第9章第1-2节图形的旋转;中心对称

1、年级八年级学科数学版本江苏科技版课程标题第9章第1-2节图形的旋转；中心对称与中心对称图形编稿老师王长远一校杨雪二校黄楠审核张伟一、考点突破1. 理解并掌握旋转的性质，会利用“旋转不变性”以及旋转前后图形的特点来解题；2. 理解并掌握平移的性质，能够利用平移的特点来作图或者解决相关问题；3. 理解并掌握中心对称的性质、判定及其应用，并能够利用中心对称的特点熟练掌握关于原点中心对称的点的坐标特点二、重难点提示重点：平移、旋转的性质及其应用，中心对称的性质及其应用。难点：灵活利用平移、旋转、中心对称的相关定理解决实际问题。微课程1：图形的旋转【考点精讲】考点1：旋转的决定要素：考点2：旋转的性质：

2、（1）旋转性质1：“旋转不变性”：文字语言：旋转前、后的图形全等，（旋转不改变图形的大小和形状），即对应线段相等，对应角相等。符号语言：是由ABC绕点O旋转得到的 ABC （2）旋转性质2：文字语言：对应点到旋转中心的距离相等。符号语言：是由ABC绕点O旋转得到的 （3）旋转性质3：文字语言：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。（图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度。）符号语言：是由ABC绕点O旋转得到的 （4）旋转性质4：文字语言：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。定理证明：DEF是由ABC绕点O旋转得到的 OBOE（对应点到旋转中心的距离相等） O在线段BE的垂直平

3、分线上（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） 同理：O在线段AD的垂直平分线上 两对应点连线的垂直平分线交点即为旋转中心说明：此定理一般应用于找“旋转中心”。考点3：旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形。说明：所有的中心对称图形都是旋转对称图形。同学们，下面这些图形都是旋转对称图形吗？什么样的图形一定是旋转对称图形呢？ 考点4：旋转变换作图：旋转作图的一般步骤：在已知图形上找相关的点；作出这些点的对应点，对应点的找法是：将各点与旋转中心连接；以旋转中心为顶点，以上述连线为一边，向旋转方向作角的另一边，使这些角都等于旋转角度，且使另

4、一边长度都等于对应线段到旋转中心的长度，在这些“另一边”的端点就是对应点；顺次连接对应点。说明： 【典例精析】例题1 如图，将一个钝角ABC（其中ABC120）绕点B顺时针旋转得A1BC1，使得C点落在AB延长线上的点C1处，连接AA1。（1）写出旋转角的度数；（2）求证：A1ACC1。思路导航：（1）CBC1即为旋转角，其中ABC120，所以，CBC1180ABC；（2）由题意知，ABCA1BC1，易证A1AB是等边三角形，得到AA1BC，继而得出结论；答案：（1）解：ABC120，CBC1180ABC18012060，旋转角为60；（2）证明：由题意可知：ABCA1BC1，A1BAB，CC

5、1，由（1）知，ABA160，A1AB是等边三角形，BAA160，BAA1CBC1，AA1BC，A1ACC，A1ACC1。点评：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解答本题的关键。例题2 如图所示，正方形ABCD中，E是CD上一点，F在CB的延长线上，且DEBF。（1）求证：ADEABF；（2）问：将ADE顺时针旋转多少度后与ABF重合，旋转中心是什么？思路导航：（1）根据SAS定理，即可证明两三角形全等；（2）将ADE顺时针旋转后与ABF重合，A不变，因而旋转中心是A，DAB是旋转角，是90度。答案：（1）证明：在正方形ABCD中，DABC

6、90，ABF90，DABF90，又DEBF，ADAB，ADEABF。（2）解：将ADE顺时针旋转90后与ABF重合，旋转中心是点A。点评：本题主要考查了三角形全等的判定方法，以及旋转的定义，正确理解旋转的定义是解答本题的关键。 例题3 我们学习过：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点称为旋转中心。（1）如图，ABCDEF，DEF能否由ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由；（2）如图，ABCMNK，MNK能否由ABC通过一次旋转得到？若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由。（保留必要

7、的作图痕迹）思路导航：（1）能，连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心；（2）能，根据三角形的全等关系，找出对应点并连线，作对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心。答案：解：（1）能，如图，点O1就是所求作的旋转中心；（2）能，如图，点O2就是所求作的旋转中心。点评：本题考查了旋转变换的作图，解题的关键是明确旋转中心与对应点的连线相等的性质，故作对应点连线的垂直平分线。随堂练习：如果一个四边形绕对角线的交点旋转90，所得四边形与原四边形重合，那么这个四边形一定是（）A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形答案：A、平行四边形绕对角

8、线交点旋转能够与原来的图形重合的最小的度数是180度，错误；B、矩形绕对角线交点旋转能够与原来的图形重合的最小的度数是180度，错误；C、菱形绕对角线交点旋转能够与原来的图形重合的最小的度数是180度，错误；D、正方形绕对角线交点旋转能够与原来的图形重合的最小的度数是90度，正确故选D。【总结提升】微课程2：图形的平移与旋转综合应用【考点精讲】考点1：平移的决定要素：考点2：平移的性质：（1）平移性质1：“平移不变性”：文字语言：平移前、后的图形全等。（平移不改变图形的大小和形状），即对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等。符号语言：是由ABC平移得到的ABC（或在同一直线上）（2）

9、平移性质2：文字语言：对应点连线平行（或在同一直线上）且相等。符号语言：是由ABC平移得到的（或在同一直线上）考点3：平移变换作图：平移作图的一般步骤：找出已知图形中的相关的点；过这些点作与已知平移方向平行的线段，使这些平行线段的长度都等于平移的长度；依照图形依次连接对应的点，得到新的图形，这个图形就是已知图形的平移图形。考点4：图形的变换：平移、旋转、翻折（轴对称）。【典例精析】 例题1 如图，写出ABC三顶点的坐标，并在图中描出点A1（3，3），B1（2，2），C1（4，1），并说明A1B1C1是ABC通过怎样的变化得到的？思路导航：根据题中所给点A1、B1和C1的坐标描出这三点，然后顺次

10、连接，根据平移变换的特点即可判断。答案：所画图形如下所示：根据平移的性质可知：A1B1C1是ABC向上平移1个单位，向右平移5个单位得到的。点评：本题考查几何变换的类型，解题关键是熟练掌握平移变换、轴对称变换、旋转变换和位似变换这4种几何变换的特点，难度一般。 例题2 阅读下面材料：如图（1），把ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到DEC的位置；如图（2），以BC为轴，把ABC翻折180，可以变到DBC的位置；如图（3），以点A为中心，把ABC旋转180，可以变到AED的位置。像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的。这种只改变位置，不改变形状大小的

11、图形变换，叫做三角形的全等变换。回答下列问题：在图（4）中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法怎样变化，使ABE变到ADF的位置；指出图中线段BE与DF之间的关系，并说明理由。思路导航：AB和AD是对应线段，那么应绕点A逆时针旋转90得到；关系应包括位置关系和数量关系。旋转前后的三角形是全等的，BEDF，延长BE交DF于点G，利用对应角相等，可得到垂直。答案：解：在图4中可以通过旋转90使ABE变到ADF的位置。由全等变换的定义可知，通过旋转90，ABE变到ADF的位置，只改变位置，不改变形状大小，ABEADF，BEDF，ABEADF，ADFF90，ABEF90，BEDF。 点评：旋转

12、前后的三角形全等；所求关系应包括位置关系和数量关系。【总结提升】平移、旋转和轴对称（翻折）的区别和联系：（1）区别：三者概念的区别：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转；在平面内，将一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称。三者运动方式不同：平移是将图形沿某个方向移动一定的距离；旋转是将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度；轴对称是将图形沿着某一条直线折叠。对应线段、对应角之间的关系不同：平移变换前后图形的对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连

13、的线段平行且相等；对应角的两边分别平行且对应角的方向一致。旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的距离相等、与旋转中心的连线所成的角是旋转角。轴对称的对应线段或延长线相交，交点在对称轴上：对应点的连线被对称轴垂直平分。三者作图所需的条件不同：平移要有平移的方向和平移的距离；旋转要有旋转中心、旋转方向和旋转角；轴对称要有对称轴。（2）联系：它们都在平面内进行图形变换；它们都只改变图形的位置不改变图形的形状和大小，因此变换前后的两个图形全等；都要借助尺规作图及全等三角形的知识作图。微课程3：中心对称【考点精讲】考点1：中心对称：如果一个图形绕着某一点旋转180，能够与另一个图形重合，那么就说这

14、两个图形关于这个点对称，也称中心对称。这个点叫对称中心。两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。考点2：中心对称图形：如果一个图形绕某一点旋转180，能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫中心对称图形，这个点叫对称中心。说明：中心对称与中心对称图形是两个不同的概念。中心对称是指两个图形的变换性质；中心对称图形是指一个图形本身具有的对称性。考点3：中心对称的性质：（1）中心对称性质1：文字语言：关于中心对称的两个图形是全等形。符号语言：ABC与ABC成中心对称 ABCABC （2）中心对称性质2：文字语言：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。符号语言：ABC与

15、ABC成中心对称 OAOA，OBOB，OCOC （3）中心对称性质3：文字语言：关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在一条直线上）且相等。符号语言：与ABC成中心对称（或在同一直线上）考点4：中心对称的判定：文字语言：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。符号语言：OAOA，OBOB，OCOC且AA，BB，CC都经过点O ABC与ABC关于点O成中心对称考点5：关于原点中心对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，若点P（x，y），则关于原点的对称点为P（x，y）。考点6：轴对称与中心对称的区别：轴对称中心对称有一条对称轴直线有一个对称中心点图形

16、沿对称轴对折（翻折180）后重合图形绕对称中心旋转180后重合对称点的连线被对称轴垂直平分对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分【典例精析】 例题1 如图是两个等边三角形拼成的四边形。（1）这个图形是不是旋转对称图形？是不是中心对称图形？若是，指出对称中心。（2）若ACD旋转后能与ABC重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点共有几个？请一一指出。思路导航：（1）根据旋转对称图形的定义得出即可；（2）利用ACD旋转后能与ABC重合，结合图形得出旋转中心。答案：（1）这个图形是旋转对称图形，对称中心为AC的中点；（2）3个，旋转中心可以为：点A，点C，AC的中点。 点评：此题主要考查了旋转

17、对称图形的定义，正确根据旋转的性质得出旋转中心是解题关键。 例题2 平面直角坐标系中，已知点P（2，1），点T（t，0）是x轴上的一个动点。（1）求点P关于原点的对称点P的坐标；（2）当t取何值时，PTO是等腰三角形？思路导航：（1）根据坐标关于原点对称的特点即可得出点P的坐标；（2）要分类讨论，动点T在原点左侧和右侧时分别进行讨论即可得出当t取何值时，PTO是等腰三角形。答案：（1）点P关于原点的对称点P的坐标为（2，1）；（2），（a）当动点T在原点左侧，当T1OPO时，PTO是等腰三角形，（b）当动点T在原点右侧，当T2OT2P时，PTO是等腰三角形，当T3OPO时，PTO是等腰三角形，

18、当T4PPO时，PTO是等腰三角形，得：点T4（4，0）。综上所述，符合条件的t的值为。点评：本题主要考查了平面直角坐标系中坐标关于原点对称的特点。【总结提升】中心对称与中心对称图形的区别与联系名称中心对称中心对称图形定义把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这点对称，这个点叫做对称中心，两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点如果一个图形绕着一个点旋转180后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心性质两个图形可完全重合；对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是一个特殊

19、的图形对应点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分区别两个图形的关系对称点在两个圆形上具有某种性质的一个图形对称点在一个图形上联系若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则它们成中心对称，若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为中心对称图形（答题时间：30分钟）图形的旋转1. 将下图按顺时针方向旋转90后得到的是（）A. B. C. D. 2. 同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的。如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心（）A. 顺时针旋转60得到B. 顺时针旋转120得到C. 逆时针旋转60

20、得到D. 逆时针旋转120得到3. 如图，将AOB绕点O按逆时针方向旋转45后得到AOB，若AOB15，则AOB的度数是（）A. 25B. 30C. 35D. 404. 如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合，将ACB绕点C按顺时针方向旋转到ACB的位置，其中AC交直线AD于点E，AB分别交直线AD、AC于点F、G，则在图（2）中，全等三角形共有（）A. 5对B. 4对C. 3对D. 2对5. 下图中，甲图怎样变成乙图：_。6. 如图，是两块完全一样的含30角的三角板，分别记作ABC与ABC，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使

21、其直角顶点C恰好落在三角板ABC的斜边AB上，当A30，AC10时，则此时两直角顶点C、C间的距离是_。7. 如图，已知ADAE，ABAC。（1）求证：BC；（2）若A50，问ADC经过怎样的变换能与AEB重合？8. 将两块大小相同的含30角的直角三角板（BACBAC30）按图方式放置，固定三角板ABC，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90）至图所示的位置，AB与AC交于点E，AC与AB交于点F，AB与AB相交于点O。（1）求证：BCEBCF；（2）当旋转角等于30时，AB与AB垂直吗？请说明理由。图形的平移与旋转综合应用1. 由图中三角形仅经过一次平移、旋转或轴对称变

22、换，不能得到的图形是（）A. B. C. D. 2. 观察如图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（）A. 平移B. 轴对称C. 旋转D. 位似3. 如图，在方格纸中的ABC经过变换得到DEF，正确的变换是（）A. 把ABC向右平移6格B. 把ABC向右平移4格，再向上平移1格C. 把ABC绕着点A顺时针方向90旋转，再向右平移7格D. 把ABC绕着点A逆时针方向90旋转，再向右平移7格4. 请仔细观察下图，从图形（1）（2）（3）的变换规律，确定图形（4）为（）A. B. C. D. 5. 如图，ABC，BED的边长如图上数据所示，且A，B，D在同一直线MN上，则将ABC_后可与BD

23、E重合。6. 如图所示，RtABC是ABC向右平移3cm所得，已知BC5cm，则BC_cm。7. 如图，ABCDFE，ACDE，则ABC经过怎样的变换与DFE重合？8. （1）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，ABE与ADF全等吗？说明你的理由。（2）在图中，可通过平移、轴对称、旋转中的哪一种图形变换，使ABE变到ADF的位置，并说明如何进行变换的？中心对称1. 下列结论中，错误的是（）A. 形状大小完全相同的两个图形一定关于某点成中心对称B. 关于成中心对称的两个图形，对称中心到两对称点的距离相等C. 关于成中心对称的两图形，对称中心在两对称点的连线上D. 关

24、于成中心对称的两图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等2. 如图，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（1，2），则点P关于原点对称的点的坐标是（）A. （1，2）B. （1，2）C. （1，2）D. （2，1）4. 如图，在平面直角坐标系中，若ABC与A1B1C1关于E点成中心对称，则对称中心E点的坐标是（）A. （3，1）B. （0，0）C. （2，1）D. （1，3）5. 如图ABC与DEF关于O点成中心对称，则线段BC与EF的关系是 _。6. 写出两个既是中心对称，又是轴对称的图形_。7. 如图所示，ABC与ABC

25、关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了，请你帮排版工人找到对称中心O的位置。8. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC的顶点均在格点上，写出A、B、C的坐标；以原点O为对称中心，画出ABC关于原点O对称的A1B1C1，并写出A1、B1、C1。图形的旋转1. A 解析：根据旋转的意义，图片按顺时针方向旋转90度，即正立状态转为顺时针的横向状态，从而可确定为A图，故选A。2. D 解析：根据旋转的意义，观察图片可知，菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心逆时针旋转120得到，故选D。3. B 解析：将AOB绕点O按逆时针方向旋转45后得到AOB，AO

26、A45，AOBAOB15，AOBAOAAOB451530，故选B。4. B 解析：旋转后的图中，全等的三角形有：BCGDCE，ABCADC，AGFAEF，ACEACG，共4对。故选B。5. 绕点A顺时针旋转 解析：观察可知，甲图绕点A顺时针旋转即可变成乙图。故答案为：绕点A顺时针旋转。6. 5 解析：连接CC，两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，M是AC、AC的中点，ACAC，AACM30，CMC60，MCC为等边三角形，CCCM5，CC长为5。故填5。7. （1）证明：在AEB与ADC中，ABAC，AA，AEAD；AEBADC，BC。（2）解：先将ADC绕点A逆时针旋转50，再将AD

27、C沿直线AE对折，即可得ADC与AEB重合；或先将ADC绕点A顺时针旋转50，再将ADC沿直线AB对折，即可得ADC与AEB重合。 8. （1）证明：两块大小相同的含30角的直角三角板，所以BCABCABCAACABCAACA即BCEBCFBB，BCBC，BCEBCF，BCEBCF；（2）解：AB与AB垂直，理由如下：旋转角等于30，即ECF30，所以FCB60，又BB60，根据四边形的内角和可知BOB的度数为360606015090，所以AB与AB垂直。图形的平移与旋转综合应用1. B 解析：A. 经过平移可得到上图，故选项错误；B. 经过平移、旋转或轴对称变换后，都不能得到上图，故选项正确；C. 经过轴对称变换可得到上图，故选项错误；D. 经过旋转可得到上图，故选项错误。故选B。2. A 解析：A. 图形的方向发生了改变，不符合平移的定义，本题图案不包含平移变换，故本选项符合题意；B. 有8条对称轴，本题图案包含轴对称变换，故本选项不符合题意；C. 将图形绕着中心点旋转22.5的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换，故本选项不符合题意；D. 符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换，故本选项不符合题意。故选A。3. D 解析：根据图象，ABC绕着点A逆时针方向90旋转与DEF形状相同，向右平移7格就可以与DEF重合，故选D