矩阵与线性方程组.ppt

1、第十章 矩阵与线性方程组,从本章开始，直到第十三章，是线性代数的内容。线性代数研究线性空间之间的线性映射的性质，而矩阵、线性方程组和行列式是进行这一研究的基本工具。,有人说，一个数学问题，仅当化为一个线性代数问题才能求解；一个线性代数问题，最终又将化为线性方程组的求解；而线性方程组的求解，最终将归结为矩阵的计算。这话虽有些夸张，但也不无道理。它用带点夸张的语气，强调了矩阵与线性方程组的重要性。,本章包括四节。第一节介绍矩阵的概念与运算，第二节介绍行简化梯形阵与高斯消元法。第三节是线性方程组的解法。第四节是矩阵乘法和逆矩阵。本章的每个内容都是基本的，都是要熟练掌握的。,10.1 矩阵,10.2

2、行简化梯形阵与消元法,10.3 线性方程组的解法,10.4 矩阵的乘法与逆矩阵,线性方程组有各种解法，线性方程组的解也有各种表示形式。我们将在适当的时候介绍适合的内容。, 10. 1,10.1 矩阵,10.1.1 矩阵的概念,称为一个mn矩阵，mn称为矩阵的形状。当m = n，称矩阵为n阶方阵。,一组mn个数，按下述方式排成一个m行n列的阵列,aij称为矩阵的元素。第一个下标i，指明元素所在的行，称为行标；第二个下标j，指明元素所在的列，称为列标。aij表明元素处在第i行、第j列，也称aij为矩阵的第ij元素。, 10. 1,对于方阵，常称由左上到右下的线为主对角线；处在主对角线上的元素，称为

3、主对角元；由右上到左下的线为次对角线。见图10.1-1：,矩阵通常用一个大写的粗体字母表示，例如，,A = 是一个23矩阵，B = 是一个22方阵。, 10. 1,两个矩阵A，B，若,例如，,形状相同，都是mn,对应元素相等：aij = bij i = 1, , m ； j = 1, , n,则称A与B相等，记为 A = B。,要说明两个矩阵相等，只要说明：,形状相同；对应元素相等。,也许，你想知道为什么要研究这样一个数字的阵列？因为：它是为表示线性映射、线性方程组而创造的一个数学对象。这些，我们后面将要谈到。,引入矩阵的主要动机，是为了表示线性映射和线性方程组。, 10. 1,10.1.2

4、矩阵的加法,两个形状相同的矩阵相加，就是对应元素相加。,注：形状不同的矩阵没定义加法运算。,例如，,同理，两个形状相同的矩阵相减，就是对应元素相减。,记 A = ，B = ，C = 。, 10. 1,矩阵的加法具有下述性质：,即见，A + B = B + A。,性质1 A + B = B + A,由 A + B = ，B + A =, 10. 1,性质2 A + (B + C ) = (A + B ) + C,由 A + (B + C ) =,(A + B ) + C =,即见，A + (B + C ) = (A + B ) + C。,元素全为0的矩阵，称为零矩阵，记为0。例如：,为一个23零

5、矩阵。零矩阵可以不是方阵。, 10. 1,性质3 A + 0 = A,性质4 A + (-A ) = 0,由 A + 0 = = A 即见。,由 A + (-A ) = 即见。,注：这里-A表示将A的每个元素都变号后得到的矩阵，称为A的负矩阵。,10.1.3 数乘矩阵, 10. 1,数k乘矩阵，就是用数k去乘矩阵的每个元素。,数乘矩阵具有下述性质：,例如，,性质1 (A + B ) = A + B,由 (A + B ) =,A + B =,即见， (A + B ) = A + B, 10. 1,性质2 ( + )A = A + A,由,即见， ( + )A = A + A,( + )A =,A

6、 + A =,性质3 1 A = A,由 1 A = = A 即见。,性质4 0 A = 0,由 0 A = = 0 即见。, 10. 1,上述八条运算性质，需要熟记。在矩阵的计算中，我们将频繁运用这八条性质。,以后我们会知道，一个定义了加法与数乘，并且满足上述八条性质的集合，称为线性空间。在这个意义上，所有 2 2 方阵构成的集合，按照矩阵的加法与数乘，构成一线性空间。一般的，所有 m n 方阵构成的集合，按照矩阵的加法与数乘，构成一线性空间。, 10. 1,(1). 求A + B，A - B；,(2). 设A + X = B，求 X。,例10.1.1已知A = ，B = ，,解：(1).

7、A + B = ，A B = 。,(2). X = BA 。,例10.1.2A = ，B = ，求2A + 3B。,解： 2A + 3B,10.2 行简化梯形阵与消元法, 10. 2,解线性方程组的基本方法是消元法。消元法体现在矩阵上，就是化矩阵为行简化梯形阵。,矩阵的计算、方程组的求解，是线性代数的两个基本技能。,矩阵的初等行变换、行简化梯形阵，与线性方程组的求解密切相关。,矩阵的初等行变换，表示一个消元过程；而行简化梯形阵，则是消元的结果。,10.2.1 行简化梯形阵, 10. 2,若矩阵B的各行中，位于第一个非0元前面的0的个数逐行增多，直至只留下全为0的行，则称矩阵B为梯形阵。因为看上

8、去，它象一个“阶梯”。,例如：,即为一梯形阵。,梯形阵各行中的第一个非0元，称为梯形阵的“特异元”。,例如上述矩阵中，加了“圆圈”的元即为特异元。, 10. 2,若梯形阵还满足：,特异元都是1，且是所在列中唯一的非0元，这样的梯形阵，叫行简化梯形阵。,例如：,即为一行简化梯形阵。,10.2.2 矩阵的初等行变换, 10. 2,对矩阵施行下述三个操作：,用非0数乘矩阵的一行；,称为矩阵的初等行变换。,一行乘一数加到另一行；,交换两行；,矩阵的初等行变换，是对矩阵的三个基本操作。“初等”是说它是“基本”的，并不是说它是低级的，初等行变换并无高等行变换相对应。, 10. 2,初等行变换的三个操作，分

9、别用下述三个符号表示：,用矩阵的初等行变换，可把矩阵化为一个行简化梯形阵。, 10. 2,解：,例10.2.1.用初等行变换,化矩阵A = 为行简化梯形阵.,A =, 10. 2,矩阵的初等行变换，把矩阵化为一个梯形阵或一个行简化梯形阵，是线性代数的一项基本技术。因为线性代数的好多计算，都归结为用初等行变换，化矩阵为梯形或行简化梯形的计算。,以下我们考虑,解线性方程组与化矩阵为行简化梯形阵的关系。,10.2.3 线性方程组, 10. 2,以下我们考虑,解线性方程组与化矩阵为行简化梯形阵的关系。,称,为n个未数、m个方程的线性方程组。,其中，aij (1 i m，1 j n) 为已知； bi (

10、1 i m) 为已知；x1, xn为未知量。, 10. 2,方程组的系数构成的矩阵,称为方程组的系数矩阵。,在系数矩阵的右边，增添方程组的右边常数列，得到的矩阵,称为方程组的增广矩阵。, 10. 2,例如：,为一三个未知数、三个方程的线性方程组。,“增广”是指，它比系数矩阵多出一个常数列。虚线提示我们，右边是方程组的常数列。我们总是习惯于用表示线性方程组的系数矩阵，用表示增广阵。,它的系数阵为A = ；,它的增广阵为 A = 。,10.2.4 消元法与化矩阵为行简化梯形阵, 10. 2,用一个非0数乘一个方程；,以下我们通过对方程组,解线性方程组的基本方法就是消元法。消元法包括对方程组的三个操

11、作：,用一个数乘一个方程加到另一个方程；,交换两个方程。,由中学解方程组的经验，你应该确信这三种操作是对方程组的同解变形。,的求解来说明，用消元法解线性方程组、与用初等行变换化增广阵为行简化梯形阵的关系。, 10. 2,(1) 消元过程,为便于观察对应关系，我们在左边列出消元过程，右边对应的列出化增广阵为行简化梯形阵的过程。, A =,消元结束，方程组化为梯形组，增广阵化为梯形阵。梯形方程组因其形状象阶梯而得名。,(1) 化为梯形的过程, 10. 2,(2)回代,你是否已经注意到，对方程组消元的过程，与未知数x1, xn 无关，而只是在对方程的系数和右边常数项进行运算。,(2) 化为行简化梯形

12、, 10. 2,用非0数乘一行；,因此，使用消元法解方程组，完全不必写出未知数，而只把表示方程组的增广矩阵写出来，在矩阵上实现消元操作就可以了。,一行乘一数加到另一行；,对方程组消元的三个操作，对应到矩阵上来，就是矩阵的初等行变换：,交换两行。,而消元的过程也就是把矩阵化为行简化梯形阵的过程。,下一节我们将用化增广阵为行简化梯形的方法，讨论线性方程组的解法。,10.3 线性方程组的解法,10.3.1 引例, 10. 3,考虑两个未知数、一个方程的线性方程组,我们通过一个简单的例子来说明，当一个线性方程组具有无穷多解的时候，怎样解一个线性方程组。,y -3x = 2,方程组的增广矩阵为,方程组的

13、增广矩阵已经是一个行简化梯形阵，元素 a11= 1 是特异元。, 10. 3,所谓解这个方程组，就是把一个变量用另一个变量表示出来，,即,y = 3x + 2,也就是把特异元位置上的变量y，用不在特异元位置上的变量x (称为自由未知量)表示出来。,x被称为自由未知量，是因为x可以自由取值，而y的值需由x的取值决定。,一般地，解一个n个未知量m个线性方程的组，也就是把其中一些变量(特异元所在列上的变量)，用另一些变量(不在特异元所在列上的变量，称为自由未知量)表示出来。一旦把增广阵化为行简化梯形阵，把一些变量用另一些变量表示出来，也就是很容易的事了。,10.3.2 解线性方程组的步骤, 10.

14、3,写出线性方程组的增广阵，化增广阵为梯形，此时：,根据用消元法解线性方程组与化增广阵为行简化梯形的关系，以及上述说明，我们可按下述步骤解线性方程组：,若出现“矛盾方程”，则方程组无解，求解终止；,若不出现矛盾方程，则转到。,(后面会结合例子说明什么是矛盾方程),化梯形为行简化梯形，移自由未知量(不在特异元列上的未知量)于另一边，写出一般解。, 10. 3,例10.3.1判断下列方程组是否有解，若有解，求其解。,解：写出线性方程组的增广阵，化增广阵为梯形：, 10. 3,最后一行，相当于方程,0 x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 = - 4,这就是一个“矛盾方程”，因为这个方程意

15、味着0 = -4。所以方程组无解。, 10. 3,例10.3.2判断下列方程组是否有解，若有解，求其解。,解：写出线性方程组的增广阵，化增广阵为梯形：, 10. 3,可见方程组有解。继续化梯形为行简化梯形。, 10. 3,所以原方程组的解为 x1 = 1，x2 = 3，x3 = 1。, 10. 3,例10.3.3判断下列方程组是否有解，若有解，求其解。,解：写出线性方程组的增广阵，化增广阵为梯形：, 10. 3,可见方程组有解。继续化梯形为行简化梯形。, 10. 3,移自由未知量(不在特异元列的未知量)于另一边。,所以原方程组的一般解为,(1),如果你对(1)式是怎么写出的有疑问，请你先写出和

16、行简化梯形阵对应的线性方程组，再移自由未知量于另一边。,10.3.3 通解与特解, 10. 3,一般解又叫通解，具体解又叫特解。, 10. 3,当自由未知量x3, x4取定一组值，就可得到方程组的一个特解。当x3 = s，x4 = t，得到方程组的一个解,(2),由于 s , t 可取任意值，所以(2)式表示了方程组的任意一个解，(2)式是方程组通解(1)式的另一表示形式。,10.4 矩阵的乘法与逆矩阵,10.4.1 矩阵的乘法, 10. 4,矩阵的乘法类似于数的乘法，而逆矩阵类似于数的倒数。因此，本节内容相当于研究矩阵的“乘除法”。,矩阵A与B的积是一个矩阵C，C的第i,j元素，是,A的第i

17、行与B的第j列对应元素积的和,即,这一规则可图示为：, 10. 4,矩阵的乘法与数的乘法有相似的运算律，但要特别注意的是，矩阵的乘法不满足交换律：左乘一个矩阵与右乘一个矩阵是不同的。因此，矩阵的分配律有左分配律和右分配律。,两个矩阵A与B能够相乘， A的列数一定等于B的行数。,例如：,矩阵的乘法具有运算律：,(1). (AB) C = A (BC) 结合律,(2). A (B+C) = AB + AC 左分配律,(3). (B+C) A = BA + CA 右分配律,(4). k (AB) = (kA) B = A (kB) 数乘与矩阵乘法的结合律, 10. 4,对矩阵乘法，除了不满足交换律以

18、外，你可以放心的使用数的乘法所具有的所有运算律。你不必记忆矩阵乘法有哪些运算律，你只记住：除了交换律，所有的都可用！,例10.4.1A = ，B = ，计算：AB，BA 。,解：AB =,BA =,可见，AB AB，即矩阵乘法不满足交换律。,10.4.2 线性方程组的矩阵表示, 10. 4,对线性方程组,由矩阵乘法,有,AX =,因此，利用矩阵符号，线性方程组可以表示为,记 A = ，X = ，b = ，,AX = b,人们偏爱用这种方式表示线性方程组，因为它简洁。,10.4.3 单位矩阵与可逆矩阵, 10. 4,主对角线上的元素都是1,其余元素都是0的方阵,称为单位矩阵,对任意矩阵A，只要与I可乘 (即行列满足乘法要求)，都有,I A = A I = A,单位矩阵通常用 I 表示。例如 I = 是一三阶单位矩阵。,因此，单位矩阵在矩阵乘法中的角色,类似于1在数的乘法中的角色。,对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得,AB = BA = I,称A是可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵(A也是B的逆矩阵)。,矩阵A的逆矩阵B，记为A-1，于是有,10.4.4 逆矩阵的计算, 10. 4,为方便，我们用三阶方阵的情况进行说