线段垂直平分线的性质.ppt

1、15.2 线段的垂直平分线,第15章 轴对称图形与等腰三角形,高庙九年制学校 卢晓翠,1.理解和掌握线段垂直平分线的性质;（难点） 2.通过观察、实验、猜测、验证与交流等活动，初步形成数学学习的方法;（难点） 3.在数学学习的活动中，养成良好的思维习惯,学习目标,导入新课,情境引入,市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处才能使得它到三个小区的距离相等?,A,B,C,讲授新课,问题：怎样作出线段的垂直平分线？,做一做： 在半透明纸上画一条线段AB，折纸使A与B重合，得到的折痕l就是线段AB的垂直平分线. 想一想： 还有什么方法作出线

2、段的垂直平分线呢？,A,B,A(B),A,B,l,O,l,C,O,作法：,（1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.,（2）作直线CD. CD即为所求.,想一想： 这样折纸怎么就是垂直平分线呢？,如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么，请猜想点P1，P2，P3， 到点A 与点B 的距离之间的数量关系,探究发现,P1A _P1B,P2A _ P2B,P3A _ P3B,猜想： 点P1，P2，P3， 到点A 与点B 的距离分别相等,命题：线段垂直平分线上的点和这条

3、线段两个端点的距离相等.,由此你能得到什么结论？,你能验证这一结论吗？,已知：如图，直线lAB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上求证：PA =PB,证明：lAB， PCA =PCB 又 AC =CB，PC =PC， PCA PCB（SAS） PA =PB,验证结论,例1 如图，在ABC中，ABAC20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若DBC的周长为35cm，则BC的长为(),A5cm B10cm C15cm D17.5cm,典例精析,C,解析：DBC的周长为BCBDCD35cm，又DE垂直平分AB，ADBD，故BCADCD35cm.ACADDC20cm， BC352015(

4、cm).故选C.,方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长,练一练：1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3,2.如图所示，在ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .,B,10cm,图,例2 如图，已知点A、点B以及直线l. (1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PAPB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)； (2)在(1)中所作的图中，若AMPN，BNPM，求证：MAP

5、NPB.,解：(1)如图所示：,(2)在AMP和BNP中， AM=PN，APBP，PMBN， AMPPNB(SSS)， MAPNPB.,P,例3 如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FCAD；(2)ABBCAD.,解析：(1)根据ADBC可知ADCECF，再根据E是CD的中点可求出ADEFCE，根据全等三角形的性质即可解答 (2)根据线段垂直平分线的性质判断出ABBF即可,证明：(1)ADBC，ADCECF. E是CD的中点，DEEC. 又AEDCEF， ADEFCE， FCAD. (2)ADEFCE， AE

6、EF，ADCF. BEAE，BE是线段AF的垂直平分线， ABBFBCCF. ADCF， ABBCAD.,定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.,逆 命 题,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.,它是真命题吗？你能证明吗？,已知：PA=PB， 求证：点P在线段AB的垂直平分线上.,证明：作PCAB,垂足为C.,ACP=BCP=90.,在RtACP和RtBCP中，,RtACPRtBCP（HL），,AC=BC，,点P在线段AB的垂直平分线上.,PA=PB， PC=PC，,知识要点,线段垂直平分线的判定,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上,应用格式： PA =PB， 点P

7、在AB 的垂直平分线上,作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.,例4 如图,已知ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P. 求证:点P在BC的垂直平分线上.,B,C,A,P,证明：连接PA，PB，PC. 点P在AB，AC的垂直平分线上， PA=PB，PA=PC， （线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等） PB=PC，（等式性质） 点P在BC的垂直平分线上. (与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）,总结归纳,三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.,现在你能回答讲课前提出的问题吗？ 你知道购物中心应该建在何处了吗？,例5 已知：如图，点E是AOB的平

8、分线上一点，ECOA,EDOB,垂足分别为C,D，连接CD. 求证：OE是CD的垂直平分线.,证明：,OE平分AOB,ECOA,EDOB,DOE=COE,EDO=ECO=90, OE是CD的垂直平分线.,又OE=OE， RtOEDRtOEC.,DO=CO,DE=CE,1.如图，在ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（） AA的平分线 BAC边的中线 CBC边的高线 DAB边的垂直平分线,D,当堂练习,2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC, 则点P是ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点

9、 D.三边垂直平分线的交点,D,4.下列说法： 若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EAEB，PAPB； 若PAPB，EAEB，则直线PE垂直平分线段AB； 若PAPB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； 若EAEB，则经过点E的直线垂直平分线段AB 其中正确的有 （填序号）., ,3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DADB，EAEB,FAFB，这样的点的组合共 有种.,无数,5.如图，ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则BCE的周长是 cm.,16,6.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO.,证明： AC =BC，AD=BD，, CD为线段AB的垂直平分线.,又 AB与CD相交于点O，,7.如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.,B,C,学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.,A,8.如图所示，在ABC中，AD平分BAC，DEAB于点E，DFAC于点F，试说明AD与EF的关系,解：AD垂直平分EF. AD平分BAC，DEAB，DFAC， EADFAD，AEDAFD=90 又ADAD， ADEADF， AEAF，DEDF.