离散数学第一学期习题及答案

1、第一章部分习题及参考答案1 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p(qr) （2）（pr）(qs) （3）（pqr）(pqr) (4)（rs）(pq) 2判断下面一段论述是否为真：“是无理数。并且，如果3是无理数，则也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。”3用真值表判断下列公式的类型：（1）(pq) (qp)（2）(pr) (pq)（3）(pq) (qr) (pr)4.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) (pqq)(2)(p(pq)(pr)(3)(pq)(pr)5. 用等值演算法证明下面等值式：(1

2、)(pq)(pr)(p(qr)(2)(pq)(pq)(pq) (pq)6.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(pq)(qp)(2)(pq)qr (3)(p(qr)(pqr)7. 在自然推理系统p中构造下面推理的证明： (1)前提：pq,(qr),r结论：p (2)前提：qp,qs,st,tr结论：pq8.在自然推理系统p中用附加前提法证明下面推理：前提：p(qr),sp,q结论：sr9.在自然推理系统p中用归谬法证明下面各推理：前提：pq,rq,rs 结论：p参考答案:1. （1）p(qr) 0(01) 0 （2）（pr）(qs) （01）(11) 010 （3）（pqr）

3、(pqr) （111） (000)0(4)（rs）(pq) （01）(10) 0012. p: 是无理数 1 q: 3是无理数 0 r: 是无理数 1 s: 6能被2整除 1t: 6能被4整除 0 命题符号化为： p(qr)(ts)的真值为1，所以这一段的论述为真。3. （1） p q pq q p qp (pq)(qp) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式（2）公式类型为可满足式（方法如上例）（3）公式类型为永真式（方法如上例）4. (2)（p(pq)）(pr)(p(pq)(pr)ppqr1 所

4、以公式类型为永真式 (3) p q r pq pr （pq）(pr)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式5.证明（1）(pq)(pr) (pq)(pr)p(qr)p(qr)（2）(pq)(pq)(p(pq) (q(pq)(pp)(pq)(qp) (qq)1(pq)(pq)1(pq)(pq)6.（1）主析取范式(pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(qp)(qp)(pq)(pq)(pq)(pq)(pq) (0,

5、2,3) 主合取范式： (pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(qp) (p(qp)(q(qp) 1(pq) (pq) m1 (1) (2) 主合取范式为： (pq)qr(pq)qr (pq)qr0 所以该式为矛盾式. 主合取范式为(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为：(p(qr)(pqr) (p(qr)(pqr)(p(qr)(pqr)(p(pqr)(qr)(pqr) 11 1 所以该式为永真式. 永真式的主合取范式为 1 主析取范式为(0,1,2,3,4,5,6,7)7.证明：（1）(qr) 前提引入qr 置换qr 蕴含等值式r 前提引入q

6、拒取式pq 前提引入p（3） 拒取式证明（2）：tr 前提引入t 化简律qs 前提引入st 前提引入qt 等价三段论（qt）(tq) 置换（qt） 化简q 假言推理qp 前提引入p 假言推理(11)pq 合取 8.证明s 附加前提引入sp 前提引入p 假言推理p(qr) 前提引入qr 假言推理q 前提引入r 假言推理9.证明：p 结论的否定引入pq 前提引入q 假言推理rq 前提引入r 化简律rs 前提引入r 化简律rr 合取由于最后一步rr 是矛盾式,所以推理正确.第二章部分习题及参考答案1. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值:(1)

7、对于任意x,均有x2-2=(x+2)(x-2).(2) 存在x,使得x+5=9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.2. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1) 没有不能表示成分数的有理数.(2) 在合肥卖菜的人不全是外地人.3. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 4.给定解释i如下: (a) 个体域d为实数集合r. (b) d中特定元素a =0. (c) 特定函数f(x,y)=x-y,x,y. (d) 特定谓词f(x,y):x=y,g(x,y):xy,x,y. 说明下列公式在i下的含义,并指出各公式的真值:(1)(2

8、)5. 给定解释i如下： （a） 个体域d=n(n为自然数集合). （b） d中特定元素a=2. （c） d上函数fx,y =x+y,g(x,y)=xy. （d） d上谓词f(x,y):x=y.说明下列各式在i下的含义，并讨论其真值.(1) xf(g(x,a),x)(2) xy(f(f(x,a),y)f(f(y,a),x)6. 判断下列各式的类型:(1) fx,ygx,yfx,y.(2) xyf(x,y)xyf(x,y).7. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。(1) x(f(x)g(x)(2) x(f(x)g(x)h(x)8.给定解释如下:(a)个体域d=3,4;(b)f为(c)

9、. 试求下列公式在下的真值.(1) (3)9.求下列各式的前束范式。(1) (2) 10.在自然数推理系统f中,构造下面推理的证明:(1) 前提: ,结论: xr(x)(2) 前提: x(f(x)(g(a)r(x), xf(x)结论:x(f(x)r(x)参考答案：1.解：f(x): x2-2=(x+2)(x-2). g(x): x+5=9.(1)在两个个体域中都解释为，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。(2)在两个个体域中都解释为，在（a）(b)中均为真命题。2.解:(1)f(x): x能表示成分数 h(x): x是有理数命题符号化为: (2)f(x): x是合肥卖菜的人 h(x): x

10、是外地人命题符号化为: 3.解:(1)f(x): x是火车; g(x): x是轮船; h(x,y): x比y快命题符号化为: (2) (1)f(x): x是火车; g(x): x是汽车; h(x,y): x比y快命题符号化为: 4.答:(1) 对于任意两个实数x,y,如果xy, 那么xy. 真值1.(2) 对于任意两个实数x,y,如果x-y=0, 那么xy. 真值0.5.答:(1) 对于任意自然数x, 都有2x=x, 真值0.(2) 对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0.6.解:(1)因为 为永真式； 所以 fx,ygx,yfx,y.为永真式；(2)取解释i

11、个体域为全体实数f(x,y)：x+y=5所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5，前件真；后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5，后件假，此时为假命题再取解释i个体域为自然数n，f(x,y)：:x+y=5所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5，前件假。此时为假命题。此公式为非永真式的可满足式。7.解:(1)个体域:本班同学f(x)：x会吃饭, g(x)：x会睡觉.成真解释f(x)：x是合肥人,g(x)：x是巢湖人.成假解释(2)个体域:计算机学院的学生f(x)：x出生在山东,g(x):x出生在北京,h(x):x出生在江苏,成假解释.f(x)：x会吃饭,g(x)：x会睡觉,h(

12、x)：x会呼吸. 成真解释.8. 解:(1) (2) 9.解:(1) (2) 10.证明(1) 前提引入 f(c) ei 前提引入 假言推理 (f(c)g(c)r(c) ui f(c)g(c) 附加 r(c) 假言推理 xr(x) eg(2)xf(x) 前提引入f(c) eix(f(x)(g(a)r(x) 前提引入f(c)(g(a)r(c) uig(a)r(c) 假言推理r(c) 化简f(c)r(c) 合取引入x(f(x)r(x) eg 第三章部分习题及参考答案1.确定下列命题是否为真：（1） （2） （3） （4） （5）a,ba,b,c,a,b,c （6）a,ba,b,c,a,b （7）a

13、,ba,b,a,b （8）a,ba,b,a,b 2设a,b,c各不相同，判断下述等式中哪个等式为真:（1）a,b，c,=a,b,c （2）a ,b,a=a,b （3）a，b=a,b （4），a,b=,a,b 3求下列集合的幂集：（1）a,b,c （2）1，2，3（3） （4）， 4化简下列集合表达式：（1）（ab）b ）-（ab）（2）（abc）-（bc）a5某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。求不会打球的人数。6.设集合a1，2，2，3，1，3,计算下列表达式：（1）a（2）

14、a（3）a（4）a7、设a,b,c是任意集合，证明(1)(a-b)-c=a- bc(2)(a-b)-c=(a-c)-(b-c)8.列出集合a=2,3,4上的恒等关系i a,全域关系ea,小于或等于关系la,整除关系da.9.设a=, b=,求ab,ab, doma, domb, dom(ab), rana, ranb, ran(ab ), fld(a-b).10.设r=,求rr, r-1, 11设a=a,b,c,d，为a上的关系，其中=求。12设a=1，2，3，4，在aa上定义二元关系r， ,aa ，u,v r u + y = x + v.(1) 证明r 是aa上的等价关系.(2)确定由r 引

15、起的对aa的划分.13.设a=1，2，3，4，r为aa上的二元关系, a，b，c，d aa , a，brc，da + b = c + d(1) 证明r为等价关系.(2) 求r导出的划分.14. 对于下列集合与整除关系画出哈斯图:(1) 1,2,3,4,6,8,12,24(2) 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1215.下图是两个偏序集的哈斯图.分别写出集合a和偏序关系r的集合表达式. (a) (b)16.分别画出下列各偏序集的哈斯图,并找出a的极大元极小元最大元和最小元.(1)a=a,b,c,d,er=,ia.(2)a=a,b,c,d,e, r=ia.参考答案：1.（1） 真

16、（2） 假（3） 真（4） 真（5）a,ba,b,c,a,b,c 真（6）a,ba,b,c,a,b 真（7）a,ba,b,a,b 真（8）a,ba,b,a,b 假2. （1）a,b，c,=a,b,c 假（2）a ,b,a=a,b 真（3）a，b=a,b 假（4），a,b=,a,b 假3.（1）a,b,c p(a)= ,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c（2）1，2，3 p(a)= , 1, 2,3, 1，2，3 （3） p(a)= , （4）， p(a)= , 1, 2,3, 1，2，3 4. 解:(1)（ab）b ）-（ab）=（ab）b ）（ab）=（ab）（ab）)b=b=（

17、2）（abc）-（bc）a=（abc）（bc）a=（a（bc）（bc ）（bc）a=（a（bc）a=（a（bc）a=a5.解: a=会打篮球的人，b=会打排球的人，c=会打网球的人 |a|=14, |b|=12, |ab|=6,|ac|=5,| abc|=2, |c|=6,cab如图所示。25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5不会打球的人共5人6.解: （1）a=1，22，31，3=1，2，3,（2）a=1，22，31，3=（3）a= （4）a=7.证明(1) (a-b)-c=(ab) c= a( bc)= a(bc) =a- bc(2) (a-c)-(b-c)=(ac) (

18、b c)= (ac) (bc)=(acb) (acc)= (acb) = a(bc) =a- bc 由（1）得证。8.解：ia =, ea=,la=,da=9.解：ab=, ab=doma=1,2,3 domb=1,2,4 dom(ab)=1,2,3,4rana=2,3,4 ranb=2,3,4ran(ab)=4a-b=,，fld(a-b)=1,2,310.解：rr=, r-1,=,11.解: r1r2=, r2r1=r12=r1r1=,r22=r2r2=,r23=r2r22=,12.（1）证明：r u+y=x-yru-v=x-yaau-v=u-vrr是自反的任意的,aa如果r ，那么u-v=

19、x-yx-y=u-v r r是对称的任意的,aa若r,r则u-v=x-y,x-y=a-bu-v=a-b rr是传递的r是aa上的等价关系(2) =, , , , , 13.(1)证明：a，b aa a+b=a+br r是自反的任意的,aa设r，则a+b=c+dc+d=a+b rr是对称的任意的,aa若r,r则a+b=c+d,c+d=x+ya+b=x+y rr是传递的r是 aa上的等价关系(2)=, , , , , , 14.解: (1) (2)15.解: (a)a=a,b,c,d,e,f,g r=, (b) a=a,b,c,d,e,f,gr=,16.解: (1) (2)项目 (1) (2)极大元