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文档简介

1、第十章 差分方程在经济与管理及其它实际问题中,许多数据都是以等间隔时间周期统计的. 例如,银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息,国民收入按年统计等等. 通常称这类变量为离散型变量. 描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型,差分方程是研究它们之间变化规律的有效方法.本章介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法,差分方程在经济中的简单应用,与微分方程类似.10.1 差分方程的基本概念一、差分设函数,当自变量取离散的等间隔整数值,则相应的函数值列为简记为即.定义1 设函数,当自变量从变到时,相应的函数值的改变量称为函数在处的一阶差分,记作.按一阶差分的定义,可以定义函数的高阶差分

2、.定义2 函数在处的一阶差分的差分称为函数在处的二阶差分,记作,即.依次定义函数在处的三阶差分为 .一般地,函数在处的阶差分定义为.二阶以及二阶以上的差分称为高阶差分.例1 设,求.解 ,注意 二阶差分也可由公式计算. 二、差分方程最常见的两类差分方程:例1(等差数列)公差为的数列,满足, (1)通项, (2) 例2(等比数列) 公差为的数列,满足, (3)通项, (4)方程(1),(3)就是差分方程,(2),(4)分别是它们的解.定义3 含有自变量,未知函数以及未知函数差分的函数方程,称为差分方程.差分方程中,未知函数最大下标与最小下标之差(或含有差分的最高阶数)称为差分方程的阶.定义4 阶

3、差分方程一般形式 (5)或 (6)其中,(5)式中的在方程中一定出现,(6)式中的在方程中一定要出现.注意 在一个差分方程中由(5)式定义的阶数与将该方程化为(6)的形式后所定义的阶数不一定相同.例如,差分方程按(5)式应是二阶差分方程,由于 ,因此该方程可化为.按(6)式定义应为一阶差分方程,所以今后讨论差分方程的阶数按(6)式的定义.例3 判断下列差分方程的阶数.(1) (2)(3) (4).解 方程(1),(2),(3)都是二阶差分方程,实质是同一差分方程.方程(4)含有三阶差分,但可化为因此,它是二阶差分方程.定义5 若阶差分方程可以表为如下形式 (8)则称为阶线性差分方程,其中和均为

4、自变量是的已知函数.且, 当时,方程(8)称为阶非齐次线性差分方程.当时, (9)称为阶齐次线性差分方程,或方程(8)对应的齐次方程.例如,方程是二阶非齐次线性差分方程,而 是对应的齐次方程.三、差分方程的解定义6 任何代入差分方程后使其成为恒等式的函数,都称为该差分方程的解.定义7 若在差分方程的解中,含有与该方程的阶数相同的个数且相互独立的任意常数,则称这个解为差分方程的通解.通解中给任意常数以确定值的解,称为该差分方程的特解. 确定通解中任意常数的条件,称为初始条件或定解条件.例4 设差分方程,验证是差分方程的通解,并求满足的特解.解 将代入方程,左边=右边,所以是方程的解,该方程是一阶

5、差分方程,且含一个任意常数,故为方程通解.将代入,得,即为所求特解.注 微分描述变量变化的连续过程,差分描述变量变化的离散过程,两者之间的关系如下: 所以,差分方程与微分方程在概念、解的结构及求解方法等很多方面相似. 下面以二阶常系数线性差分方程为例.定义8 二阶常系数线性差分方程的一般形式为, (10)其中为常数,且,为的已知函数. 当时,方程(10)又称为二阶常系数非齐次线性差分方程.当时, (11)称为二阶常系数齐次线性差分方程或方程(10)对应的齐次方程.定理1 若函数,是二阶齐次线性差分方程(11)的解,则,也是该方程的解,其中、为任意常数.定理2(齐次线性差分方程解的结构定理) 若

6、函数,是二阶齐次线性差分方程(11)的线性无关特解,则是该方程的通解,其中、为任意常数.定理3(非齐次线性差分方程解的结构定理) 若是二阶非齐次线性差分方程(10)的一个特解,是齐次线性差分方程(11)的通解,则差分方程(10)的通解为.定理4(解的叠加原理) 若函数,分别是二阶非齐次线性差分方程与的特解,则是差分方程的特解.注 上述解的结构定理,可推广到任意阶线性差分方程.习题10.11求下列函数的一阶、二阶差分: (1); (2);(3); (4).2改写下列差分方程,并指出阶数: (1); (2);(3); (4).10.2 一阶常系数线性差分方程定义1 一阶常系数线性差分方程的一般形式

7、为 (1)其中常数,为的已知函数.当时,方程(1)称为一阶常系数非齐次线性差分方程;当时, (2)称为一阶常系数齐次线性差分方程或方程(1)对应的齐次方程.一、一阶常系数齐次线性差分方程由,得,.设为任意常数,则方程(2)的通解为.注意 实质是公比的等比数列通项特别地,当时,方程(2)的通解为,.例1 求差分方程 的通解.解 由于,所以方程通解为,例2 求差分方程 的通解.解 方程变形为,由于,所以方程通解为,.二、一阶常系数非齐次线性差分方程求解步骤:(1)求出对应齐次方程的通解;(2)求出非齐次方程的一个特解;(3)写出非齐次方程的通解.注 关键确定非齐次方程的特解,下面介绍常见两种类型的

8、求特解的方法.1型其中为次多项式.方程的特解形式为系数参数特解形式其中为待定且与已知同为次多项式.例3 写出下列差分方程的特解形式(1); (2);(3).解 (1)由于,为二次代数多项式,故特解设为(2)由于,为一次代数多项式,故特解设为(3)方程化为,由于,为一次代数多项式,故特解设为例4 求差分方程的通解.解 由于,所以齐次差分方程的通解为又由于为二次代数多项式,因此非齐次差分方程的特解为,代入原方程,得,比较系数,得,故特解为,于是,所求通解为 (为任意常数). 2型.其中为非零常数.方程的特解形式为系数参数特解形式例5 写出下列差分方程的特解形式(1); (2); (3).解 (1)

9、由于,故特解设为.(2)由于,故特解设为.(3)方程化为,由于,故特解设为.例6 求差分方程的通解.解 由于,齐次差分方程的通解为,非齐次差分方程特解为,代入原方程,得,比较系数,得,故特解为,于是,所求通解为 (为任意常数).例7 求差分方程满足的特解.解 已知,所以齐次差分方程的通解为,非齐次差分方程的特解设为,代入原方程,得,比较系数,得,故特解为,于是,所求通解为,(为任意常数)由,得,故所求特解为.习题10.21求下列差分方程的通解或特解: (1); (2);(3); (4);(5); (6);(7),; (8),. 10.3 二阶常系数线性差分方程二阶常系数非齐次线性差分方程的一般

10、形式为 (1)其中为常数,且,为的已知函数,其对应的齐次方程为 (2)一、二阶常系数齐次线性差分方程由解的结构定理,求解方程(2)关键是找它的两个线性无关的特解,显然符合方程(2)的系数特点,将其代入方程(2)有因为,所以 (3)定义1 方程(3)称为方程(2)的特征方程,特征方程的根称为特征根.可见,若是方程(2)的解的充要条件是为其特征根.与微分方程类似,二阶常系数齐次线性差分方程求解步骤:(1)写出它的特征方程;(2)求出特征方程的两个特征根;(3)根据下表,写出该方程的通解.特征根方程的通解形式(其中,),当时,例1 求差分方程的通解.解 特征方程为,特征根为,则该方程通解为 (,为任

11、意常数).例2 求差分方程的通解.解 特征方程为,特征根为,则该方程通解为 (,为任意常数).例3 求差分方程的通解.解 特征方程为,特征根为,则令,由,得,所以原方程的通解为 (为任意常数).二、二阶常系数非齐次线性差分方程求解步骤:(1)求出对应齐次方程的通解;(2)求出非齐次方程的一个特解;(3)写出非齐次方程的通解.注意 关键是确定非齐次方程的特解形式,常见形式如下表的形式确定特解的条件特解的形式 是次多项式不是特征根是单特征根是重特征根令不是特征根是单特征根是重特征根其中为待定的与已知的为同次的多项式.注 该表也适用于高阶常系数非齐次线性差分方程求特解.例4 求差分方程的通解.解 特

12、征方程为,特征根为,,故对应的齐次方程通解为 (,为任意常数)又由于,其中是单根,故特解设为,代入原方程,化简得 比较系数,得,,从而特解为,故所求通解为(,为任意常数).例5 求差分方程的通解.解 特征方程为,特征根为,故对应的齐次方程通解为 (,为任意常数),又由于,其中为二重根,故特解设为,将其代入差分方程,得,解得,于是特解为,所求通解为 (,为任意常数).例6 求差分方程满足初值条件,的特解.解 特征方程为,特征根为,因为,由,得,所以齐次差分方程的通解为,又由于,其中不是特征根,故特解设为,将其代入差分方程得,从而,于是特解为,所以原方程通解为,将分别代入上式,解得,,故所求特解为

13、.习题10.31求下列差分方程的通解 (1); (2);(3); (4);(5); (6).2求下列差分方程的通解或特解 (1),; (2);(3),; (4) (5), (6)10.4 差分方程在经济学中的应用一、筹措教育经费模型某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行,用于投资子女的教育,并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元,直到10年后子女大学毕业用完全部资金. 要实现这个投资目标,20年内共要筹措多少资金?每月要向银行存入多少钱?假设投资的月利率为0.5%.设第个月投资帐户资金为元,每月存入资金为元. 于是,20年后关于的差分方程模型为 (1)并且.解方程(1),

14、得通解由得因此,由有 从而有从现在到20年内,满足的差分方程为 (2)且解方程(2),得通解以及从而有即要达到投资目标,20年内要筹措资金90 073.45元,平均每月要存入银行194.95元.二、价格与库存模型设为第个时段某类产品的价格,为第个时产品的库存量,为该产品的合理库存量. 一般情况下,如果库存量超过合理库存,则该产品的价格下跌,如果库存量低于合理库存,则该产品的价格上涨,于是有方程 , (3)其中为比例常数. 由(3)式可得 (4)由(4)-(3)可得 (5) 又设库存量的改变与产品销售状态有关,且在第时段库存增加量等于该时段的供求之差,即 (6)若设供给函数和需求函数分别为,代入到(6式得,再由(5)得方程 (7)设方程(7)的特解为,代入方程得,方程(7)对应的齐次方程的特征方程为,解得,于是若,并设,则方程(7)的通解为,为两个任意实数.若,则为两个实根,方程(7)的通解为,由于,则当时,将迅速变化,方程无稳定解

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