桌面 处重力势能为零,则有,将v对t求导,得,将x=l1代入,解得,1. 质量为0.25kg的质点,受力 (SI)的作用.t=0时该质 点以 的速度通过坐标原点,则该质点任意时刻的位置矢量是 .,水平: Fcos-f=ma (f= N) 竖直: N+Fsin-mg=0,联解得: a=F(cos+ sin)/m- g,令 da/d=0时a有最大值,解得: -sin+ cos=0 即,t g =,N,水平: N - Fcos300=0 竖直: Fsin300 G f 0 (f=N),联解得: (F 2G

29、)/ F,f,法向: mgcos N = man 切向: mgsin = mat,mg,N,该方程组 只能求出at, an由于N未知因而不能求出,利用机械能 守恒定律, 0= - mgR(1 - cos)+mv2/2 以及an=v2/R可得an,5. 水星半径是地球半径的0.4倍，质量为地球的0.04倍， 地球上重力加速度为g ，则水星表面的重力加速度是,0.25g,6、一质点在如图所示的坐标平面内作 圆周运动，有一力 作用在质点上，在该质点从坐标原点运动到（O，2R）位置的过程中，力 对它所作的功为：,a1 = GM1/R 12 = G0.04M2/(0,4R2)2=0.25GM2/R22,

30、7. 一质点在力F=5m(5-2t) (SI)的作用下,从静止开始(t=0) 作直线运动,式中m为质点的质量.当t=5s时,质点的速率为 .,0,8. 静水中停泊着两只质量均为M的小船.甲船上质量为m 的人以水平速度v跳到乙船,然后又以方向相反的速度v跳 回甲船上.此后(1) 甲船的速度 v1= . (2) 乙船的速度 v2 = . (水的阻力不计,所有速度都相对地面而言),第一次,甲船和人: 0=mv+MV1 乙船和人: mv=(m+M)V2 第二次, 甲船和人: -mv+MV1=-mv-mv=(m+M)v1 乙船和人: (m+M)V2 =-mv+Mv2,-2mv/(m+M),2mv/M,9. 外力F通过不可伸长的绳子和一倔强系数k=200N/m的 轻弹簧缓慢地拉地面上的物体.物体的质量 M=2kg,忽略滑