微积分总复习题与答案

1、第五章 一元函数积分学例1：求不定积分解：被积函数是一个复合函数，它是由和复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将变形为，故有例2：求不定积分解：为了消去根式，利用三解恒等式，可令，则，因此，由第二换元积分法，所以积分化为 由于，所以，利用直角三角形直接写出，于是例3：求不定积分分析：如果被积函数中没有x或sinx，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x，那么利用分部积分公式就可以消去x（因为）解令，则，.于是。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算：例4：求微分方程的通解。解：原方程为可

2、分离变量的方程，移项分离变量得 ，两端积分得：，得 从而。因为仍然是常数，把它记做c，故原方程的通解为其中c为任意常数例5：求微分方程的通解解：这是一个一阶线性非齐次方程，通解公式为在本题中，由通解公式知 = 即原方程的通解为：例6：求定积分分析：设函数在区间上连续，是在上的一个原函数，则，这就是牛顿-莱布尼茨公式。解：根据牛顿-莱布尼茨公式，因为是的一个原函数，所以原式有例7：求定积分分析：在应用定积分换元时应注意两点：（1） 换元必换限，上限对上限，下限对下限，即如果用把原来的变量换成了新变量t，积分限也必须也必须换成新变量t的积分限，并且原来下限对应的参数做下限，上限对应的参数做上限。（

3、2） 求出换元后的原函数后，不必像计算不定积分那样将它还原成x的函数，只需将新变量的上、下限带入相减即可。解 为了去掉被积函数中的根式，令，即，于是，并且当x=0时，t=0；当x=8时，t=2，因此由换元公式有=例8：计算定积分分析：定积分的分部积分其本质上与先用不定积分的分部积分法求原函数，再用牛顿-莱布尼茨计算定积分是一样的因此，定积分的分部积分法的技巧和适应的函数类型与不定积分的分部积分法完全一样解令，则故由分部积分公式得例求反常积分分析：设在或或上连续，定义反常积分若上述极限存在，则称相应的反常积分收敛，否则称其发散解因为，所以这里极限是型未定式，由洛必达法则易知其极限为例计算由抛物线

4、与，所围阴影图形的面积 分析：设函数在区间上连续，并且，则由曲线与以及所围成的图形面积为解联立两抛物线方程，得交点，并且由图形可知当时均有，则所求图形面积为第六章 多元函数微积分1基本要求（1）了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义，知道求二元函数的定义域。（2）了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶偏导数和全微分。（3）了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法。2本章重点难点分析（1） 本章重点：二元函数的定义域、多元复合函数一阶偏导数和全微分以及二重积分的计算方法。（2） 本章难点：一阶偏导数、全微分以及二重积分的计算。3本章典型例题分析例1. 求函数的一阶

5、偏导数. 解: 把y 看成常数, 对x求导.例2. 设求解：根据全微分公式，先求两个偏导数 ；。所以例3. 计算二重积分，其中是由直线及所围成的闭区域解 区域如图所示，可以将它看成一个-型区域，即 所以 例4. 计算二重积分，其中是有抛物线及所围成的有界闭区域解：如图，区域可以看成是型区域，它表示为，所以 一、选择题1、（ ） （a） （b） （c） （d）2、若是的原函数，则（ ）.（a） （b）（c） （d） 3、若，则（ ）.（a） （b） （c） （d）4、 （ ）.（a） （b） （c） （d）5、（ ）。（a）2arctant （b） （c） （d）二、填空：1、已知的一个原函数为

6、，则= 2、若存在且连续，则 3、若，则= .4、 .5、 .6、 .7、 .8、已知在上连续，且，且设，则 .9、 .10、设，则 .11、 .12、的阶数是 .13、的阶数是 .四、求不定积分（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）（11） （12） (13) （14） (15) （16） ( 17) （18） (19) （20） （21）求由曲线，直线所围成的图形的面积.（22）求由曲线与直线，围成的平面图形面积.（23）, 求，. （24），求，. （25）, 求. （26）, 求.（27），其中是由直线及所围成的平面区域.（28）,其中d由直线与所围成.（29）其中d由抛物线和直线所围成.（30）解微分方程：.（31）解微分方程：.（32）某厂生产某种商品千件的边际成本为（万元/千件），其固定成本是9800（万元）.求（1）产量为多少时能使平均成本最低？（2）最低平均成本是多少？（