四边形的性质及证明

1、儒洋教育学科教师辅导讲义教学目标综合运用平行四边形、特殊的平行四边形和三角形的有关知识进行四边形或多边形的有关证明重点、难点考点及考试要求教学内容四边形知识点详解：一、多边形多边形的内角和：多边形内角和等于多边形的外角和：多边形外角和等于3600过n边形的一个顶点共有(n3）条对角线，n边形共有条对角线过n边形的一个顶点将n边形分成(n2)个三角形二、平行四边形1平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平行”2.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离两条平行线间的距离

2、是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等3平行四边形的性质： 文字表达：平行四边形的两组对边分别平行； 平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等； 平行四边形的对角线互相平分 符号语言表达： 四边形ABCD是平行四边形 4平行四边形的判定： 文字表达： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 符号语言表达： ABCD，BCAD四边形ABCD是平行四边形 AB=CD，BC=AD四边形ABCD是平行四边形 A

3、B平行且相等CD或BC平行且相等AD四边形ABCD是平行四边形 OA=OC，OB=OD四边形ABCD是平行四边形 ABCADC，DABDCB四边形ABCD是平行四边形三、矩形、菱形、正方形1、菱形的性质：菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角具有平行四边形所有性质2菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形3矩形的性质：矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等矩形具有平行四边形的所有性质4矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形5正方形的性质：正方形的四

4、个角都是直角，四条边都相等正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角6正方形的判定：有一个角是直角的柳是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形对角线相等的菱形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形四、梯形1定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形两腰相等的梯形叫等腰梯形一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形2、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个角相等;等腰梯形的对角线相等3等腰梯形的判定：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形4等腰梯形常见的作辅助线的方法 （1）作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形。 （2）平移一腰，将等

5、腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形 （3）平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形。 （4）如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点。五、中位线 定义；几何证明中经常用到中位线。六、平面向量定义：要素加减法则。七、常见辅助线用语：1、 连结XX延长XX至X，使XX=XX延长XX与XX，交于点X2、 过点X作XXXX3、 过点X作XXXX于X巩固练习：一、填空题1六边形共有（ ）条对角线.2一个多边形内角和为540，则其边数为（ ）.3一个多边形每一个外角都是30，则这个多边形是（ ）边形.4从凸n边形一个顶点出发，有（ ）条对角线.5一个多边形的边数正好等于

6、这个多边形对角线的条数，则边数为（ ）.6任意多边形的外角和为（ ）度.二、选择题（把正确答案的序号字母填入括号中）1一个凸n边形的n个角中，至多有几个角是锐角.结论应该是至多有（ ）个.（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）不能确定2一个凸多边形内角和900，则这个多边形边数为（ ）条.（A）8 （B）5 （C）7 （D）103如果从一个凸多边形的一个顶点出发，一共有17条对角线，则这个多边形内角和为（ ）.（A）1800 （B）2400 （C）3240 （D）42064平行四边形对角线将其分成全等三角形（ ）对.（A）2 （B）3 （C）4 （D）5三、求解题1一个多边形的内角和是其外

7、角和的2倍，求边数.2多边形每一个内角都是150，求对角线的条数.3两个角的两边分别垂直，且一个角是另一个角的4倍还少30，求这两个角的度数.4一个多边形的各内角都相等，且内外角之差的绝对值为60，求边数.5一个多边形的内角和与其一个外角的总和为1350，求边数.6多边形的一个外角与其余各内角和为600，求边数.提高练习：一、选择题1能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（ ）（A）ABCD，AD=BC; （B）A=B，C=D; （C）AB=CD，AD=BC; （D）AB=AD，CB=CD2在ABCD中，A、B的度数之比为54，则C等于（ ）A.60B.80C.100D.1203平行四边行的

8、两条对角线把它分成全等三角形的对数是（ ）A.2B.4C.6D.84平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（ ）A外角和等于360 B对角线互相平分C内角和等于360 D有两条对角线5用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰三角形 等边三角形，一定能拼成的图形是（ ） A、 B、 C、 D、6小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 ，使得四边形ABCD是菱形。小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是（ ）A、小明、小亮都正确 B、小明正确，小亮错误C、小明错误，小亮正确 D、小明、小亮都错误7

9、下面性质中菱形有而矩形没有的是（ ）（A）邻角互补（B）内角和为360（C）对角线相等 （D）对角线互相垂直8正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）（A）四条边相等 （B）对角线互相垂直平分（C）对角线平分一组对角 （D）对角线相等 9下列命题中，真命题是（ ）A、有两边相等的平行四边形是菱形 B、有一个角是直角的四边形是直角梯形C、四个角相等的菱形是正方形 D、两条对角线相等的四边形是矩形10如图10，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，那么它的四个内角按一定顺序的度 数比可能为（ ）A、3:4:5:6 B、4:5:4:5 C、2:3:3:2 D、2:4:3:3二.填空题1在中，则度2

10、在中，两邻边的差为4cm，周长为32cm，则两邻边长分别为_3在中，则的周长为_cm4已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是_cm5等腰梯形的上底是10cm，下底是14cm，高是2cm，则等腰梯形的周长为_cm6对角线长为10 cm的正方形的边长是_cm，面积是_ cm2。7若菱形的周长为24 cm，一个内角为60，则菱形的面积为_ cm2。8如图，已知ADBC，要使四边形ABCD为平行，四边形需要增加一个条件是：_。三.解答题1在一个平行四边形中若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长是多少？2如图，中，E为BC上一点，于，求的度

11、数3.已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，B=60，C=30，AD=2，BC=8。求：梯形两腰AB、CD的长。ABCD4. 如图，在四边形中，点是线段上的任意一点（与不重合），分别是的中点（1）证明四边形是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若，且，证明平行四边形是正方形BGAEFHDC5. 已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF（1）求证：BE = DF；DA（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论FOCEB6已知：如图，ABCD中，点E、F分别在CD、AB上，DFBE

12、，EF交BD于点O求证：EO=OF7.如图，已知四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是菱形8.如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BEAC于E，CFBD于F. 求证：BE=CF. 9. 如图，为直角，点为线段的中点，点是射线上的一个动点（不与点重合），连结，作，垂足为，连结，过点作，交于（1）求证：；（2）在什么范围内变化时，四边形是梯形，并说明理由；ABCDFEM（3）在什么范围内变化时，线段上存在点，满足条件，并说明理由10. 如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，AEAC，AE与CD相交于FAFDECB求证：CE

13、CF11. 如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，且CECA，直线EC交DA延长线于F求证：AEAF.EDACBF课后练习一、填空（每题3分，计15分）1若n边形的每一个内角都是120，则边数n为_。2平行四边形的周长为100cm，两邻边之差为30cm，则平行四边形较短的边长为_。3菱形两邻角之比为15，高为1.5cm，则菱形的周长为_。4一直角梯形ABCD，ADBC，B=90，AB=5，两底差为12，则另一腰为CD=_。5菱形两对角线长分别为24cm和10cm，则菱形的高为_。二、选择题（每题3分，计15分）1下列各条件中，能判断四边形是平行四边形的是（ ）A一组对角相等 B两条对角线互相

14、平分C一组对边相等 D两条对角线互相垂直2下列命题中正确的是（ ）A对角线相等的四边形是矩形； B对角线互相平分且相等的四边形是矩形C对角线垂直的四边形是矩形； D对角线相等且垂直的四边形是矩形3下列图形中，是轴对称图形图形，而不是中心对称图形是（ ）A等边三角形 B平行四边形 C矩形 D菱形4下列命题中，真命题是（ ）A四边相等的四边形是正方形； B四角相等的四边形是正方形C对角线相等的菱形是正方形； D对角线垂直的平行四边形是正方形5在ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DEAB交AC于点E，DFAC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（ ）A5 B10 C15 D20三、解答题（第1、2题11