工程流体力学课件第6章：流体动力学第二部分

1、6.1 连续性方程 6.2 粘性流体的运动微分方程 6.3 葛罗米柯-斯托克斯方程 6.4 理想流体流动 6.5 平面势流 6.6 简单势流的叠加 6.7流体对圆柱体的无环量绕流 6.8 流体对圆柱体的有环量绕流 6.9 流体绕圆球的流动 工程实例,第6章 流体动力学II,第6章 流体动力学II,教学提示：本章推导出微分形式的连续性方程和动量方程(运动方程)。本章是求解流场的基础。本章的重点是微分形式的流体动力学基本方程及其求解条件。 教学要求：掌握微分形式基本方程的形式、物理意义和求解方法。,6.1 连续性方程,微分形式的连续性方程可以根据积分形式的连续性方程通过高斯定理得到。将积分形式的连

2、续性方程(5-9)变形为 根据数学上的高斯定理，一物理量在控制面上的面积分，等于该物理量的散度在控制面围成的控制体积内的体积分，应用到(6-1)式，有,6.2 粘性流体的运动微分方程,6.2.1 运动方程的推导 实际流体是有粘性的，它阻碍流体微元形状的改变。粘性流体中切应力的存在，不仅改变了阻碍流动的摩擦力，而且也影响了法向力的性质。 下面在流场中取出一微元平行六面体来推导粘性流体的运动微分方程。如图6-1所示，微元平行六面体ABCD的边长分别为 。A点的坐标为(x,y,z)，由于平行六面体是微元的，所以可以认为同一作用面上各点的应力相同。 在平行六面体的各个面上，任意点的表面力分为法向力和切

3、向力。假设法向力以外法线方向为正，而过A点的三个平面上的切向力方向与坐标轴方向相反，其它三个面上的切向向力的方向与坐标轴的方向相同。,在直角坐标系中，垂直于x轴的作用面AC上任意点的应力可分解为,6.2.2 纳维-斯托克斯方程,1、应力和变形速度之间的关系 (1)切应力和角变形速度之间的关系 粘性流体运动时，由于各点的速度不同，运动过程中必然产生变形，引起切应力。切应力的大小由牛顿内摩擦定律给出,即流体微元的角变形速度等于垂直于流动方向上的速度梯度。所以牛顿内摩擦定律变为,即流体微元的角变形速度等于垂直于流动方向上的速度梯度。所以牛顿内摩擦定律变为,(2)法向应力 在理想流体中，不存在切应力，

4、因此任何一点的法向应力与作用面的方位无关，即同一点上各方向的应力均等于压强p。 但是对于粘性流体，流体微元除了角变形之外，还存在线变形，即流体的拉伸和收缩，在法线方向上存在附加的法向应力。由于各方向线变形速度不同，各方向上的法向应力也不同，因此，粘性流体的法向应力为,2、纳维-斯托克斯方程(N-S 方程),由于N-S方程的重要性，N-S方程和连续性方程一起被称为描述流场的控制方程(Governing Equations)。 流体力学问题的解决，其难易程度与坐标系的选择有很大关系。比如在求解流体绕圆柱体和球体流动时，采用圆柱坐标系( )和球坐标系( )更为简便，因此下面给出圆柱坐标系和球坐标系中

5、的N-S方程。 圆柱坐标系如图6-3所示。在圆柱坐标系N-S方程为,3、有关N-S方程的说明 N-S方程是流体力学中具有普遍意义的微分方程，对于不可压缩牛顿流体普遍适用。所谓解流场通常就是求解N-S方程。有关N-S方程，有以下几点需要注意：,6.3 葛罗米柯-斯托克斯方程,为了便于看出N-S方程在什么情况下可以积分,6.4 理想流体流动,在N-S方程中，粘性力项包含二阶偏导数，是求解N-S方程的主要困难所在。但是对于一些常见流体，比如水和空气，粘性很小，在某些情况下忽略其粘性是合理的。忽略了粘性后的N-S方程，求解要容易得多。我们称忽略了粘性的流体为理想流体(Ideal fluids/Invi

6、scid fluid/Nonviscous fluid/Frictionless fluid)。 由于粘性力为零，因此理想流体中的法向应力与方向无关，即 式中的负号表示压力P垂直指向作用面。 在5.6节，我们从积分形式的能量方程出发，推导出了伯努利方程。在这一节，我们将从N-S方程出发，重新推导出伯努利方程，并作为一个特例，在一些假设的前提下给出N-S方程的解析解。,6.4.1 欧拉运动微分方程,对于理想流体，粘性力为零，因此N-S方程简化为,6.4.2伯努利方程,需要强调指出的是，伯努利方程有以下适用条件限制： (1)质量立只有重力； (2)理想流体； (3)稳定流动； (4)不可压缩流体；

7、 (5)沿流线。,6.4.3 无旋流动的伯努利方程,除了无旋流动外，6.4.2节中的其他限制条件照样需要，即伯努利方程的适用条件为： (1)质量立只有重力； (2)理想流体； (3)稳定流动； (4)不可压缩流体； (5)无旋流动。,6.4.4 速度势函数,6.5 平面势流,6.5.1 流函数,对于不可压缩流体的平面势流，存在连续性方程,6.5.2 基本平面势流,在本节中，我们将引入三种基本的平面势流：均匀流动、点源和点汇、自由涡。 1、均匀流动(Uniform flow) 最简单的平面流动是流线为彼此平行的直线，流速大小恒定不变的流动，称这种流动为均匀流动(Uniform flow)，如图6

8、-7所示。,2、点源和点汇 称流体由一点沿径向向外所作的对称直线流动为点源，此点为源点，称流体由四周沿径向一点所作的对称直线流动为点汇，此点为汇点，如图6-8所示。 如果流体流过任一半径r处单位厚度的流量为q，则在极坐标中，源(汇)的径向速度为,2、点涡和环流 当涡束的半径趋于零时，涡束变成了一条涡线，垂直于无限长涡线的各平行平面中的流动称为点涡(Point Vortex)，又称为自由涡(Free Vortex)。 若绕包围点涡的任一封闭曲线的速度环量为 (称为点涡的强度)，则速度分量为,6.6 简单势流的叠加,研究势流的目的在于求解反映运动特征的速度势函数 和流函数 ，然后由速度势函数或流函

9、数求解流场，但是当流动比较复杂时，求解反映运动特征的速度势函数和流函数十分困难。一个简便的途径是将复杂的势流分解成简单的势流的叠加，求解简单势流速度势函数和流函数，然后求解简单势流的流场，再由简单势流的流场求解复杂势流的流场。可以证明，任意几个简单势流,6.6.1 偶极流,如图6-9所示，为一位于A点(-a,0)的点源和位于B点(a,0)的点汇叠加后的流动图形。叠加后的流场的速度势为,6.6.2 螺旋流,在离心式喷油嘴、除尘器等设备中，流体自然沿圆周切向进入，最终从中央轴线方向流出，这样的流动可以看成是点汇和点涡的叠加。设环流方向为逆时针方向，q为点汇的强度， 为点涡的强度，则点汇和点涡叠加后

10、的流场的速度势和流函数分别为,6.7流体对圆柱体的无环量绕流,在解理想不可压缩流体的平面势流问题中主要是绕流问题，其中平行流绕流圆柱流动是最基本的问题之一。 1速度势函数和流函数 设有一平行于 轴的均匀直线流动，在无穷远处的速度为 ，其速度势函数和流流函数分布为,2速度场 为了分析流动特点和速度的变化规律，求得流场速度为,由此可见，流体作用在圆柱表面上的压强合力为零，即圆柱体上既无平行于来流方向的阻力作用，也无垂直于来流方向的升力作用。只要势流流经物体时不形成旋涡或分离，这一结论可以推广到任意物体的绕流(Round flow)。因此，假设在理想流体的均匀恒定流动中放置任意物体，而流过此物体时既

11、不分离，也没有形成环量，则流体作用在物体上的压强合力应等于零，即该物体在流场中不受阻力作用。这一理论推得的结果与观察实验得到的结果有很大矛盾，1750年法国科学家达朗贝尔首次发现这一矛盾，故称之为达朗贝尔佯谬。 理想流体的假定引起了这一矛盾。实际上，当流体绕流物体时，由于实际流体或多或少都具有粘性，紧贴柱面处即存在边界层，固体边壁附近摩擦阻力的影响不可忽略，不应看成是理想流体。,6.8 流体对圆柱体的有环量绕流,1.速度势函数和流函数 平行流对圆柱体的有环量绕流，由流体对圆柱体的无环量绕流与点涡感生的纯环流叠加而成。当流体绕物体的流动有环量时，速度和压力的对称性被破坏，将出现压强的合力，环量的生成是产生合力的根源。 平行流对圆柱体有环量绕流的速度势函数为,6.9 流体绕圆球的流动,流体绕球体的流动是一个空间流动问题。但是，圆球