同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案8-1_第1页
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文档简介

1、习题8-1 1. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界. (1)(x, y)|x0, y0; 解 开集, 无界集, 导集为R2, 边界为 (x, y)|x=0或y=0. (2)(x, y)|1x2; 解 开集, 区域, 无界集, 导集为 (x, y)| yx2, 边界为 (x, y)| y=x2. (4)(x, y)|x2+(y-1)21(x, y)|x2+(y-2)24. 解 闭集, 有界集, 导集与集合本身相同, 边界为 (x, y)|x2+(y-1)2=1(x, y)|x2+(y-2)2=4. 2. 已知函数, 试求f

2、(tx, ty). 解 . 3. 试证函数F(x, y)=ln xln y满足关系式: F(xy, uv)=F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v). 证明 F(xy, uv)=ln(x, y)ln(uv) =(ln x+ln y)(ln u+ln v) =ln xln u+ln xln v+ln yln u+ln yln v =F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v). 4. 已知函数f(u, v, w)=uw+wu+v, 试求f(x+y, x-y, xy). 解 f(x+y, x-y, xy)=(x+y)xy+(xy)(x+y)+(x-y)=(x

3、+y)xy+(xy)2x. 5. 求下列各函数的定义域: (1)z =ln(y2-2x+1); 解 要使函数有意义, 必须 y2-2x+10, 故函数的定义域为 D=(x, y)|y2-2x+10. (2); 解 要使函数有意义, 必须 x+y0, x-y0, 故函数的定义域为 D=(x, y)|x+y0, x-y0. (3); 解 要使函数有意义, 必须 y0,即, 于是有 x0且x2y,故函数定义域为 D=(x, y)| x0, y0, x2y. (4); 解 要使函数有意义, 必须 y-x0, x0, 1-x2-y20, 故函数的定义域为 D=(x, y)| y-x0, x0, x2+y

4、2r0); 解 要使函数有意义, 必须 R2-x2-y2-z20且x2+y2+z2-r20, 故函数的定义域为 D=(x, y, z)| r20, 取d=2e, 当时恒有 , 所以 . 10. 设F(x, y)=f(x), f(x)在x0处连续, 证明: 对任意y0R, F(x, y)在(x0, y0)处连续. 证明 由题设知, f(x)在x0处连续, 故对于任意给定的e0, 取d0, 当|x-x0|d时, 有|f(x)-f(x0)|e. 作(x0, y0)的邻域U(x0, y0), d), 显然当(x, y)U(x0, y0), d)时, |x-x0|d, 从而 |F(x, y)-F(x0, y0)|=|f(x)-f(x0)|e, 所

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