2013年高考数学专题之--直线与圆锥曲线

1、专题五直线与圆锥曲线1直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断设直线l的方程为AxByC0，圆锥曲线方程f(x，y)0.由，消元如消去y后得ax2bxc0.若a0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)若a0，设b24ac.a_0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b_0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c_0时，直线和圆锥曲线没有公共点2直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(

2、1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|_或|P1P2|_.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)(3)求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度，应用圆锥曲线的定义，转化为两个焦半径之和，往往比用弦长公式简捷3圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解在椭圆1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在双曲线1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k；在抛物线y22px (p0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k.难点正本疑点清源1直线与圆锥曲线的位置关系直

3、线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点还可通过代数方法即解方程组的办法来研究因为直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法2直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化同时还

4、应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1已知定圆A：(x1)2y216，圆心为A，动圆M过点B(1,0)且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C.(1)求曲线C的方程；(2)若点P(x0，y0)为曲线C上一点，求证：直线l：3x0x4y0y120与曲线C有且只有一个交点探究提高将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有

5、斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量与垂直？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由题型二圆锥曲线中的弦长问题例2设点F，动圆P经过点F且和直线y相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.(1)求曲线W的方程；(2)过点F作互相垂直的直线l1，l2分别交曲线W于A，B和C，D.求四边形ACBD面积的最小值探究提高由直线与圆锥曲线的方程联立解方程组是解决这类问题的通法，而相关的最值的讨论求解往往需要建立

6、目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来求解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆1 (ab0)上的两点，已知向量m，n，若mn0且椭圆的离心率e，短轴长为2，O为坐标原点(1)求椭圆的方程；(2)若直线AB的斜率存在且直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值；(3)试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由题型三圆锥曲线中的定值或定点问题例3已知定点C(1,0)及椭圆x23y25，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点，在x 轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由探究提高本题的难点是由的表达式，如

7、何确定m值使其与直线的斜率无关，化解的方法就是对k进行集项，只有当k的系数等于零时，式子的值才能与k无关，即在m22m中6m140.本题当然也可以先通过特殊位置确定数量积的值和M的坐标，再进行具体证明 椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P且离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标题型四圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题例4已知椭圆y21的左焦点为F，O为坐标原点(1)求过点O、F，并且与直线l：x2相切的圆的方程；(2)设过点F且不与坐标

8、轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围探究提高直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型 已知椭圆C：1 (ab0)与直线xy10相交于A，B两点(1)当椭圆的半焦距c1，且a2，b2，c2成等差数列时，求椭圆的方程；(2)在(1)的条件下，求弦AB的长度；(3)当椭圆的离心率e满足e，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴长的取值范围2

9、4.圆锥曲线中的函数思想试题：(12分)已知椭圆1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1x22.(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；(2)设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应的P点坐标审题视角(1)引入参数PQ中点的纵坐标，先求kPQ，利用直线PQ的方程求解(2)建立|PB|关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值规范解答(1)证明P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x22.当x1x2时，由，得.设线段PQ的中点N(1，n)，kPQ，3分线段PQ的垂直平分线方程为yn2n(x1)，(2x1)ny0，该直线恒过一个定点A(，0)6分

10、当x1x2时，线段PQ的中垂线也过定点A(，0)综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A(，0)7分(2)解由于点B与点A关于原点O对称，故点B(，0)8分2x12，2x22，x12x20,2，|PB|2(x1)2y(x11)2，10分当点P的坐标为(0，)时，|PB|min.12分批阅笔记(1)本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及到了定点问题以及最值问题求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题，通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性、函数的图像、函数的有界性或重要不等式等求最值，本题是建立二次函数、利用二次函数的图像求最值(2)本题的第一个易错点是，表达不出线段PQ的中垂线方程，原因是想

11、不到引入参数表示PQ的中点第二个易错点是，易忽视P点坐标的取值范围实质上是忽视了椭圆的范围方法与技巧1解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，若根据已知条件能求出两交点的坐标，这不失为一种彻底有效的方法；若两交点的坐标不好表示，可将直线方程ykxc代入椭圆方程1整理出关于x(或y)的一元二次方程Ax2BxC0，B24AC 0，可利用根与系数之间的关系求弦长(弦长为)2弦的中点问题，以及交点与原点连线的垂直等问题求弦长可注意弦是否过圆锥曲线焦点；弦的中点问题还可利用“点差法”和“对称法”；解决AOBO，可以利用向量的充要条件即0.失误与防范在解决直线与抛物线的位置关系时，要特

12、别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况课时规范训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为() A1 B1或3 C0 D1或02AB为过椭圆1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则FAB的最大面积为()Ab2 Bab Cac Dbc3斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()A2 B. C. D.二、填空题4已知椭圆y21的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|_.5直线ykx2与抛物线y28x交于不同两点A、B，且AB的中点横坐标为2，则k的值是_6直

13、线ykx1与椭圆1恒有公共点，则m的取值范围是_三、解答题7已知直线ykx1与双曲线x2y21的左支交于A、B两点，若另有一条直线l经过P(2,0)及线段AB的中点Q.(1)求k的取值范围；(2)求直线l在y轴上的截距b的取值范围8已知椭圆的一个顶点为A(0，1)，焦点在x轴上若右焦点到直线xy20的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线ykxm (k0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|AN|时，求m的取值范围B组专项能力提升题组一、选择题1过抛物线y22px (p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于()A5 B4 C3 D22已知

14、椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为()A. B. C. D.3已知过抛物线y22px (p0)的焦点F的直线xmym0与抛物线交于A、B两点，且OAB(O为坐标原点)的面积为2，则m6m4的值是()A1 B.C2 D4二、填空题4设抛物线x24y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则|_.5已知双曲线1 (a1，b0)的焦距为2c，离心率为e，若点(1,0)与(1,0)到直线1的距离之和sc，则e的取值范围是_6若过抛物线y22px (p0)的焦点F的直线

15、l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为_三、解答题7已知椭圆G：1 (ab0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积答案要点梳理1(2)，与此相矛盾，所以不存在常数k使与垂直例2解(1)过点P作PN垂直于直线y于点N，依题意得|PF|PN|，所以动点P的轨迹是以F为焦点，直线y为准线的抛物线，即曲线W的方程是x26y.(2)如图所示，依题意，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设直线l1的方程为ykx，由l1l2得l2的方程为

16、yx.将ykx代入x26y，化简得x26kx90，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x26k，x1x29，|AB|6(k21)同理可得|CD|6，四边形ACBD的面积S|AB|CD|18(k21)1872.当且仅当k2，即k1时，Smin72，故四边形ACBD面积的最小值是72.变式训练2(1)x21 (2)(3)解当直线AB的斜率不存在时，即x1x2，y1y2，由mn0，得x0，即y4x，又A(x1，y1)在椭圆上，所以x1，所以|x1|，|y1|，所以SAOB|x1|y1y2|x1|y1|1，所以AOB的面积为定值当直线AB的斜率存在时：设直线AB的方程为ykxb，由，得(k24

17、)x22kbxb240，则x1x2，x1x2，由x1x20，得x1x20，整理得：2b2k24，所以SAOB|AB|b|1，所以AOB的面积为定值例3解假设在x轴上存在点M(m,0)，使为常数设A(x1，y1)，B(x2，y2)当直线AB与x轴不垂直时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x1)，将yk(x1)代入x23y25，消去y整理，得(3k21)x26k2x3k250.则所以(x1m)(x2m)y1y2(x1m)(x2m)k2(x11)(x21)(k21)x1x2(k2m)(x1x2)k2m2.整理，得m2m2m22m.注意到是与k无关的常数，从而有6m140，m，此时.当直线

18、AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为A、B，当m时，亦有.综上，在x轴上存在定点M，使为常数变式训练3(1)解设椭圆方程为1 (ab0)，由e，得a2c，a2b2c2，b23c2，则椭圆方程变为1.又椭圆过点P，将其代入求得c21，故a24，b23，即得椭圆的标准方程为1.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(34k2)x28mkx4(m23)0.则又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2BA2，(x12)(x22)y1y20，y1y2x1x22(x1x2)40，40，7m216mk4k20，解得m12k，

19、m2，由，得34k2m20，当m12k时，l的方程为yk(x2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾当m2时，l的方程为yk，直线过定点，直线l过定点，定点坐标为.例4解(1)a22，b21，c1，F(1,0)，圆过点O，F，圆心M在直线x上设M，则圆半径r，由|OM|r，得 ，解得t，所求圆的方程为2(y)2.(2)设直线AB的方程为yk(x1) (k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220.直线AB过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，方程有两个不等实根记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，AB的垂直平分线NG的方程为yy0(xx0)令y0，得xGx0ky0，k0，xG0，点G横坐标的取值范围