第九届数学应用知识竞赛试题详细解答

1、1(1)已知王老师跑步2000米，散步800米，共用20分钟。由于假设王老师跑步的速度和散步的速度均保持不变，所以王老师跑步20002=4000(米)，散步8002=1600(米)，共用时 202=40(分钟)。 又已知 王老师跑步1000米，散步1600米，共用时25分钟，所以王老师跑步4000-1000=3000(米)，用时40-25=15(分钟)， 即王老师跑步的速度为300015=200(米分钟) 答：王老师跑步的速度为200米分钟。 (2)因为王老师跑步2000米，散步800米，共用时20分钟，所以王老师散步800米，用时 答：王老师散步800米用时10分钟2（6分）分析：小三角形如

2、右图重新摆放后，可知解：小三角形面积大三角形面积4120430（平方米）3、（7分）2.解法一： 由题意得这两辆汽车的刹车距离分别满足如下的关系式： 1215，1112，分别求解这两个不等式，得3035，1245.可见，A车无责任，B车应付责任。 解法二：如果=40km/h，则可以算得=20m,=10m。由于A车实际刹车距离没有超过它按限速行驶的刹车距离=20m；而B车实际刹车距离超过了它按限速行驶时的刹车距离=10m。可见A车无责任，B车应付责任。4.解：假设小晰蜴从15cm长到20cm，体形是相似的。这时晰蜴的体重正比于它的体积，而体积与体长的立方成正比。记体长为l的晰蜴的体重为，因此有

3、合理的答案应该是35g。5.分析与解 把参赛的五个球队看成平面上不在同一条直线上的五个点，并且没有3个点在一条直线上。这样每两队比赛了1场，就可以用相应的两点间连一条线段来表示。根据各队比赛过的场次可画成图55。从上图不难看出，E队赛了2场。答：E队赛了2场。6.解：把该沿海城市地图上的7个县分别编号为A、B、C、D、E、F、G（如图5）。为了便于观察，可以把图5改画成图6（相邻关系不改变）。我们不妨按A、B、C、D、E、F、G的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色，根据乘法原理，共有5433333=4860（种）不同的染色方法。说明：应用乘法原理来解本题，要谨防遗漏。为了避免遗漏，就应

4、适当选择染色的顺序。或许有的选手会问：既然要讲究染色的顺序。那么“按A、B、C、D、E、F的顺序”前又怎么可以加“不妨”二字呢？对了，我们这里所说的“适当选择染色顺序”，不是说染色方法与染色顺序有关，而是说选择某些染色次序很可能算错。比如说，如果我们选择B、C、G、D、A、E、F的染色顺序，那么，根据乘法原理算得的结果是5443233=4320（种）。这当中遗漏了540（种），为什么会遗漏呢？因为在给B、C染色之后，再给G染色时，没有分“G与B同色”、“G与B不同色”两种情况。举个简单的例子，如图7，如果按的顺序染色，容易误算为5442=160（种），而实际上，应分两种情况：（1）与同色时有5

5、413=60（种）染法（2）与不同色时，有5432=120（种）染法7（7分解：由于这七项工作的操作有一定的先后次序，因此全部的工作就可以由一个有向图表示出来如果用图的顶点表示各项工作（我们用顶点的标号来区分），用顶点之间的有向连线表示各项工作之间完成和开始的先后次序就得到下面的工程网络图图中s表示开始，e表示任务结束，顶点旁的数字表示该项任务所需要的时间从图上可以看到，在全部工作流程中，、的先后次序是相互衔接的，所需要的总时间为4+3+2=9周这是一个不可能再缩短的流程，因此它是完成这项任务所需要的最短的时间其它的工作可以穿插于这九周时间内适当的时间完成据此，可以得到如下的工作流程：完成这项

6、任务的计划安排是： 第一周向主管部门打报告取得批准，并且同时争取商业界的广告资助； 第三周拿到批件后开始申请所需的活动经费并且着手租借场地； 第五周在前三项工作完成的基础上着手聘请演员； 第八周开始印制节目单和发布演出活动的广告； 第九周末完成任务8解：因为 T(0)=21.1+aek0=32.6， 所以 a=11.5又因为 T(1)=21.1+11.5ek1=31.4， 所以 ek=103115所以 k=ln115ln1030.110，所以 T(t)=21.1+11.5e0.110t当T=37时，有21.1+11.5e0.110t =37，得t 2.95小时 2小时57分设死者被害时刻为Td

7、。所以Td =8小时20分2小时57分=5小时23分即死亡时间大约在下午523，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外9、解：（1）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，则依题意有，又由已知条件，于是有，所以 7分（2）根据（1），我们有21200极小极大故时，达到极大值因为，所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大14分10（5分）一个活动性较强的细菌每经过10秒就分裂为一个活动性较强的与一个活动性较弱的细菌，而一个活动性较弱的细菌每经过20秒就分裂为两个活动性较弱的细菌。问：一个活动性较强的细菌，经过60秒可繁殖多少个细菌?答：一个活动性较强的细菌经过60秒可繁殖15个细菌

8、。11 分析与解 如果这样去想，第一轮512名运动员参赛，要赛256场；第二轮256名运动员参赛，要赛128场；直到决赛出第一名为止，再将各轮比赛场次加起来，计算出一共要比赛多少场。这种方法是可以的，不过太复杂了。如果按下面的思路思考，那就简单得多了。根据题中所说，比赛采取淘汰制，每比赛一场淘汰掉1人，到最后决赛得出第一名，只有这第一名未被淘汰。也就是说，512名运动员参赛，有511人被淘汰。淘汰一个人就要赛一场，所以这次乒乓球比赛一共要进行511场比赛。答：这次乒乓球比赛，一共要比赛 511场。12.解：（1）描点作图，设x表示时间，y表示水深。 （2）由题目条件，水深至少为5.5米时才能保

9、证货船驶入港口的安全。为此在上图中做一条y=5.5的水平直线a。图象在a止方时，其对应的x范围为货船驶入港口的安全时间段，从图中可以看出，这个时间段约为0:30到5:40分，或13:00到18:20（有10分钟左右的偏差可以算对），在港口停留的时间大约为5小时。 也可以用线性插值方法，在已知点中，若相邻两点在直线a的异侧，设加在它们中间且过直线a的点与它们共线。于是 利用点（0，5）和（1，6.2），得=（5.5-5）/（6.2-5）=0.417，对应的时间为0:25；利用点（5，6.5）和（6，5.3），得=5.83，对应的时间为5:50。由此得到第一个满足条件的时间段约为0:25-5:50

10、。 同理，利用点（12,4.4）和(13,5.6)，得=12.92,对应的时间为12:55；利用点（18,5.9）和(19,4.4)，得=18.27，对应的时间为18:16。由此得到第二个满足条件的时间段约为12:55-18:16。 （3）2:00时水深为7.1米，船需要的安全水深随着卸货时间的变化公式为：y=5.5-0.3(x-2); 其中2x5.83，此处利用了插值的结果。在上面的函数图象中画出该图象，看出与原图象的交点大约在7:00左右（有10分钟左右上午偏差可以算正确），故知在7:00以前该货船一定要离开码头驶到较深的安全水域。 注： 此处也可利用(6,5.3),(7,4.1)做线性插

11、值，得y=-1.2x+12.5与y=5.5-0.(x-2),联立可求得x=7.1,即7:06;若利用(7,4.1),(8,3.1)做线性插值，得y=-x+11.1与y=5.5-0.3(x-2)联立可求得x=7,即7:00.这些做法与看图得到的结果一致。13（6分）两人相约在7点到8点在某地会面，先到者等候另一个人20分钟方可离去. 试求这两人能会面的概率？14易知Vr2h，设材料比重为，侧面材料厚度为b，则用料为A2rhb2r22bp这样，r与h之比是14时，用料最少1(1)行驶12公里，由题设按12.5公里计价，车费为10.41.6(12.54)24(元)，等候3分钟，由题设按2.5分钟计价，等候费为合